binomlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binomlem 11446

Description: Lemma for binom 11447 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 275	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 5868	. . . 4 $/\$
4		0zd 9224	. . . . . . . 8
5		binomlem.3	. . . . . . . . 9
6	5	nn0zd 9332	. . . . . . . 8
7	4, 6	fzfigd 10387	. . . . . . 7
8		binomlem.1	. . . . . . 7
9		fzelp1 10030	. . . . . . . . 9
10		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 10701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	5, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 9190	. . . . . . . . 9 $/\$
14	9, 13	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$
15		fznn0sub 10013	. . . . . . . . . 10
16		expcl 10494	. . . . . . . . . 10 $/\$
17	8, 15, 16	syl2an 287	. . . . . . . . 9 $/\$
18		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
19		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . 11
20		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	18, 19, 20	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	9, 21	sylan2 284	. . . . . . . . 9 $/\$
23	17, 22	mulcld 7940	. . . . . . . 8 $/\$
24	14, 23	mulcld 7940	. . . . . . 7 $/\$
25	7, 8, 24	fsummulc1 11412	. . . . . 6
26	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
27	14, 23, 26	mulassd 7943	. . . . . . . 8 $/\$
28	5	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
30		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33	32	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	29, 30, 33	addsubd 8251	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	34	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		expp1 10483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	8, 15, 36	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	35, 37	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	38	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	17, 26, 22	mul32d 8072	. . . . . . . . . 10 $/\$
41	39, 40	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 $/\$
43	27, 42	eqtr4d 2206	. . . . . . 7 $/\$
44	43	sumeq2dv 11331	. . . . . 6
45		fzssp1 10023	. . . . . . . 8
46	45	a1i 9	. . . . . . 7
47		fznn0sub 10013	. . . . . . . . . . 11
48		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	8, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49, 21	mulcld 7940	. . . . . . . . 9 $/\$
51	13, 50	mulcld 7940	. . . . . . . 8 $/\$
52	9, 51	sylan2 284	. . . . . . 7 $/\$
53	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
54		eldifi 3249	. . . . . . . . . . . 12 $\$
55	54, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		eldifn 3250	. . . . . . . . . . 11 $\$
58	57	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
59		bcval3 10685	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
60	53, 56, 58, 59	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
61	60	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	50	mul02d 8311	. . . . . . . . 9 $/\$
63	54, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
64	61, 63	eqtrd 2203	. . . . . . 7 $/\$ $\$
65		eluzelz 9496	. . . . . . . . . 10
66	65	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$
67		0zd 9224	. . . . . . . . 9 $/\$
68	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
69		fzdcel 9996	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
71	70	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 DECID
72		fzssuz 10021	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	68	peano2zd 9337	. . . . . . . . 9 $/\$
75		fzdcel 9996	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
76	66, 67, 74, 75	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
77	76	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 DECID
78	46, 52, 64, 71, 4, 73, 77	isumss 11354	. . . . . 6
79	25, 44, 78	3eqtrd 2207	. . . . 5
80	79	adantr 274	. . . 4 $/\$
81	3, 80	eqtrd 2203	. . 3 $/\$
82	1	oveq1d 5868	. . . 4
83	7, 18, 24	fsummulc1 11412	. . . . 5
84		1zzd 9239	. . . . . . . 8
85	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
86	24, 85	mulcld 7940	. . . . . . . 8 $/\$
87		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10
88		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . 12
89	88	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11
90		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11
91	89, 90	oveq12d 5871	. . . . . . . . . 10
92	87, 91	oveq12d 5871	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 5868	. . . . . . . 8
94	84, 4, 6, 86, 93	fsumshft 11407	. . . . . . 7
95		oveq1 5860	. . . . . . . . . . 11
96	95	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10
97	95	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12
98	97	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11
99	95	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11
100	98, 99	oveq12d 5871	. . . . . . . . . 10
101	96, 100	oveq12d 5871	. . . . . . . . 9
102	101	oveq1d 5868	. . . . . . . 8
103	102	cbvsumv 11324	. . . . . . 7
104	94, 103	eqtrdi 2219	. . . . . 6
105	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
108	107	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	105, 108, 109	subsub3d 8260	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	110	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	111	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	112	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 $/\$
114	113	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 $/\$
115		0z 9223	. . . . . . . . . . . 12
116		fzp1ss 10029	. . . . . . . . . . . 12
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
118	117	sseli 3143	. . . . . . . . . 10
119	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
120		peano2zm 9250	. . . . . . . . . . . . 13
121	119, 120	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122		bccl 10701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123	5, 121, 122	syl2an2r 590	. . . . . . . . . . 11 $/\$
124	123	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . 10 $/\$
125	118, 124	sylan2 284	. . . . . . . . 9 $/\$
126	118, 49	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	18	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
128		elfznn 10010	. . . . . . . . . . . . . 14
129		0p1e1 8992	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	129	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . 14
131	128, 130	eleq2s 2265	. . . . . . . . . . . . 13
132	131	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		nnm1nn0 9176	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	127, 134	expcld 10609	. . . . . . . . . 10 $/\$
136	126, 135	mulcld 7940	. . . . . . . . 9 $/\$
137	125, 136, 127	mulassd 7943	. . . . . . . 8 $/\$
138	126, 135, 127	mulassd 7943	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		expm1t 10504	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
140	18, 131, 139	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	140	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2206	. . . . . . . . 9 $/\$
143	142	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 $/\$
144	114, 137, 143	3eqtrd 2207	. . . . . . 7 $/\$
145	144	sumeq2dv 11331	. . . . . 6
146	117	a1i 9	. . . . . . 7
147	124, 50	mulcld 7940	. . . . . . . 8 $/\$
148	118, 147	sylan2 284	. . . . . . 7 $/\$
149	5	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
150		eldifi 3249	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
151	150	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
152	151, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
153	152, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
154		eldifn 3250	. . . . . . . . . . . 12 $\$
155	154	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
156		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
157	149	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
158		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
159		fzaddel 10015	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
160	156, 157, 153, 158, 159	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
161	152	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
162		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . 14
163		npcan 8128	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
164	161, 162, 163	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
165	164	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
166	160, 165	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
167	155, 166	mtbird 668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
168		bcval3 10685	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	149, 153, 167, 168	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
170	169	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
171	150, 62	sylan2 284	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
172	170, 171	eqtrd 2203	. . . . . . 7 $/\$ $\$
173	67	peano2zd 9337	. . . . . . . . 9 $/\$
174		fzdcel 9996	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ DECID
175	66, 173, 74, 174	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
176	175	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 DECID
177	146, 148, 172, 176, 4, 73, 77	isumss 11354	. . . . . 6
178	104, 145, 177	3eqtrd 2207	. . . . 5
179	83, 178	eqtrd 2203	. . . 4
180	82, 179	sylan9eqr 2225	. . 3 $/\$
181	81, 180	oveq12d 5871	. 2 $/\$
182	8, 18	addcld 7939	. . . . 5
183	182, 5	expp1d 10610	. . . 4
184	182, 5	expcld 10609	. . . . 5
185	184, 8, 18	adddid 7944	. . . 4
186	183, 185	eqtrd 2203	. . 3
187	186	adantr 274	. 2 $/\$
188		bcpasc 10700	. . . . . . . 8 $/\$
189	5, 10, 188	syl2an 287	. . . . . . 7 $/\$
190	189	oveq1d 5868	. . . . . 6 $/\$
191	13, 124, 50	adddird 7945	. . . . . 6 $/\$
192	190, 191	eqtr3d 2205	. . . . 5 $/\$
193	192	sumeq2dv 11331	. . . 4
194	6	peano2zd 9337	. . . . . 6
195	4, 194	fzfigd 10387	. . . . 5
196	195, 51, 147	fsumadd 11369	. . . 4
197	193, 196	eqtrd 2203	. . 3
198	197	adantr 274	. 2 $/\$
199	181, 187, 198	3eqtr4d 2213	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 DECID wdc 829

wceq 1348

wcel 2141 $\$ cdif 3118

wss 3121

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

cmin 8090

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cuz 9487

cfz 9965

cexp 10475

cbc 10681

csu 11316

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-frec 6370 df-1o 6395 df-oadd 6399 df-er 6513 df-en 6719 df-dom 6720 df-fin 6721 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-fac 10660 df-bc 10682 df-ihash 10710 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-clim 11242 df-sumdc 11317

This theorem is referenced by: binom 11447

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