binomlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binomlem 12250

Description: Lemma for binom 12251 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 277	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 6100	. . . 4 $/\$
4		0zd 9656	. . . . . . . 8
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9
6	5	nn0zd 9766	. . . . . . . 8
7	4, 6	fzfigd 10868	. . . . . . 7
8		binomlem.1	. . . . . . 7
9		fzelp1 10481	. . . . . . . . 9
10		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 11205	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 9622	. . . . . . . . 9 $/\$
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$
15		fznn0sub 10463	. . . . . . . . . 10
16		expcl 10994	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 $/\$
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
19		elfznn0 10521	. . . . . . . . . . 11
20		expcl 10994	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
23	17, 22	mulcld 8346	. . . . . . . 8 $/\$
24	14, 23	mulcld 8346	. . . . . . 7 $/\$
25	7, 8, 24	fsummulc1 12216	. . . . . 6
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
27	14, 23, 26	mulassd 8349	. . . . . . . 8 $/\$
28	5	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
30		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33	32	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	29, 30, 33	addsubd 8658	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	34	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		expp1 10983	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	35, 37	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	17, 26, 22	mul32d 8479	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	39, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$
43	27, 42	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 $/\$
44	43	sumeq2dv 12134	. . . . . 6
45		fzssp1 10473	. . . . . . . 8
46	45	a1i 9	. . . . . . 7
47		fznn0sub 10463	. . . . . . . . . . 11
48		expcl 10994	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49, 21	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 $/\$
51	13, 50	mulcld 8346	. . . . . . . 8 $/\$
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
54		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . 12 $\$
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		eldifn 3352	. . . . . . . . . . 11 $\$
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
59		bcval3 11189	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
61	60	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	50	mul02d 8719	. . . . . . . . 9 $/\$
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
64	61, 63	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $\$
65		eluzelz 9931	. . . . . . . . . 10
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
67		0zd 9656	. . . . . . . . 9 $/\$
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
69		fzdcel 10444	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
71	70	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 DECID
72		fzssuz 10471	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	68	peano2zd 9771	. . . . . . . . 9 $/\$
75		fzdcel 10444	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
77	76	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 DECID
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 12158	. . . . . 6
79	25, 44, 78	3eqtrd 2275	. . . . 5
80	79	adantr 276	. . . 4 $/\$
81	3, 80	eqtrd 2271	. . 3 $/\$
82	1	oveq1d 6100	. . . 4
83	7, 18, 24	fsummulc1 12216	. . . . 5
84		1zzd 9671	. . . . . . . 8
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
86	24, 85	mulcld 8346	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10
88		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11
90		oveq2 6093	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	oveq12d 6103	. . . . . . . . . 10
92	87, 91	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 6100	. . . . . . . 8
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 12211	. . . . . . 7
95		oveq1 6092	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10
97	95	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11
99	95	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11
100	98, 99	oveq12d 6103	. . . . . . . . . 10
101	96, 100	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9
102	101	oveq1d 6100	. . . . . . . 8
103	102	cbvsumv 12127	. . . . . . 7
104	94, 103	eqtrdi 2287	. . . . . 6
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	107	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	105, 108, 109	subsub3d 8667	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	110	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	111	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	112	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 $/\$
114	113	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 $/\$
115		0z 9655	. . . . . . . . . . . 12
116		fzp1ss 10480	. . . . . . . . . . . 12
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
118	117	sseli 3244	. . . . . . . . . 10
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		peano2zm 9682	. . . . . . . . . . . . 13
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122		bccl 11205	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	5, 121, 122	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	nn0cnd 9622	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128		elfznn 10460	. . . . . . . . . . . . . 14
129		0p1e1 9418	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . 14
131	128, 130	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . 13
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	127, 134	expcld 11111	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	126, 135	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 $/\$
137	125, 136, 127	mulassd 8349	. . . . . . . 8 $/\$
138	126, 135, 127	mulassd 8349	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		expm1t 11004	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	140	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$
143	142	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 $/\$
144	114, 137, 143	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$
145	144	sumeq2dv 12134	. . . . . 6
146	117	a1i 9	. . . . . . 7
147	124, 50	mulcld 8346	. . . . . . . 8 $/\$
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
150		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
154		eldifn 3352	. . . . . . . . . . . 12 $\$
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
156		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
157	149	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
158		1zzd 9671	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
159		fzaddel 10465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
161	152	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
162		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . 14
163		npcan 8535	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
164	161, 162, 163	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
165	164	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
167	155, 166	mtbird 684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
168		bcval3 11189	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
170	169	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
172	170, 171	eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$ $\$
173	67	peano2zd 9771	. . . . . . . . 9 $/\$
174		fzdcel 10444	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
176	175	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 DECID
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 12158	. . . . . 6
178	104, 145, 177	3eqtrd 2275	. . . . 5
179	83, 178	eqtrd 2271	. . . 4
180	82, 179	sylan9eqr 2293	. . 3 $/\$
181	81, 180	oveq12d 6103	. 2 $/\$
182	8, 18	addcld 8345	. . . . 5
183	182, 5	expp1d 11112	. . . 4
184	182, 5	expcld 11111	. . . . 5
185	184, 8, 18	adddid 8350	. . . 4
186	183, 185	eqtrd 2271	. . 3
187	186	adantr 276	. 2 $/\$
188		bcpasc 11204	. . . . . . . 8 $/\$
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 $/\$
190	189	oveq1d 6100	. . . . . 6 $/\$
191	13, 124, 50	adddird 8351	. . . . . 6 $/\$
192	190, 191	eqtr3d 2273	. . . . 5 $/\$
193	192	sumeq2dv 12134	. . . 4
194	6	peano2zd 9771	. . . . . 6
195	4, 194	fzfigd 10868	. . . . 5
196	195, 51, 147	fsumadd 12173	. . . 4
197	193, 196	eqtrd 2271	. . 3
198	197	adantr 276	. 2 $/\$
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2281	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209 $\$ cdif 3217

wss 3220

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

cmin 8497

cn 9304

cn0 9563

cz 9644

cuz 9921

cfz 10411

cexp 10975

cbc 11185

csu 12119

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-er 6807 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-fac 11164 df-bc 11186 df-ihash 11215 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-clim 12045 df-sumdc 12120

This theorem is used by: binom 12251

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