binomlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binomlem 12034

Description: Lemma for binom 12035 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 277	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 6028	. . . 4 $/\$
4		0zd 9481	. . . . . . . 8
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9
6	5	nn0zd 9590	. . . . . . . 8
7	4, 6	fzfigd 10683	. . . . . . 7
8		binomlem.1	. . . . . . 7
9		fzelp1 10299	. . . . . . . . 9
10		elfzelz 10250	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 11019	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 9447	. . . . . . . . 9 $/\$
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$
15		fznn0sub 10282	. . . . . . . . . 10
16		expcl 10809	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 $/\$
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
19		elfznn0 10339	. . . . . . . . . . 11
20		expcl 10809	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
23	17, 22	mulcld 8190	. . . . . . . 8 $/\$
24	14, 23	mulcld 8190	. . . . . . 7 $/\$
25	7, 8, 24	fsummulc1 12000	. . . . . 6
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
27	14, 23, 26	mulassd 8193	. . . . . . . 8 $/\$
28	5	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
30		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31		elfzelz 10250	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33	32	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	29, 30, 33	addsubd 8501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	34	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		expp1 10798	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	35, 37	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	17, 26, 22	mul32d 8322	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	39, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 $/\$
43	27, 42	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 $/\$
44	43	sumeq2dv 11919	. . . . . 6
45		fzssp1 10292	. . . . . . . 8
46	45	a1i 9	. . . . . . 7
47		fznn0sub 10282	. . . . . . . . . . 11
48		expcl 10809	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49, 21	mulcld 8190	. . . . . . . . 9 $/\$
51	13, 50	mulcld 8190	. . . . . . . 8 $/\$
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
54		eldifi 3327	. . . . . . . . . . . 12 $\$
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		eldifn 3328	. . . . . . . . . . 11 $\$
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
59		bcval3 11003	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
61	60	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	50	mul02d 8561	. . . . . . . . 9 $/\$
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
64	61, 63	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$ $\$
65		eluzelz 9755	. . . . . . . . . 10
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
67		0zd 9481	. . . . . . . . 9 $/\$
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
69		fzdcel 10265	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
71	70	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
72		fzssuz 10290	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	68	peano2zd 9595	. . . . . . . . 9 $/\$
75		fzdcel 10265	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
77	76	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11942	. . . . . 6
79	25, 44, 78	3eqtrd 2266	. . . . 5
80	79	adantr 276	. . . 4 $/\$
81	3, 80	eqtrd 2262	. . 3 $/\$
82	1	oveq1d 6028	. . . 4
83	7, 18, 24	fsummulc1 12000	. . . . 5
84		1zzd 9496	. . . . . . . 8
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
86	24, 85	mulcld 8190	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10
88		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11
90		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	oveq12d 6031	. . . . . . . . . 10
92	87, 91	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 6028	. . . . . . . 8
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11995	. . . . . . 7
95		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10
97	95	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11
99	95	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11
100	98, 99	oveq12d 6031	. . . . . . . . . 10
101	96, 100	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9
102	101	oveq1d 6028	. . . . . . . 8
103	102	cbvsumv 11912	. . . . . . 7
104	94, 103	eqtrdi 2278	. . . . . 6
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		elfzelz 10250	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	107	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	105, 108, 109	subsub3d 8510	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	110	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	111	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	112	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 $/\$
114	113	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 $/\$
115		0z 9480	. . . . . . . . . . . 12
116		fzp1ss 10298	. . . . . . . . . . . 12
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
118	117	sseli 3221	. . . . . . . . . 10
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		peano2zm 9507	. . . . . . . . . . . . 13
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122		bccl 11019	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	5, 121, 122	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	nn0cnd 9447	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128		elfznn 10279	. . . . . . . . . . . . . 14
129		0p1e1 9247	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . 14
131	128, 130	eleq2s 2324	. . . . . . . . . . . . 13
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	127, 134	expcld 10925	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	126, 135	mulcld 8190	. . . . . . . . 9 $/\$
137	125, 136, 127	mulassd 8193	. . . . . . . 8 $/\$
138	126, 135, 127	mulassd 8193	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		expm1t 10819	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	140	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$
143	142	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 $/\$
144	114, 137, 143	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 $/\$
145	144	sumeq2dv 11919	. . . . . 6
146	117	a1i 9	. . . . . . 7
147	124, 50	mulcld 8190	. . . . . . . 8 $/\$
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
150		eldifi 3327	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
154		eldifn 3328	. . . . . . . . . . . 12 $\$
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
156		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
157	149	nn0zd 9590	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
158		1zzd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
159		fzaddel 10284	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
161	152	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
162		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . . . . 14
163		npcan 8378	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
164	161, 162, 163	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
165	164	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
167	155, 166	mtbird 677	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
168		bcval3 11003	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
170	169	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
172	170, 171	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$ $\$
173	67	peano2zd 9595	. . . . . . . . 9 $/\$
174		fzdcel 10265	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
176	175	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11942	. . . . . 6
178	104, 145, 177	3eqtrd 2266	. . . . 5
179	83, 178	eqtrd 2262	. . . 4
180	82, 179	sylan9eqr 2284	. . 3 $/\$
181	81, 180	oveq12d 6031	. 2 $/\$
182	8, 18	addcld 8189	. . . . 5
183	182, 5	expp1d 10926	. . . 4
184	182, 5	expcld 10925	. . . . 5
185	184, 8, 18	adddid 8194	. . . 4
186	183, 185	eqtrd 2262	. . 3
187	186	adantr 276	. 2 $/\$
188		bcpasc 11018	. . . . . . . 8 $/\$
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 $/\$
190	189	oveq1d 6028	. . . . . 6 $/\$
191	13, 124, 50	adddird 8195	. . . . . 6 $/\$
192	190, 191	eqtr3d 2264	. . . . 5 $/\$
193	192	sumeq2dv 11919	. . . 4
194	6	peano2zd 9595	. . . . . 6
195	4, 194	fzfigd 10683	. . . . 5
196	195, 51, 147	fsumadd 11957	. . . 4
197	193, 196	eqtrd 2262	. . 3
198	197	adantr 276	. 2 $/\$
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2272	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200 $\$ cdif 3195

wss 3198

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

cmin 8340

cn 9133

cn0 9392

cz 9469

cuz 9745

cfz 10233

cexp 10790

cbc 10999

csu 11904

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-fac 10978 df-bc 11000 df-ihash 11028 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-sumdc 11905

This theorem is referenced by: binom 12035

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