binom4 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > binom4		Unicode version

Theorem binom4 15790

Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 12125, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
binom4	$/\$

**Proof of Theorem binom4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9263	. . . 4
2	1	oveq2i 6039	. . 3
3		addcl 8217	. . . 4 $/\$
4		3nn0 9479	. . . 4
5		expp1 10871	. . . 4 $/\$
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 $/\$
7	2, 6	eqtrid 2276	. 2 $/\$
8		binom3 10982	. . 3 $/\$
9	8	oveq1d 6043	. 2 $/\$
10		simpl 109	. . . . . . 7 $/\$
11		expcl 10882	. . . . . . 7 $/\$
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
13		3cn 9277	. . . . . . 7
14	10	sqcld 10996	. . . . . . . 8 $/\$
15		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$
16	14, 15	mulcld 8259	. . . . . . 7 $/\$
17		mulcl 8219	. . . . . . 7 $/\$
18	13, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
19	12, 18	addcld 8258	. . . . 5 $/\$
20	15	sqcld 10996	. . . . . . . 8 $/\$
21	10, 20	mulcld 8259	. . . . . . 7 $/\$
22		mulcl 8219	. . . . . . 7 $/\$
23	13, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
24		expcl 10882	. . . . . . 7 $/\$
25	15, 4, 24	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
26	23, 25	addcld 8258	. . . . 5 $/\$
27	19, 26	addcld 8258	. . . 4 $/\$
28	27, 10, 15	adddid 8263	. . 3 $/\$
29	1	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9
30		expp1 10871	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	10, 4, 30	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$
32	29, 31	eqtr2id 2277	. . . . . . . 8 $/\$
33	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$
34	33, 16, 10	mulassd 8262	. . . . . . . . 9 $/\$
35	14, 15, 10	mul32d 8391	. . . . . . . . . . 11 $/\$
36		df-3 9262	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . 13
38		2nn0 9478	. . . . . . . . . . . . . 14
39		expp1 10871	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40	10, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
41	37, 40	eqtr2id 2277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
42	41	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	35, 42	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	43	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
45	34, 44	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$
46	32, 45	oveq12d 6046	. . . . . . 7 $/\$
47	12, 10, 18, 46	joinlmuladdmuld 8266	. . . . . 6 $/\$
48	33, 21, 10	mulassd 8262	. . . . . . . . 9 $/\$
49	10, 20, 10	mul32d 8391	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50	10	sqvald 10995	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
51	50	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	49, 51	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$
53	52	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
54	48, 53	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$
55	25, 10	mulcomd 8260	. . . . . . . 8 $/\$
56	54, 55	oveq12d 6046	. . . . . . 7 $/\$
57	23, 10, 25, 56	joinlmuladdmuld 8266	. . . . . 6 $/\$
58	47, 57	oveq12d 6046	. . . . 5 $/\$
59	19, 10, 26, 58	joinlmuladdmuld 8266	. . . 4 $/\$
60	19, 26, 15	adddird 8264	. . . . 5 $/\$
61	33, 16, 15	mulassd 8262	. . . . . . . . 9 $/\$
62	14, 15, 15	mulassd 8262	. . . . . . . . . . 11 $/\$
63	15	sqvald 10995	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	63	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	62, 64	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	65	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
67	61, 66	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$
68	67	oveq2d 6044	. . . . . . 7 $/\$
69	12, 15, 18, 68	joinlmuladdmuld 8266	. . . . . 6 $/\$
70	33, 21, 15	mulassd 8262	. . . . . . . . 9 $/\$
71	10, 20, 15	mulassd 8262	. . . . . . . . . . 11 $/\$
72	36	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . 13
73		expp1 10871	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74	15, 38, 73	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
75	72, 74	eqtr2id 2277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76	75	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	71, 76	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	77	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 $/\$
79	70, 78	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$
80	1	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9
81		expp1 10871	. . . . . . . . . 10 $/\$
82	15, 4, 81	sylancl 413	. . . . . . . . 9 $/\$
83	80, 82	eqtr2id 2277	. . . . . . . 8 $/\$
84	79, 83	oveq12d 6046	. . . . . . 7 $/\$
85	23, 15, 25, 84	joinlmuladdmuld 8266	. . . . . 6 $/\$
86	69, 85	oveq12d 6046	. . . . 5 $/\$
87	12, 15	mulcld 8259	. . . . . 6 $/\$
88	14, 20	mulcld 8259	. . . . . . 7 $/\$
89		mulcl 8219	. . . . . . 7 $/\$
90	13, 88, 89	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
91	10, 25	mulcld 8259	. . . . . . . 8 $/\$
92		mulcl 8219	. . . . . . . 8 $/\$
93	13, 91, 92	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
94		4nn0 9480	. . . . . . . 8
95		expcl 10882	. . . . . . . 8 $/\$
96	15, 94, 95	sylancl 413	. . . . . . 7 $/\$
97	93, 96	addcld 8258	. . . . . 6 $/\$
98	87, 90, 97	addassd 8261	. . . . 5 $/\$
99	60, 86, 98	3eqtrd 2268	. . . 4 $/\$
100	59, 99	oveq12d 6046	. . 3 $/\$
101		expcl 10882	. . . . . . 7 $/\$
102	10, 94, 101	sylancl 413	. . . . . 6 $/\$
103		mulcl 8219	. . . . . . 7 $/\$
104	13, 87, 103	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
105	102, 104	addcld 8258	. . . . 5 $/\$
106	90, 91	addcld 8258	. . . . 5 $/\$
107	90, 97	addcld 8258	. . . . 5 $/\$
108	105, 106, 87, 107	add4d 8407	. . . 4 $/\$
109	102, 104, 87	addassd 8261	. . . . . 6 $/\$
110	1	oveq1i 6038	. . . . . . . . 9
111		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . 11
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	33, 112, 87	adddird 8264	. . . . . . . . 9 $/\$
114	110, 113	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 $/\$
115	87	mullidd 8257	. . . . . . . . 9 $/\$
116	115	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$
117	114, 116	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$
118	117	oveq2d 6044	. . . . . 6 $/\$
119	109, 118	eqtr4d 2267	. . . . 5 $/\$
120	90, 91, 90, 97	add4d 8407	. . . . . 6 $/\$
121		3p3e6 9345	. . . . . . . . 9
122	121	oveq1i 6038	. . . . . . . 8
123	33, 33, 88	adddird 8264	. . . . . . . 8 $/\$
124	122, 123	eqtr3id 2278	. . . . . . 7 $/\$
125		3p1e4 9338	. . . . . . . . . . . . 13
126	13, 111, 125	addcomli 8383	. . . . . . . . . . . 12
127	126	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11
128	112, 33, 91	adddird 8264	. . . . . . . . . . 11 $/\$
129	127, 128	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . 10 $/\$
130	91	mullidd 8257	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 $/\$
132	129, 131	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$
133	132	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 $/\$
134	91, 93, 96	addassd 8261	. . . . . . . 8 $/\$
135	133, 134	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$
136	124, 135	oveq12d 6046	. . . . . 6 $/\$
137	120, 136	eqtr4d 2267	. . . . 5 $/\$
138	119, 137	oveq12d 6046	. . . 4 $/\$
139	108, 138	eqtrd 2264	. . 3 $/\$
140	28, 100, 139	3eqtrd 2268	. 2 $/\$
141	7, 9, 140	3eqtrd 2268	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1398

wcel 2202 (class class class)co 6028

cc 8090

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

c2 9253

c3 9254

c4 9255

c6 9257

cn0 9461

cexp 10863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-5 9264 df-6 9265 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-seqfrec 10773 df-exp 10864

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator