Theorem binom3 10572

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 8917	. . . 4 |- 3 = ( 2 + 1 )
2	1	oveq2i 5853	. . 3 |- ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) )
3		addcl 7878	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
4		2nn0 9131	. . . 4 |- 2 e. NN0
5		expp1 10462	. . . 4 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 410	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
7	2, 6	syl5eq 2211	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) )
8		sqcl 10516	. . . . 5 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
9	3, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) e. CC )
10		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
11		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
12	9, 10, 11	adddid 7923	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) )
13		binom2 10566	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) )
14	13	oveq1d 5857	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) )
15		sqcl 10516	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) e. CC )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
17		2cn 8928	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
18		mulcl 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
19		mulcl 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
20	17, 18, 19	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) e. CC )
21	16, 20	addcld 7918	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) e. CC )
22		sqcl 10516	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) e. CC )
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
24	21, 23, 10	adddird 7924	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) )
25	16, 20, 10	adddird 7924	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
26	1	oveq2i 5853	. . . . . . . . 9 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
27		expp1 10462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
28	10, 4, 27	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
29	26, 28	syl5eq 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
30		sqval 10513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
32	31	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. A ) x. B ) )
33	10, 10, 11	mul32d 8051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. A ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
34	32, 33	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) = ( ( A x. B ) x. A ) )
35	34	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
36		2cnd 8930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. CC )
37	36, 18, 10	mulassd 7922	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. A ) ) )
38	35, 37	eqtr4d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) )
39	29, 38	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. A ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. A ) ) )
40	25, 39	eqtr4d 2201	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
41	23, 10	mulcomd 7920	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( B ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. A ) + ( ( B ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
43	14, 24, 42	3eqtrd 2202	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44	13	oveq1d 5857	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) )
45	21, 23, 11	adddird 7924	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) x. B ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
46		sqval 10513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. CC -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) )
48	47	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
49	10, 11, 11	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. B ) = ( A x. ( B x. B ) ) )
50	48, 49	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. B ) x. B ) )
51	50	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
52	36, 18, 11	mulassd 7922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( A x. B ) x. B ) ) )
53	51, 52	eqtr4d 2201	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) )
54	53	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
55	16, 20, 11	adddird 7924	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. B ) ) x. B ) ) )
56	54, 55	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) )
57	1	oveq2i 5853	. . . . . . . 8 |- ( B ^ 3 ) = ( B ^ ( 2 + 1 ) )
58		expp1 10462	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
59	11, 4, 58	sylancl 410	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
60	57, 59	syl5eq 2211	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) = ( ( B ^ 2 ) x. B ) )
61	56, 60	oveq12d 5860	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) )
62	16, 11	mulcld 7919	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
63	10, 23	mulcld 7919	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC )
64		mulcl 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A x. ( B ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	17, 63, 64	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) e. CC )
66		3nn0 9132	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
67		expcl 10473	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
68	11, 66, 67	sylancl 410	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
69	62, 65, 68	addassd 7921	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
70	61, 69	eqtr3d 2200	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) x. B ) + ( ( B ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
71	44, 45, 70	3eqtrd 2202	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
72	43, 71	oveq12d 5860	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. A ) + ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73		expcl 10473	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
74	10, 66, 73	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
75		mulcl 7880	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
76	17, 62, 75	sylancr 411	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) e. CC )
77	74, 76	addcld 7918	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) e. CC )
78	65, 68	addcld 7918	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) e. CC )
79	77, 63, 62, 78	add4d 8067	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
80	12, 72, 79	3eqtrd 2202	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) x. ( A + B ) ) = ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) )
81	74, 76, 62	addassd 7921	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
82	1	oveq1i 5852	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
83		1cnd 7915	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 1 e. CC )
84	36, 83, 62	adddird 7924	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 + 1 ) x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
85	82, 84	syl5eq 2211	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
86	62	mulid2d 7917	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. B ) )
87	86	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( 1 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
88	85, 87	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) )
89	88	oveq2d 5858	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
90	81, 89	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) = ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) )
91		1p2e3 8991	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
92	91	oveq1i 5852	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
93	83, 36, 63	adddird 7924	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 + 2 ) x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
94	92, 93	eqtr3id 2213	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
95	63	mulid2d 7917	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( A x. ( B ^ 2 ) ) )
96	95	oveq1d 5857	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
97	94, 96	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) )
98	97	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
99	63, 65, 68	addassd 7921	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
100	98, 99	eqtr2d 2199	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) = ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) )
101	90, 100	oveq12d 5860	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A ^ 3 ) + ( 2 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) + ( ( A x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( 2 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )
102	7, 80, 101	3eqtrd 2202	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 3 ) = ( ( ( A ^ 3 ) + ( 3 x. ( ( A ^ 2 ) x. B ) ) ) + ( ( 3 x. ( A x. ( B ^ 2 ) ) ) + ( B ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   2c2 8908   3c3 8909   NN0cn0 9114   ^cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  binom4  13537