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Theorem binom3 10535
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 8893 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21oveq2i 5835 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )
3 addcl 7857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 2nn0 9107 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 expp1 10426 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 410 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2202 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 sqcl 10480 . . . . 5  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
10 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
129, 10, 11adddid 7902 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) ) )
13 binom2 10529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1413oveq1d 5839 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )
15 sqcl 10480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
1610, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
17 2cn 8904 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
18 mulcl 7859 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
19 mulcl 7859 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
2116, 20addcld 7897 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
22 sqcl 10480 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2421, 23, 10adddird 7903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) ) )
2516, 20, 10adddird 7903 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
261oveq2i 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
27 expp1 10426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2810, 4, 27sylancl 410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2926, 28syl5eq 2202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
30 sqval 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3231oveq1d 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
3310, 10, 11mul32d 8028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3432, 33eqtrd 2190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3534oveq2d 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
36 2cnd 8906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
3736, 18, 10mulassd 7901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3835, 37eqtr4d 2193 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) )
3929, 38oveq12d 5842 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
4025, 39eqtr4d 2193 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
4123, 10mulcomd 7899 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
4240, 41oveq12d 5842 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4314, 24, 423eqtrd 2194 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4413oveq1d 5839 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )
4521, 23, 11adddird 7903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
46 sqval 10477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
4847oveq2d 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  B
) ) )
4910, 11, 11mulassd 7901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  B
)  =  ( A  x.  ( B  x.  B ) ) )
5048, 49eqtr4d 2193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  B ) )
5150oveq2d 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5236, 18, 11mulassd 7901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5351, 52eqtr4d 2193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) )
5453oveq2d 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5516, 20, 11adddird 7903 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5654, 55eqtr4d 2193 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B ) )
571oveq2i 5835 . . . . . . . 8  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
58 expp1 10426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
5911, 4, 58sylancl 410 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6057, 59syl5eq 2202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6156, 60oveq12d 5842 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
6216, 11mulcld 7898 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6310, 23mulcld 7898 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
64 mulcl 7859 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
6517, 63, 64sylancr 411 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
66 3nn0 9108 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
67 expcl 10437 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
6811, 66, 67sylancl 410 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
6962, 65, 68addassd 7900 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7061, 69eqtr3d 2192 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7144, 45, 703eqtrd 2194 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7243, 71oveq12d 5842 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73 expcl 10437 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
7410, 66, 73sylancl 410 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
75 mulcl 7859 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
7617, 62, 75sylancr 411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
7774, 76addcld 7897 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
7865, 68addcld 7897 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
7977, 63, 62, 78add4d 8044 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8012, 72, 793eqtrd 2194 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8174, 76, 62addassd 7900 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
821oveq1i 5834 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )
83 1cnd 7894 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8436, 83, 62adddird 7903 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8582, 84syl5eq 2202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8662mulid2d 7896 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
8786oveq2d 5840 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8885, 87eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8988oveq2d 5840 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
9081, 89eqtr4d 2193 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
91 1p2e3 8967 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
9291oveq1i 5834 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9383, 36, 63adddird 7903 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9492, 93eqtr3id 2204 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9563mulid2d 7896 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9695oveq1d 5839 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9794, 96eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9897oveq1d 5839 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
9963, 65, 68addassd 7900 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
10098, 99eqtr2d 2191 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10190, 100oveq12d 5842 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
1027, 80, 1013eqtrd 2194 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128  (class class class)co 5824   CCcc 7730   1c1 7733    + caddc 7735    x. cmul 7737   2c2 8884   3c3 8885   NN0cn0 9090   ^cexp 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345  df-exp 10419
This theorem is referenced by:  binom4  13307
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