Theorem binomlem 12124

Description: Lemma for binom 12125 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomlem.1	|- ( ph -> A e. CC )
binomlem.2	|- ( ph -> B e. CC )
binomlem.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
binomlem.4	|- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
binomlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   ps( k)

Proof of Theorem binomlem

Dummy variables j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 |- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
3	2	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
4		0zd 9552	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10756	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
8		binomlem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
9		fzelp1 10371	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
10		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
11		bccl 11092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
13	12	nn0cnd 9518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
15		fznn0sub 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
16		expcl 10882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
19		elfznn0 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
20		expcl 10882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
23	17, 22	mulcld 8259	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
24	14, 23	mulcld 8259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
25	7, 8, 24	fsummulc1 12090	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
27	14, 23, 26	mulassd 8262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
28	5	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
30		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
31		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
33	32	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
34	29, 30, 33	addsubd 8570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
35	34	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) )
36		expp1 10871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
38	35, 37	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
39	38	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) )
40	17, 26, 22	mul32d 8391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
41	39, 40	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
42	41	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
43	27, 42	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
44	43	sumeq2dv 12008	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
45		fzssp1 10364	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
46	45	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
47		fznn0sub 10354	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
48		expcl 10882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
50	49, 21	mulcld 8259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
51	13, 50	mulcld 8259	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
54		eldifi 3331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ZZ )
57		eldifn 3332	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
59		bcval3 11076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
61	60	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
62	50	mul02d 8630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
64	61, 63	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
65		eluzelz 9826	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> n e. ZZ )
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> n e. ZZ )
67		0zd 9552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ZZ )
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> N e. ZZ )
69		fzdcel 10337	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
71	70	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... N ) )
72		fzssuz 10362	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
73	72	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
74	68	peano2zd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
75		fzdcel 10337	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
77	76	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 12032	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
79	25, 44, 78	3eqtrd 2268	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
80	79	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
81	3, 80	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
82	1	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( ps -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
83	7, 18, 24	fsummulc1 12090	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
84		1zzd 9567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. CC )
86	24, 85	mulcld 8259	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) e. CC )
87		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( j - 1 ) ) )
88		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N - k ) = ( N - ( j - 1 ) ) )
89	88	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) = ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) )
90		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( B ^ k ) = ( B ^ ( j - 1 ) ) )
91	89, 90	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) )
92	87, 91	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) )
93	92	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 12085	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
95		oveq1 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( j - 1 ) = ( k - 1 ) )
96	95	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( N _C ( j - 1 ) ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
97	95	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( N - ( j - 1 ) ) = ( N - ( k - 1 ) ) )
98	97	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) = ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) )
99	95	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( B ^ ( j - 1 ) ) = ( B ^ ( k - 1 ) ) )
100	98, 99	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
101	96, 100	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
102	101	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
103	102	cbvsumv 12001	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B )
104	94, 103	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC )
106		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
108	107	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
109		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
110	105, 108, 109	subsub3d 8579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - k ) )
111	110	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) )
112	111	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
113	112	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
114	113	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
115		0z 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
116		fzp1ss 10370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
118	117	sseli 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
120		peano2zm 9578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
122		bccl 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
123	5, 121, 122	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. CC )
128		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
129		0p1e1 9316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
130	129	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
131	128, 130	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN )
133		nnm1nn0 9502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
135	127, 134	expcld 10998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
136	126, 135	mulcld 8259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
137	125, 136, 127	mulassd 8262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) )
138	126, 135, 127	mulassd 8262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
139		expm1t 10892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
141	140	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
142	138, 141	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
143	142	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
144	114, 137, 143	3eqtrd 2268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
145	144	sumeq2dv 12008	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
146	117	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
147	124, 50	mulcld 8259	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. NN0 )
150		eldifi 3331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ZZ )
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
154		eldifn 3332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
156		0zd 9552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
157	149	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. ZZ )
158		1zzd 9567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
159		fzaddel 10356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( k - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. CC )
162		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
163		npcan 8447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
164	161, 162, 163	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
165	164	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
167	155, 166	mtbird 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
168		bcval3 11076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ /\ -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
170	169	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
172	170, 171	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
173	67	peano2zd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( 0 + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 10337	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 0 + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
176	175	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 12032	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
178	104, 145, 177	3eqtrd 2268	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
179	83, 178	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
180	82, 179	sylan9eqr 2286	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
181	81, 180	oveq12d 6046	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
182	8, 18	addcld 8258	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
183	182, 5	expp1d 10999	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) )
184	182, 5	expcld 10998	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ N ) e. CC )
185	184, 8, 18	adddid 8263	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
186	183, 185	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
187	186	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
188		bcpasc 11091	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
190	189	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
191	13, 124, 50	adddird 8264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
192	190, 191	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
193	192	sumeq2dv 12008	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
194	6	peano2zd 9666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
195	4, 194	fzfigd 10756	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
196	195, 51, 147	fsumadd 12047	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
197	193, 196	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
198	197	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   ^cexp 10863   _C cbc 11072   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  binom  12125