Theorem binom3 10623

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8968	. . . 4 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	oveq2i 5880	. . 3 |- ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) )
3		addcl 7927	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4		2nn0 9182	. . . 4 |- 2 e. NN0
5		expp1 10513	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
7	2, 6	eqtrid 2222	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
8		sqcl 10567	. . . . 5 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
10		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	adddid 7972	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) )
13		binom2 10617	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) )
15		sqcl 10567	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
17		2cn 8979	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
18		mulcl 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
19		mulcl 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
21	16, 20	addcld 7967	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22		sqcl 10567	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
24	21, 23, 10	adddird 7973	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) )
25	16, 20, 10	adddird 7973	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
26	1	oveq2i 5880	. . . . . . . . 9 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
27		expp1 10513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
28	10, 4, 27	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
29	26, 28	eqtrid 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
30		sqval 10564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
32	31	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. A ) x. B ) )
33	10, 10, 11	mul32d 8100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. A ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
34	32, 33	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
35	34	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
36		2cnd 8981	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
37	36, 18, 10	mulassd 7971	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
38	35, 37	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) )
39	29, 38	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
40	25, 39	eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
41	23, 10	mulcomd 7969	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	oveq12d 5887	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
43	14, 24, 42	3eqtrd 2214	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44	13	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) )
45	21, 23, 11	adddird 7973	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
46		sqval 10564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
48	47	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
49	10, 11, 11	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. B ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
50	48, 49	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. B ) x. B ) )
51	50	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
52	36, 18, 11	mulassd 7971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
53	51, 52	eqtr4d 2213	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) )
54	53	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
55	16, 20, 11	adddird 7973	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
56	54, 55	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) )
57	1	oveq2i 5880	. . . . . . . 8 |- ( B ^ 3 ) = ( B ^ ( 2 + 1 ) )
58		expp1 10513	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
59	11, 4, 58	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
60	57, 59	eqtrid 2222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
61	56, 60	oveq12d 5887	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
62	16, 11	mulcld 7968	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
63	10, 23	mulcld 7968	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC )
64		mulcl 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	17, 63, 64	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
66		3nn0 9183	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
67		expcl 10524	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
68	11, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
69	62, 65, 68	addassd 7970	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
70	61, 69	eqtr3d 2212	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
71	44, 45, 70	3eqtrd 2214	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
72	43, 71	oveq12d 5887	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73		expcl 10524	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74	10, 66, 73	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
75		mulcl 7929	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
76	17, 62, 75	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
77	74, 76	addcld 7967	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) e. CC )
78	65, 68	addcld 7967	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) e. CC )
79	77, 63, 62, 78	add4d 8116	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
80	12, 72, 79	3eqtrd 2214	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
81	74, 76, 62	addassd 7970	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
82	1	oveq1i 5879	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
83		1cnd 7964	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 1 e. CC )
84	36, 83, 62	adddird 7973	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
85	82, 84	eqtrid 2222	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
86	62	mulid2d 7966	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
87	86	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
88	85, 87	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
89	88	oveq2d 5885	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
90	81, 89	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
91		1p2e3 9042	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
92	91	oveq1i 5879	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
93	83, 36, 63	adddird 7973	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
94	92, 93	eqtr3id 2224	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
95	63	mulid2d 7966	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
96	95	oveq1d 5884	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
97	94, 96	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 5884	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
99	63, 65, 68	addassd 7970	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
100	98, 99	eqtr2d 2211	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
101	90, 100	oveq12d 5887	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
102	7, 80, 101	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5869   CCcc 7800   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   2c2 8959   3c3 8960   NN0cn0 9165   ^cexp 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506

This theorem is referenced by:  binom4  14064