binomlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binomlem 11994

Description: Lemma for binom 11995 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 277	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 6016	. . . 4 $/\$
4		0zd 9458	. . . . . . . 8
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9
6	5	nn0zd 9567	. . . . . . . 8
7	4, 6	fzfigd 10653	. . . . . . 7
8		binomlem.1	. . . . . . 7
9		fzelp1 10270	. . . . . . . . 9
10		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 10989	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	5, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 9424	. . . . . . . . 9 $/\$
14	9, 13	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$
15		fznn0sub 10253	. . . . . . . . . 10
16		expcl 10779	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	8, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . . . 9 $/\$
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
19		elfznn0 10310	. . . . . . . . . . 11
20		expcl 10779	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	9, 21	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
23	17, 22	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$
24	14, 23	mulcld 8167	. . . . . . 7 $/\$
25	7, 8, 24	fsummulc1 11960	. . . . . 6
26	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
27	14, 23, 26	mulassd 8170	. . . . . . . 8 $/\$
28	5	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
30		1cnd 8162	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33	32	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	29, 30, 33	addsubd 8478	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	34	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		expp1 10768	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	8, 15, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	35, 37	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	17, 26, 22	mul32d 8299	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	39, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
43	27, 42	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 $/\$
44	43	sumeq2dv 11879	. . . . . 6
45		fzssp1 10263	. . . . . . . 8
46	45	a1i 9	. . . . . . 7
47		fznn0sub 10253	. . . . . . . . . . 11
48		expcl 10779	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	8, 47, 48	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49, 21	mulcld 8167	. . . . . . . . 9 $/\$
51	13, 50	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$
52	9, 51	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
53	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
54		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . 12 $\$
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		eldifn 3327	. . . . . . . . . . 11 $\$
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
59		bcval3 10973	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
61	60	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	50	mul02d 8538	. . . . . . . . 9 $/\$
63	54, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
64	61, 63	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$ $\$
65		eluzelz 9731	. . . . . . . . . 10
66	65	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$
67		0zd 9458	. . . . . . . . 9 $/\$
68	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
69		fzdcel 10236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
71	70	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
72		fzssuz 10261	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	68	peano2zd 9572	. . . . . . . . 9 $/\$
75		fzdcel 10236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
77	76	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11902	. . . . . 6
79	25, 44, 78	3eqtrd 2266	. . . . 5
80	79	adantr 276	. . . 4 $/\$
81	3, 80	eqtrd 2262	. . 3 $/\$
82	1	oveq1d 6016	. . . 4
83	7, 18, 24	fsummulc1 11960	. . . . 5
84		1zzd 9473	. . . . . . . 8
85	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
86	24, 85	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10
88		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11
90		oveq2 6009	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	oveq12d 6019	. . . . . . . . . 10
92	87, 91	oveq12d 6019	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 6016	. . . . . . . 8
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11955	. . . . . . 7
95		oveq1 6008	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10
97	95	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11
99	95	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11
100	98, 99	oveq12d 6019	. . . . . . . . . 10
101	96, 100	oveq12d 6019	. . . . . . . . 9
102	101	oveq1d 6016	. . . . . . . 8
103	102	cbvsumv 11872	. . . . . . 7
104	94, 103	eqtrdi 2278	. . . . . 6
105	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	107	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109		1cnd 8162	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	105, 108, 109	subsub3d 8487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	110	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	111	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	112	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$
114	113	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 $/\$
115		0z 9457	. . . . . . . . . . . 12
116		fzp1ss 10269	. . . . . . . . . . . 12
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
118	117	sseli 3220	. . . . . . . . . 10
119	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		peano2zm 9484	. . . . . . . . . . . . 13
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122		bccl 10989	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	5, 121, 122	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	118, 124	sylan2 286	. . . . . . . . 9 $/\$
126	118, 49	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128		elfznn 10250	. . . . . . . . . . . . . 14
129		0p1e1 9224	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . . . . 14
131	128, 130	eleq2s 2324	. . . . . . . . . . . . 13
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	127, 134	expcld 10895	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	126, 135	mulcld 8167	. . . . . . . . 9 $/\$
137	125, 136, 127	mulassd 8170	. . . . . . . 8 $/\$
138	126, 135, 127	mulassd 8170	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		expm1t 10789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140	18, 131, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	140	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$
143	142	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
144	114, 137, 143	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 $/\$
145	144	sumeq2dv 11879	. . . . . 6
146	117	a1i 9	. . . . . . 7
147	124, 50	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$
148	118, 147	sylan2 286	. . . . . . 7 $/\$
149	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
150		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
154		eldifn 3327	. . . . . . . . . . . 12 $\$
155	154	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
156		0zd 9458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
157	149	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
158		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
159		fzaddel 10255	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
161	152	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
162		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . . . . 14
163		npcan 8355	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
164	161, 162, 163	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
165	164	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
166	160, 165	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
167	155, 166	mtbird 677	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
168		bcval3 10973	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
170	169	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
171	150, 62	sylan2 286	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
172	170, 171	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$ $\$
173	67	peano2zd 9572	. . . . . . . . 9 $/\$
174		fzdcel 10236	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
176	175	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 DECID
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11902	. . . . . 6
178	104, 145, 177	3eqtrd 2266	. . . . 5
179	83, 178	eqtrd 2262	. . . 4
180	82, 179	sylan9eqr 2284	. . 3 $/\$
181	81, 180	oveq12d 6019	. 2 $/\$
182	8, 18	addcld 8166	. . . . 5
183	182, 5	expp1d 10896	. . . 4
184	182, 5	expcld 10895	. . . . 5
185	184, 8, 18	adddid 8171	. . . 4
186	183, 185	eqtrd 2262	. . 3
187	186	adantr 276	. 2 $/\$
188		bcpasc 10988	. . . . . . . 8 $/\$
189	5, 10, 188	syl2an 289	. . . . . . 7 $/\$
190	189	oveq1d 6016	. . . . . 6 $/\$
191	13, 124, 50	adddird 8172	. . . . . 6 $/\$
192	190, 191	eqtr3d 2264	. . . . 5 $/\$
193	192	sumeq2dv 11879	. . . 4
194	6	peano2zd 9572	. . . . . 6
195	4, 194	fzfigd 10653	. . . . 5
196	195, 51, 147	fsumadd 11917	. . . 4
197	193, 196	eqtrd 2262	. . 3
198	197	adantr 276	. 2 $/\$
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2272	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200 $\$ cdif 3194

wss 3197

cfv 5318 (class class class)co 6001

cc 7997

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

cmin 8317

cn 9110

cn0 9369

cz 9446

cuz 9722

cfz 10204

cexp 10760

cbc 10969

csu 11864

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-irdg 6516 df-frec 6537 df-1o 6562 df-oadd 6566 df-er 6680 df-en 6888 df-dom 6889 df-fin 6890 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-fac 10948 df-bc 10970 df-ihash 10998 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510 df-clim 11790 df-sumdc 11865

This theorem is referenced by: binom 11995

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