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Theorem binom3 10593
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 8938 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21oveq2i 5864 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )
3 addcl 7899 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 2nn0 9152 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 expp1 10483 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6eqtrid 2215 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 sqcl 10537 . . . . 5  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
10 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
129, 10, 11adddid 7944 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) ) )
13 binom2 10587 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1413oveq1d 5868 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )
15 sqcl 10537 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
1610, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
17 2cn 8949 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
18 mulcl 7901 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
19 mulcl 7901 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 412 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
2116, 20addcld 7939 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
22 sqcl 10537 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2421, 23, 10adddird 7945 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) ) )
2516, 20, 10adddird 7945 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
261oveq2i 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
27 expp1 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2810, 4, 27sylancl 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2926, 28eqtrid 2215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
30 sqval 10534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3231oveq1d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
3310, 10, 11mul32d 8072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3432, 33eqtrd 2203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3534oveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
36 2cnd 8951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
3736, 18, 10mulassd 7943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3835, 37eqtr4d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) )
3929, 38oveq12d 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
4025, 39eqtr4d 2206 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
4123, 10mulcomd 7941 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
4240, 41oveq12d 5871 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4314, 24, 423eqtrd 2207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4413oveq1d 5868 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )
4521, 23, 11adddird 7945 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
46 sqval 10534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
4847oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  B
) ) )
4910, 11, 11mulassd 7943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  B
)  =  ( A  x.  ( B  x.  B ) ) )
5048, 49eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  B ) )
5150oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5236, 18, 11mulassd 7943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5351, 52eqtr4d 2206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) )
5453oveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5516, 20, 11adddird 7945 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5654, 55eqtr4d 2206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B ) )
571oveq2i 5864 . . . . . . . 8  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
58 expp1 10483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
5911, 4, 58sylancl 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6057, 59eqtrid 2215 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6156, 60oveq12d 5871 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
6216, 11mulcld 7940 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6310, 23mulcld 7940 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
64 mulcl 7901 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
6517, 63, 64sylancr 412 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
66 3nn0 9153 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
67 expcl 10494 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
6811, 66, 67sylancl 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
6962, 65, 68addassd 7942 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7061, 69eqtr3d 2205 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7144, 45, 703eqtrd 2207 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7243, 71oveq12d 5871 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73 expcl 10494 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
7410, 66, 73sylancl 411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
75 mulcl 7901 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
7617, 62, 75sylancr 412 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
7774, 76addcld 7939 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
7865, 68addcld 7939 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
7977, 63, 62, 78add4d 8088 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8012, 72, 793eqtrd 2207 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8174, 76, 62addassd 7942 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
821oveq1i 5863 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )
83 1cnd 7936 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8436, 83, 62adddird 7945 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8582, 84eqtrid 2215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8662mulid2d 7938 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
8786oveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8885, 87eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8988oveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
9081, 89eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
91 1p2e3 9012 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
9291oveq1i 5863 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9383, 36, 63adddird 7945 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9492, 93eqtr3id 2217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9563mulid2d 7938 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9695oveq1d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9794, 96eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9897oveq1d 5868 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
9963, 65, 68addassd 7942 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
10098, 99eqtr2d 2204 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10190, 100oveq12d 5871 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
1027, 80, 1013eqtrd 2207 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775    + caddc 7777    x. cmul 7779   2c2 8929   3c3 8930   NN0cn0 9135   ^cexp 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476
This theorem is referenced by:  binom4  13691
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