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Theorem binomlem 11192
Description: Lemma for binom 11193 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomlem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomlem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variables  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
21adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
32oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  A ) )
4 0zd 9017 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
5 binomlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
65nn0zd 9122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
74, 6fzfigd 10144 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
8 binomlem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9 fzelp1 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
10 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
11 bccl 10453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
125, 10, 11syl2an 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1312nn0cnd 8983 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
149, 13sylan2 282 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
15 fznn0sub 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
16 expcl 10251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( N  -  k )
)  e.  CC )
178, 15, 16syl2an 285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
18 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
19 elfznn0 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
20 expcl 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
229, 21sylan2 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
2317, 22mulcld 7750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
2414, 23mulcld 7750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
257, 8, 24fsummulc1 11158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A ) )
268adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2714, 23, 26mulassd 7753 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
285nn0cnd 8983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2928adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
30 1cnd 7746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
31 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3231adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
3332zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3429, 30, 33addsubd 8058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
3534oveq2d 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )
36 expp1 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A ) )
378, 15, 36syl2an 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3835, 37eqtrd 2148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3938oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A )  x.  ( B ^ k
) ) )
4017, 26, 22mul32d 7879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
4139, 40eqtrd 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
4241oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
4327, 42eqtr4d 2151 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
4443sumeq2dv 11077 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
45 fzssp1 9787 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
4645a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
47 fznn0sub 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
48 expcl 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
498, 47, 48syl2an 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
5049, 21mulcld 7750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
5113, 50mulcld 7750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
529, 51sylan2 282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
535adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
54 eldifi 3166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5554, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
5655adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
57 eldifn 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
5857adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
59 bcval3 10437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
6053, 56, 58, 59syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
6160oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )
6250mul02d 8118 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
6354, 62sylan2 282 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  =  0 )
6461, 63eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  0 )
65 eluzelz 9284 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  n  e.  ZZ )
6665adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  n  e.  ZZ )
67 0zd 9017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  0  e.  ZZ )
686adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
69 fzdcel 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  n  e.  (
0 ... N ) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  -> DECID  n  e.  (
0 ... N ) )
7170ralrimiva 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  n  e.  ( 0 ... N
) )
72 fzssuz 9785 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )
7372a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
7468peano2zd 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
75 fzdcel 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> DECID  n  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7666, 67, 74, 75syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  -> DECID  n  e.  (
0 ... ( N  + 
1 ) ) )
7776ralrimiva 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  n  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7846, 52, 64, 71, 4, 73, 77isumss 11100 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
7925, 44, 783eqtrd 2152 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
8079adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
813, 80eqtrd 2148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
821oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  B ) )
837, 18, 24fsummulc1 11158 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B ) )
84 1zzd 9032 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8518adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
8624, 85mulcld 7750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  e.  CC )
87 oveq2 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  (
j  -  1 ) ) )
88 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  ( j  -  1 ) ) )
8988oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) ) )
90 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
j  -  1 ) ) )
9189, 90oveq12d 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )
9287, 91oveq12d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) ) )
9392oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
9484, 4, 6, 86, 93fsumshft 11153 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
95 oveq1 5747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
9695oveq2d 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
9795oveq2d 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( N  -  ( j  -  1 ) )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
9897oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
9995oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ ( j  - 
1 ) )  =  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )
10098, 99oveq12d 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
10196, 100oveq12d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  _C  (
j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( j  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
102101oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
103102cbvsumv 11070 . . . . . . 7  |-  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )
10494, 103syl6eq 2164 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
10528adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
106 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
107106adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
108107zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
109 1cnd 7746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
110105, 108, 109subsub3d 8067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
111110oveq2d 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) ) )
112111oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
113112oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
114113oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
115 0z 9016 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
116 fzp1ss 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
118117sseli 3061 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
11910adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
120 peano2zm 9043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
121119, 120syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
122 bccl 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
1235, 121, 122syl2an2r 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
124123nn0cnd 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
125118, 124sylan2 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
126118, 49sylan2 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
12718adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
128 elfznn 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
129 0p1e1 8791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
130129oveq1i 5750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
131128, 130eleq2s 2210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
132131adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
133 nnm1nn0 8969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
135127, 134expcld 10364 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
136126, 135mulcld 7750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
137125, 136, 127mulassd 7753 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  B
) ) )
138126, 135, 127mulassd 7753 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  (
( B ^ (
k  -  1 ) )  x.  B ) ) )
139 expm1t 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k
)  =  ( ( B ^ ( k  -  1 ) )  x.  B ) )
14018, 131, 139syl2an 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  =  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) )
141140oveq2d 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) ) )
142138, 141eqtr4d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )
143142oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
144114, 137, 1433eqtrd 2152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
145144sumeq2dv 11077 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
146117a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
147124, 50mulcld 7750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
148118, 147sylan2 282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
1495adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
150 eldifi 3166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
151150adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
152151, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
153152, 120syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
154 eldifn 3167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
155154adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
156 0zd 9017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
157149nn0zd 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
158 1zzd 9032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
159 fzaddel 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
160156, 157, 153, 158, 159syl22anc 1200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
161152zcnd 9125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  CC )
162 ax-1cn 7677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
163 npcan 7935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
164161, 162, 163sylancl 407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
165164eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
166160, 165bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
167155, 166mtbird 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
168 bcval3 10437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  =  0 )
169149, 153, 167, 168syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  0 )
170169oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
171150, 62sylan2 282 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
172170, 171eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
17367peano2zd 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
174 fzdcel 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( 0  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  -> DECID 
n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
17566, 173, 74, 174syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  -> DECID  n  e.  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
176175ralrimiva 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  0 )DECID  n  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )
177146, 148, 172, 176, 4, 73, 77isumss 11100 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
178104, 145, 1773eqtrd 2152 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
17983, 178eqtrd 2148 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
18082, 179sylan9eqr 2170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
18181, 180oveq12d 5758 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  B ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
1828, 18addcld 7749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
183182, 5expp1d 10365 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ N )  x.  ( A  +  B ) ) )
184182, 5expcld 10364 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  e.  CC )
185184, 8, 18adddid 7754 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
186183, 185eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
187186adantr 272 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
188 bcpasc 10452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
1895, 10, 188syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
190189oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
19113, 124, 50adddird 7755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
192190, 191eqtr3d 2150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
193192sumeq2dv 11077 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
1946peano2zd 9127 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
1954, 194fzfigd 10144 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
196195, 51, 147fsumadd 11115 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
197193, 196eqtrd 2148 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
198197adantr 272 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
199181, 187, 1983eqtr4d 2158 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463    \ cdif 3036    C_ wss 3039   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    - cmin 7897   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730   ^cexp 10232    _C cbc 10433   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-bc 10434  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  binom  11193
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