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Theorem resqrexlemcalc1 10412
Description: Lemma for resqrex 10424. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 10407 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
54oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
61, 2, 3resqrexlemf 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
87rpred 9142 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
92adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 7rerpdivcld 9174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
118, 10readdcld 7496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
1211recnd 7495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  CC )
13 2cnd 8466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
14 2ap0 8486 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2 #  0 )
1612, 13, 15sqdivapd 10064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
175, 16eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
18 sq2 10015 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1918oveq2i 5645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
)
2017, 19syl6eq 2136 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
219recnd 7495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
22 4cn 8471 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
2322a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
24 4re 8470 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
26 4pos 8490 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
2825, 27gt0ap0d 8081 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
2921, 23, 28divcanap3d 8235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
3029eqcomd 2093 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( 4  x.  A )  /  4
) )
3120, 30oveq12d 5652 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3212sqcld 10049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3323, 21mulcld 7487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8269 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3531, 34eqtr4d 2123 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
368recnd 7495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
3736sqcld 10049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
3813, 21mulcld 7487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3937, 38, 33addsubassd 7792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  A
)  -  ( 4  x.  A ) ) ) )
40 2cn 8464 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4122, 40negsubdi2i 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  ( 2  -  4 )
42 2p2e4 8513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  2 )  =  4
4342oveq1i 5644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  ( 4  -  2 )
4440, 40pncan3oi 7677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  2
4543, 44eqtr3i 2110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  -  2 )  =  2
4645negeqi 7655 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  -u 2
4741, 46eqtr3i 2110 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  4 )  = 
-u 2
4847oveq1i 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( -u 2  x.  A )
4913, 23, 21subdird 7872 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  -  (
4  x.  A ) ) )
5013, 21mulneg1d 7868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
5148, 49, 503eqtr3a 2144 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A ) )  = 
-u ( 2  x.  A ) )
5251oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A
) ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  -u ( 2  x.  A
) ) )
5337, 38negsubd 7778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5439, 52, 533eqtrd 2124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5554oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
5610recnd 7495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  CC )
57 binom2 10030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  N )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) ) )
5836, 56, 57syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  N
)  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
597rpap0d 9148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
6021, 36, 59divcanap2d 8232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) )  =  A )
6160oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
6261oveq2d 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
6362oveq1d 5649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6458, 63eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 ) )  -  (
4  x.  A ) ) )
6637, 38addcld 7486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
6756sqcld 10049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6866, 67, 33addsubd 7793 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6965, 68eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7037, 38subcld 7772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
7170, 67addcld 7486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
72 2z 8748 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
747, 73rpexpcld 10075 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
7574rpap0d 9148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
7671, 37, 75divcanap4d 8236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7755, 69, 763eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
7837, 38, 37subdird 7872 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
7937sqvald 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8013, 21, 37mul32d 7614 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A
) )
8113, 37, 21mulassd 7490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )
8280, 81eqtr2d 2121 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8379, 82oveq12d 5652 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
8478, 83eqtr4d 2123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  A ) ) ) )
8521, 36, 59sqdivapd 10064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8685oveq1d 5649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8721sqcld 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8887, 37, 75divcanap1d 8231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
8986, 88eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
9084, 89oveq12d 5652 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9170, 67, 37adddird 7492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
92 binom2sub 10032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^
2 ) ) )
9337, 21, 92syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9490, 91, 933eqtr4d 2130 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 5649 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9677, 95eqtrd 2120 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5649 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4
) )
9837, 21subcld 7772 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
9998sqcld 10049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  e.  CC )
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
10137, 23mulcomd 7488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  4 )  =  ( 4  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
102101oveq2d 5650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
103100, 102eqtrd 2120 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
10435, 97, 1033eqtrd 2124 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3441   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   ` cfv 5002  (class class class)co 5634    |-> cmpt2 5636   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   -ucneg 7633   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   4c4 8446   ZZcz 8720   RR+crp 9103    seqcseq 9817   ^cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10413
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