Theorem binomlem 11284

Description: Lemma for binom 11285 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomlem.1	|- ( ph -> A e. CC )
binomlem.2	|- ( ph -> B e. CC )
binomlem.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
binomlem.4	|- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
binomlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   ps( k)

Proof of Theorem binomlem

Dummy variables j n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 |- ( ps -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
2	1	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
3	2	oveq1d 5797	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
4		0zd 9090	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
8		binomlem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
9		fzelp1 9885	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
10		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
11		bccl 10545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
12	5, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
13	12	nn0cnd 9056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
14	9, 13	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
15		fznn0sub 9868	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
16		expcl 10342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
17	8, 15, 16	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( N - k ) ) e. CC )
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
19		elfznn0 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
20		expcl 10342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. CC )
21	18, 19, 20	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
22	9, 21	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
23	17, 22	mulcld 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
24	14, 23	mulcld 7810	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
25	7, 8, 24	fsummulc1 11250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) )
26	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
27	14, 23, 26	mulassd 7813	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
28	5	nn0cnd 9056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. CC )
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
30		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
31		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
33	32	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
34	29, 30, 33	addsubd 8118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
35	34	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) )
36		expp1 10331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
37	8, 15, 36	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
38	35, 37	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) )
39	38	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) )
40	17, 26, 22	mul32d 7939	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. A ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
41	39, 40	eqtrd 2173	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) )
42	41	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) x. A ) ) )
43	27, 42	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
44	43	sumeq2dv 11169	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
45		fzssp1 9878	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
46	45	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
47		fznn0sub 9868	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
48		expcl 10342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
49	8, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
50	49, 21	mulcld 7810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
51	13, 50	mulcld 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
52	9, 51	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
53	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
54		eldifi 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ZZ )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ZZ )
57		eldifn 3204	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
58	57	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
59		bcval3 10529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ /\ -. k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( N _C k ) = 0 )
61	60	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
62	50	mul02d 8178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
63	54, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
64	61, 63	eqtrd 2173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
65		eluzelz 9359	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 0 ) -> n e. ZZ )
66	65	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> n e. ZZ )
67		0zd 9090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ZZ )
68	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> N e. ZZ )
69		fzdcel 9851	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... N ) )
71	70	ralrimiva 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... N ) )
72		fzssuz 9876	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
73	72	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
74	68	peano2zd 9200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
75		fzdcel 9851	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
77	76	ralrimiva 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11192	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
79	25, 44, 78	3eqtrd 2177	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
80	79	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
81	3, 80	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
82	1	oveq1d 5797	. . . 4 |- ( ps -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
83	7, 18, 24	fsummulc1 11250	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) )
84		1zzd 9105	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
85	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. CC )
86	24, 85	mulcld 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) e. CC )
87		oveq2 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( j - 1 ) ) )
88		oveq2 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( N - k ) = ( N - ( j - 1 ) ) )
89	88	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( A ^ ( N - k ) ) = ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) )
90		oveq2 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( B ^ k ) = ( B ^ ( j - 1 ) ) )
91	89, 90	oveq12d 5800	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) )
92	87, 91	oveq12d 5800	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) )
93	92	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11245	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) )
95		oveq1 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( j - 1 ) = ( k - 1 ) )
96	95	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( N _C ( j - 1 ) ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
97	95	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( N - ( j - 1 ) ) = ( N - ( k - 1 ) ) )
98	97	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) = ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) )
99	95	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( B ^ ( j - 1 ) ) = ( B ^ ( k - 1 ) ) )
100	98, 99	oveq12d 5800	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
101	96, 100	oveq12d 5800	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
102	101	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
103	102	cbvsumv 11162	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( j - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( j - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( j - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B )
104	94, 103	eqtrdi 2189	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
105	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC )
106		elfzelz 9837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
108	107	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
109		1cnd 7806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
110	105, 108, 109	subsub3d 8127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - k ) )
111	110	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) = ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) )
112	111	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) )
113	112	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
114	113	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) )
115		0z 9089	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
116		fzp1ss 9884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
118	117	sseli 3098	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
119	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
120		peano2zm 9116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
122		bccl 10545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
123	5, 121, 122	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
125	118, 124	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
126	118, 49	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
127	18	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. CC )
128		elfznn 9865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
129		0p1e1 8858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
130	129	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
131	128, 130	eleq2s 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
132	131	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN )
133		nnm1nn0 9042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
135	127, 134	expcld 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
136	126, 135	mulcld 7810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
137	125, 136, 127	mulassd 7813	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) )
138	126, 135, 127	mulassd 7813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
139		expm1t 10352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
140	18, 131, 139	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) = ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) )
141	140	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( ( B ^ ( k - 1 ) ) x. B ) ) )
142	138, 141	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) = ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
143	142	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) x. B ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
144	114, 137, 143	3eqtrd 2177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
145	144	sumeq2dv 11169	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
146	117	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
147	124, 50	mulcld 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
148	118, 147	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
149	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. NN0 )
150		eldifi 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
151	150	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. ZZ )
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
154		eldifn 3204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
155	154	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
156		0zd 9090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
157	149	nn0zd 9195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. ZZ )
158		1zzd 9105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> 1 e. ZZ )
159		fzaddel 9870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( k - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. CC )
162		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
163		npcan 7995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
164	161, 162, 163	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
165	164	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( k - 1 ) + 1 ) e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
166	160, 165	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) )
167	155, 166	mtbird 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
168		bcval3 10529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ /\ -. ( k - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) = 0 )
170	169	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
171	150, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
172	170, 171	eqtrd 2173	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
173	67	peano2zd 9200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( 0 + 1 ) e. ZZ )
174		fzdcel 9851	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ ( 0 + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
176	175	ralrimiva 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` 0 )DECID n e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11192	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
178	104, 145, 177	3eqtrd 2177	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
179	83, 178	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( N - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
180	82, 179	sylan9eqr 2195	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
181	81, 180	oveq12d 5800	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
182	8, 18	addcld 7809	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
183	182, 5	expp1d 10456	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) )
184	182, 5	expcld 10455	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ N ) e. CC )
185	184, 8, 18	adddid 7814	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) ^ N ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
186	183, 185	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
187	186	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ N ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ N ) x. B ) ) )
188		bcpasc 10544	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
189	5, 10, 188	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
190	189	oveq1d 5797	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
191	13, 124, 50	adddird 7815	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
192	190, 191	eqtr3d 2175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
193	192	sumeq2dv 11169	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
194	6	peano2zd 9200	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
195	4, 194	fzfigd 10235	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
196	195, 51, 147	fsumadd 11207	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
197	193, 196	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
198	197	adantr 274	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2183	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) ^ ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A ^ ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   \ cdif 3073   C_ wss 3076   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   - cmin 7957   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   ^cexp 10323   _C cbc 10525   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  binom  11285