Theorem subsq 10557

Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
subsq	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )

Proof of Theorem subsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3		subcl 8093	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	adddird 7920	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) = ( ( A x. ( A - B ) ) + ( B x. ( A - B ) ) ) )
5		subdi 8279	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( A - B ) ) = ( ( A x. A ) - ( A x. B ) ) )
6	5	3anidm12 1285	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( A - B ) ) = ( ( A x. A ) - ( A x. B ) ) )
7		sqval 10509	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
9	8	oveq1d 5856	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( A x. B ) ) = ( ( A x. A ) - ( A x. B ) ) )
10	6, 9	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( A - B ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( A x. B ) ) )
11	2, 1, 2	subdid 8308	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B x. ( A - B ) ) = ( ( B x. A ) - ( B x. B ) ) )
12		mulcom 7878	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
13		sqval 10509	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
15	12, 14	oveq12d 5859	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( B x. A ) - ( B x. B ) ) )
16	11, 15	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B x. ( A - B ) ) = ( ( A x. B ) - ( B ^ 2 ) ) )
17	10, 16	oveq12d 5859	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( A - B ) ) + ( B x. ( A - B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( A x. B ) ) + ( ( A x. B ) - ( B ^ 2 ) ) ) )
18		sqcl 10512	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
19	18	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
20		mulcl 7876	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
21		sqcl 10512	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
22	21	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	19, 20, 22	npncand 8229	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( A x. B ) ) + ( ( A x. B ) - ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) )
24	4, 17, 23	3eqtrrd 2203	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( B ^ 2 ) ) = ( ( A + B ) x. ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   CCcc 7747   + caddc 7752   x. cmul 7754   - cmin 8065   2c2 8904   ^cexp 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-seqfrec 10377  df-exp 10451

This theorem is referenced by:  subsq2  10558  subsqi  10560  resqrexlemnm  10956  resqrexlemglsq  10960  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem6  12198  pythagtriplem7  12199  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem16  12207  difsqpwdvds  12265  4sqlem8  12311  4sqlem10  12313  lgslem1  13501  2sqlem4  13554