Theorem binom3 10728

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9042	. . . 4 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	oveq2i 5929	. . 3 |- ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) )
3		addcl 7997	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4		2nn0 9257	. . . 4 |- 2 e. NN0
5		expp1 10617	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
7	2, 6	eqtrid 2238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
8		sqcl 10671	. . . . 5 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	adddid 8044	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) )
13		binom2 10722	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) )
15		sqcl 10671	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
17		2cn 9053	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
18		mulcl 7999	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
19		mulcl 7999	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
21	16, 20	addcld 8039	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22		sqcl 10671	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
24	21, 23, 10	adddird 8045	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) )
25	16, 20, 10	adddird 8045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
26	1	oveq2i 5929	. . . . . . . . 9 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
27		expp1 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
28	10, 4, 27	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
29	26, 28	eqtrid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
30		sqval 10668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
32	31	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. A ) x. B ) )
33	10, 10, 11	mul32d 8172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. A ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
34	32, 33	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
35	34	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
36		2cnd 9055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
37	36, 18, 10	mulassd 8043	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
38	35, 37	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) )
39	29, 38	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
40	25, 39	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
41	23, 10	mulcomd 8041	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	oveq12d 5936	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
43	14, 24, 42	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44	13	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) )
45	21, 23, 11	adddird 8045	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
46		sqval 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
48	47	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
49	10, 11, 11	mulassd 8043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. B ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
50	48, 49	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. B ) x. B ) )
51	50	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
52	36, 18, 11	mulassd 8043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
53	51, 52	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) )
54	53	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
55	16, 20, 11	adddird 8045	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
56	54, 55	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) )
57	1	oveq2i 5929	. . . . . . . 8 |- ( B ^ 3 ) = ( B ^ ( 2 + 1 ) )
58		expp1 10617	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
59	11, 4, 58	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
60	57, 59	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
61	56, 60	oveq12d 5936	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
62	16, 11	mulcld 8040	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
63	10, 23	mulcld 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC )
64		mulcl 7999	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	17, 63, 64	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
66		3nn0 9258	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
67		expcl 10628	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
68	11, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
69	62, 65, 68	addassd 8042	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
70	61, 69	eqtr3d 2228	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
71	44, 45, 70	3eqtrd 2230	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
72	43, 71	oveq12d 5936	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73		expcl 10628	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74	10, 66, 73	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
75		mulcl 7999	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
76	17, 62, 75	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
77	74, 76	addcld 8039	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) e. CC )
78	65, 68	addcld 8039	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) e. CC )
79	77, 63, 62, 78	add4d 8188	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
80	12, 72, 79	3eqtrd 2230	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
81	74, 76, 62	addassd 8042	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
82	1	oveq1i 5928	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
83		1cnd 8035	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 1 e. CC )
84	36, 83, 62	adddird 8045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
85	82, 84	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
86	62	mulid2d 8038	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
87	86	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
88	85, 87	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
89	88	oveq2d 5934	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
90	81, 89	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
91		1p2e3 9116	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
92	91	oveq1i 5928	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
93	83, 36, 63	adddird 8045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
94	92, 93	eqtr3id 2240	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
95	63	mulid2d 8038	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
96	95	oveq1d 5933	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
97	94, 96	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
99	63, 65, 68	addassd 8042	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
100	98, 99	eqtr2d 2227	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
101	90, 100	oveq12d 5936	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
102	7, 80, 101	3eqtrd 2230	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   2c2 9033   3c3 9034   NN0cn0 9240   ^cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  binom4  15111