binomlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binomlem 11424

Description: Lemma for binom 11425 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 275	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 5857	. . . 4 $/\$
4		0zd 9203	. . . . . . . 8
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9
6	5	nn0zd 9311	. . . . . . . 8
7	4, 6	fzfigd 10366	. . . . . . 7
8		binomlem.1	. . . . . . 7
9		fzelp1 10009	. . . . . . . . 9
10		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 10680	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	5, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 9169	. . . . . . . . 9 $/\$
14	9, 13	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$
15		fznn0sub 9992	. . . . . . . . . 10
16		expcl 10473	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	8, 15, 16	syl2an 287	. . . . . . . . 9 $/\$
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
19		elfznn0 10049	. . . . . . . . . . 11
20		expcl 10473	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	9, 21	sylan2 284	. . . . . . . . 9 $/\$
23	17, 22	mulcld 7919	. . . . . . . 8 $/\$
24	14, 23	mulcld 7919	. . . . . . 7 $/\$
25	7, 8, 24	fsummulc1 11390	. . . . . 6
26	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
27	14, 23, 26	mulassd 7922	. . . . . . . 8 $/\$
28	5	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
30		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33	32	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	29, 30, 33	addsubd 8230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	34	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		expp1 10462	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	8, 15, 36	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	35, 37	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	17, 26, 22	mul32d 8051	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	39, 40	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 $/\$
43	27, 42	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 $/\$
44	43	sumeq2dv 11309	. . . . . 6
45		fzssp1 10002	. . . . . . . 8
46	45	a1i 9	. . . . . . 7
47		fznn0sub 9992	. . . . . . . . . . 11
48		expcl 10473	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	8, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49, 21	mulcld 7919	. . . . . . . . 9 $/\$
51	13, 50	mulcld 7919	. . . . . . . 8 $/\$
52	9, 51	sylan2 284	. . . . . . 7 $/\$
53	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
54		eldifi 3244	. . . . . . . . . . . 12 $\$
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		eldifn 3245	. . . . . . . . . . 11 $\$
58	57	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
59		bcval3 10664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
61	60	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	50	mul02d 8290	. . . . . . . . 9 $/\$
63	54, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
64	61, 63	eqtrd 2198	. . . . . . 7 $/\$ $\$
65		eluzelz 9475	. . . . . . . . . 10
66	65	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$
67		0zd 9203	. . . . . . . . 9 $/\$
68	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
69		fzdcel 9975	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
71	70	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 DECID
72		fzssuz 10000	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	68	peano2zd 9316	. . . . . . . . 9 $/\$
75		fzdcel 9975	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
77	76	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 DECID
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11332	. . . . . 6
79	25, 44, 78	3eqtrd 2202	. . . . 5
80	79	adantr 274	. . . 4 $/\$
81	3, 80	eqtrd 2198	. . 3 $/\$
82	1	oveq1d 5857	. . . 4
83	7, 18, 24	fsummulc1 11390	. . . . 5
84		1zzd 9218	. . . . . . . 8
85	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
86	24, 85	mulcld 7919	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10
88		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11
90		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	oveq12d 5860	. . . . . . . . . 10
92	87, 91	oveq12d 5860	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 5857	. . . . . . . 8
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11385	. . . . . . 7
95		oveq1 5849	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10
97	95	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11
99	95	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11
100	98, 99	oveq12d 5860	. . . . . . . . . 10
101	96, 100	oveq12d 5860	. . . . . . . . 9
102	101	oveq1d 5857	. . . . . . . 8
103	102	cbvsumv 11302	. . . . . . 7
104	94, 103	eqtrdi 2215	. . . . . 6
105	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	107	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	105, 108, 109	subsub3d 8239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	110	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	111	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	112	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 $/\$
114	113	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 $/\$
115		0z 9202	. . . . . . . . . . . 12
116		fzp1ss 10008	. . . . . . . . . . . 12
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
118	117	sseli 3138	. . . . . . . . . 10
119	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		peano2zm 9229	. . . . . . . . . . . . 13
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122		bccl 10680	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	5, 121, 122	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	nn0cnd 9169	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	118, 124	sylan2 284	. . . . . . . . 9 $/\$
126	118, 49	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	18	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128		elfznn 9989	. . . . . . . . . . . . . 14
129		0p1e1 8971	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . 14
131	128, 130	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . . . 13
132	131	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		nnm1nn0 9155	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	127, 134	expcld 10588	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	126, 135	mulcld 7919	. . . . . . . . 9 $/\$
137	125, 136, 127	mulassd 7922	. . . . . . . 8 $/\$
138	126, 135, 127	mulassd 7922	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		expm1t 10483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140	18, 131, 139	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	140	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2201	. . . . . . . . 9 $/\$
143	142	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 $/\$
144	114, 137, 143	3eqtrd 2202	. . . . . . 7 $/\$
145	144	sumeq2dv 11309	. . . . . 6
146	117	a1i 9	. . . . . . 7
147	124, 50	mulcld 7919	. . . . . . . 8 $/\$
148	118, 147	sylan2 284	. . . . . . 7 $/\$
149	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
150		eldifi 3244	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
151	150	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
154		eldifn 3245	. . . . . . . . . . . 12 $\$
155	154	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
156		0zd 9203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
157	149	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
158		1zzd 9218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
159		fzaddel 9994	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
161	152	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
162		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . . . 14
163		npcan 8107	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
164	161, 162, 163	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
165	164	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
166	160, 165	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
167	155, 166	mtbird 663	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
168		bcval3 10664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
170	169	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
171	150, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
172	170, 171	eqtrd 2198	. . . . . . 7 $/\$ $\$
173	67	peano2zd 9316	. . . . . . . . 9 $/\$
174		fzdcel 9975	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
176	175	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 DECID
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11332	. . . . . 6
178	104, 145, 177	3eqtrd 2202	. . . . 5
179	83, 178	eqtrd 2198	. . . 4
180	82, 179	sylan9eqr 2221	. . 3 $/\$
181	81, 180	oveq12d 5860	. 2 $/\$
182	8, 18	addcld 7918	. . . . 5
183	182, 5	expp1d 10589	. . . 4
184	182, 5	expcld 10588	. . . . 5
185	184, 8, 18	adddid 7923	. . . 4
186	183, 185	eqtrd 2198	. . 3
187	186	adantr 274	. 2 $/\$
188		bcpasc 10679	. . . . . . . 8 $/\$
189	5, 10, 188	syl2an 287	. . . . . . 7 $/\$
190	189	oveq1d 5857	. . . . . 6 $/\$
191	13, 124, 50	adddird 7924	. . . . . 6 $/\$
192	190, 191	eqtr3d 2200	. . . . 5 $/\$
193	192	sumeq2dv 11309	. . . 4
194	6	peano2zd 9316	. . . . . 6
195	4, 194	fzfigd 10366	. . . . 5
196	195, 51, 147	fsumadd 11347	. . . 4
197	193, 196	eqtrd 2198	. . 3
198	197	adantr 274	. 2 $/\$
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2208	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 DECID wdc 824

wceq 1343

wcel 2136 $\$ cdif 3113

wss 3116

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc 7751

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

cmin 8069

cn 8857

cn0 9114

cz 9191

cuz 9466

cfz 9944

cexp 10454

cbc 10660

csu 11294

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-frec 6359 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-er 6501 df-en 6707 df-dom 6708 df-fin 6709 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-fac 10639 df-bc 10661 df-ihash 10689 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-clim 11220 df-sumdc 11295

This theorem is referenced by: binom 11425

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