Theorem binomlem 11626

Description: Lemma for binom 11627 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomlem.1	|- ( ph -> A e. CC )
binomlem.2	|- ( ph -> B e. CC )
binomlem.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
binomlem.4	|- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
binomlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   ps( k)

Proof of Theorem binomlem

Dummy variables j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 |- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
3	2	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
4		0zd 9329	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9437	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
8		binomlem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
9		fzelp1 10140	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
10		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
11		bccl 10838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
13	12	nn0cnd 9295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
15		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
16		expcl 10628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
19		elfznn0 10180	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
20		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
23	17, 22	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
24	14, 23	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
25	7, 8, 24	fsummulc1 11592	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
27	14, 23, 26	mulassd 8043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
28	5	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
30		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
31		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
33	32	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
34	29, 30, 33	addsubd 8351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
35	34	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) )
36		expp1 10617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
38	35, 37	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
39	38	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) )
40	17, 26, 22	mul32d 8172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
41	39, 40	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
42	41	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
43	27, 42	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
44	43	sumeq2dv 11511	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
45		fzssp1 10133	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
46	45	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
47		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
48		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
50	49, 21	mulcld 8040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
51	13, 50	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
54		eldifi 3281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ZZ )
57		eldifn 3282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
59		bcval3 10822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
61	60	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
62	50	mul02d 8411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
64	61, 63	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
65		eluzelz 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> n e. ZZ )
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> n e. ZZ )
67		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ZZ )
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> N e. ZZ )
69		fzdcel 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
71	70	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... N ) )
72		fzssuz 10131	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
73	72	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
74	68	peano2zd 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
75		fzdcel 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
77	76	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11534	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
79	25, 44, 78	3eqtrd 2230	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
80	79	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
81	3, 80	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
82	1	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( ps -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
83	7, 18, 24	fsummulc1 11592	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
84		1zzd 9344	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. CC )
86	24, 85	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) e. CC )
87		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( j - 1 ) ) )
88		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N - k ) = ( N - ( j - 1 ) ) )
89	88	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) = ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) )
90		oveq2 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( B ^ k ) = ( B ^ ( j - 1 ) ) )
91	89, 90	oveq12d 5936	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) )
92	87, 91	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) )
93	92	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11587	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
95		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( j - 1 ) = ( k - 1 ) )
96	95	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( N _C ( j - 1 ) ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
97	95	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( N - ( j - 1 ) ) = ( N - ( k - 1 ) ) )
98	97	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) = ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) )
99	95	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( B ^ ( j - 1 ) ) = ( B ^ ( k - 1 ) ) )
100	98, 99	oveq12d 5936	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
101	96, 100	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
102	101	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
103	102	cbvsumv 11504	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B )
104	94, 103	eqtrdi 2242	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC )
106		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
108	107	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
109		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
110	105, 108, 109	subsub3d 8360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - k ) )
111	110	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) )
112	111	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
113	112	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
114	113	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
115		0z 9328	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
116		fzp1ss 10139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
118	117	sseli 3175	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
120		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
122		bccl 10838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
123	5, 121, 122	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. CC )
128		elfznn 10120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
129		0p1e1 9096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
130	129	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
131	128, 130	eleq2s 2288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN )
133		nnm1nn0 9281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
135	127, 134	expcld 10744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
136	126, 135	mulcld 8040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
137	125, 136, 127	mulassd 8043	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) )
138	126, 135, 127	mulassd 8043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
139		expm1t 10638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
141	140	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
142	138, 141	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
143	142	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
144	114, 137, 143	3eqtrd 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
145	144	sumeq2dv 11511	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
146	117	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
147	124, 50	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. NN0 )
150		eldifi 3281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ZZ )
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
154		eldifn 3282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
156		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
157	149	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. ZZ )
158		1zzd 9344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
159		fzaddel 10125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( k - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. CC )
162		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
163		npcan 8228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
164	161, 162, 163	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
165	164	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
167	155, 166	mtbird 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
168		bcval3 10822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ /\ -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
170	169	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
172	170, 171	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
173	67	peano2zd 9442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( 0 + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 0 + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
176	175	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11534	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
178	104, 145, 177	3eqtrd 2230	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
179	83, 178	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
180	82, 179	sylan9eqr 2248	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
181	81, 180	oveq12d 5936	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
182	8, 18	addcld 8039	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
183	182, 5	expp1d 10745	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) )
184	182, 5	expcld 10744	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ N ) e. CC )
185	184, 8, 18	adddid 8044	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
186	183, 185	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
187	186	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
188		bcpasc 10837	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
190	189	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
191	13, 124, 50	adddird 8045	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
192	190, 191	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
193	192	sumeq2dv 11511	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
194	6	peano2zd 9442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
195	4, 194	fzfigd 10502	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
196	195, 51, 147	fsumadd 11549	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
197	193, 196	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
198	197	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2236	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   ^cexp 10609   _C cbc 10818   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  binom  11627