Theorem resqrexlemcalc1 11520

Description: Lemma for resqrex 11532. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	4	oveq1d 6015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	7	rpred 9888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 7	rerpdivcld 9920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
11	8, 10	readdcld 8172	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
12	11	recnd 8171	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. CC )
13		2cnd 9179	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
14		2ap0 9199	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 # 0 )
16	12, 13, 15	sqdivapd 10903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
17	5, 16	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
18		sq2 10852	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
19	18	oveq2i 6011	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 )
20	17, 19	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) )
21	9	recnd 8171	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
22		4cn 9184	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
24		4re 9183	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
26		4pos 9203	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
28	25, 27	gt0ap0d 8772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
29	21, 23, 28	divcanap3d 8938	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 4 x. A ) / 4 ) = A )
30	29	eqcomd 2235	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A = ( ( 4 x. A ) / 4 ) )
31	20, 30	oveq12d 6018	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
32	12	sqcld 10888	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
33	23, 21	mulcld 8163	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. A ) e. CC )
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 8973	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) )
36	8	recnd 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
37	36	sqcld 10888	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
38	13, 21	mulcld 8163	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
39	37, 38, 33	addsubassd 8473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) )
40		2cn 9177	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
41	22, 40	negsubdi2i 8428	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = ( 2 - 4 )
42		2p2e4 9233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 2 ) = 4
43	42	oveq1i 6010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = ( 4 - 2 )
44	40, 40	pncan3oi 8358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 2 ) = 2
46	45	negeqi 8336	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = -u 2
47	41, 46	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 4 ) = -u 2
48	47	oveq1i 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( -u 2 x. A )
49	13, 23, 21	subdird 8557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) )
50	13, 21	mulneg1d 8553	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( -u 2 x. A ) = -u ( 2 x. A ) )
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) = -u ( 2 x. A ) )
52	51	oveq2d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) )
53	37, 38	negsubd 8459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
54	39, 52, 53	3eqtrd 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
55	54	oveq1d 6015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
56	10	recnd 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. CC )
57		binom2 10868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( A / ( F ` N ) ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
58	36, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
59	7	rpap0d 9894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
60	21, 36, 59	divcanap2d 8935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) = A )
61	60	oveq2d 6016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
62	61	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) )
63	62	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
64	58, 63	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
65	64	oveq1d 6015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) )
66	37, 38	addcld 8162	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) e. CC )
67	56	sqcld 10888	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) e. CC )
68	66, 67, 33	addsubd 8474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
70	37, 38	subcld 8453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) e. CC )
71	70, 67	addcld 8162	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
72		2z 9470	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. ZZ )
74	7, 73	rpexpcld 10914	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
75	74	rpap0d 9894	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
76	71, 37, 75	divcanap4d 8939	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
78	37, 38, 37	subdird 8557	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
79	37	sqvald 10887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
80	13, 21, 37	mul32d 8295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) )
81	13, 37, 21	mulassd 8166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) )
82	80, 81	eqtr2d 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
83	79, 82	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) )
85	21, 36, 59	sqdivapd 10903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
86	85	oveq1d 6015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
87	21	sqcld 10888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
88	87, 37, 75	divcanap1d 8934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
89	86, 88	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
90	84, 89	oveq12d 6018	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
91	70, 67, 37	adddird 8168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
92		binom2sub 10870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
93	37, 21, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 6015	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
96	77, 95	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
98	37, 21	subcld 8453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
99	98	sqcld 10888	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) e. CC )
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 8965	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
101	37, 23	mulcomd 8164	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) = ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
104	35, 97, 103	3eqtrd 2266	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   e. cmpo 6002   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   -ucneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815   NNcn 9106   2c2 9157   4c4 9159   ZZcz 9442   RR+crp 9845   seqcseq 10664   ^cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11521