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Theorem resqrexlemcalc1 11036
Description: Lemma for resqrex 11048. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemfp1 11031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) )  /  2
) )
54oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
61, 2, 3resqrexlemf 11029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
76ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR+ )
87rpred 9709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
92adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
109, 7rerpdivcld 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  RR )
118, 10readdcld 8000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  RR )
1211recnd 7999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) )  e.  CC )
13 2cnd 9005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
14 2ap0 9025 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
1514a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2 #  0 )
1612, 13, 15sqdivapd 10680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
175, 16eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
18 sq2 10629 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1918oveq2i 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
)
2017, 19eqtrdi 2236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
219recnd 7999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
22 4cn 9010 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
2322a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
24 4re 9009 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
26 4pos 9029 . . . . . . . 8  |-  0  <  4
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  4 )
2825, 27gt0ap0d 8599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  4 #  0 )
2921, 23, 28divcanap3d 8765 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
3029eqcomd 2193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( 4  x.  A )  /  4
) )
3120, 30oveq12d 5906 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3212sqcld 10665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
3323, 21mulcld 7991 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  -  (
( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
3531, 34eqtr4d 2223 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
368recnd 7999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
3736sqcld 10665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
3813, 21mulcld 7991 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3937, 38, 33addsubassd 8301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  A
)  -  ( 4  x.  A ) ) ) )
40 2cn 9003 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4122, 40negsubdi2i 8256 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  ( 2  -  4 )
42 2p2e4 9059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  2 )  =  4
4342oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  ( 4  -  2 )
4440, 40pncan3oi 8186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  +  2 )  -  2 )  =  2
4543, 44eqtr3i 2210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  -  2 )  =  2
4645negeqi 8164 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
4  -  2 )  =  -u 2
4741, 46eqtr3i 2210 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  4 )  = 
-u 2
4847oveq1i 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( -u 2  x.  A )
4913, 23, 21subdird 8385 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  -  4 )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  A )  -  (
4  x.  A ) ) )
5013, 21mulneg1d 8381 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
5148, 49, 503eqtr3a 2244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A ) )  = 
-u ( 2  x.  A ) )
5251oveq2d 5904 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  A )  -  ( 4  x.  A
) ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  -u ( 2  x.  A
) ) )
5337, 38negsubd 8287 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5439, 52, 533eqtrd 2224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
5554oveq1d 5903 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
5610recnd 7999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  N ) )  e.  CC )
57 binom2 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  N )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  N )  +  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) ) )
5836, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  N
)  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
597rpap0d 9715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `
 N ) #  0 )
6021, 36, 59divcanap2d 8762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  x.  ( A  / 
( F `  N
) ) )  =  A )
6160oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
6261oveq2d 5904 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  N )  x.  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
6362oveq1d 5903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 N )  x.  ( A  /  ( F `  N )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6458, 63eqtrd 2220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  +  ( A  /  ( F `  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6564oveq1d 5903 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 ) )  -  (
4  x.  A ) ) )
6637, 38addcld 7990 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
6756sqcld 10665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6866, 67, 33addsubd 8302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
6965, 68eqtrd 2220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  -  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7037, 38subcld 8281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  CC )
7170, 67addcld 7990 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
72 2z 9294 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
7372a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
747, 73rpexpcld 10691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR+ )
7574rpap0d 9715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 ) #  0 )
7671, 37, 75divcanap4d 8766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) ) )
7755, 69, 763eqtr4d 2230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  N ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
7837, 38, 37subdird 8385 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
7937sqvald 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8013, 21, 37mul32d 8123 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A
) )
8113, 37, 21mulassd 7994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )
8280, 81eqtr2d 2221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8379, 82oveq12d 5906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  x.  A
) ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
8478, 83eqtr4d 2223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  A ) ) ) )
8521, 36, 59sqdivapd 10680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8685oveq1d 5903 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
8721sqcld 10665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8887, 37, 75divcanap1d 8761 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
8986, 88eqtrd 2220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
9084, 89oveq12d 5906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9170, 67, 37adddird 7996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( A  / 
( F `  N
) ) ^ 2 )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
92 binom2sub 10647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^
2 ) ) )
9337, 21, 92syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
9490, 91, 933eqtr4d 2230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 N ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 ) )
9594oveq1d 5903 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  N )
) ^ 2 ) )  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9677, 95eqtrd 2220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N )  +  ( A  /  ( F `
 N ) ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5903 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N )  +  ( A  /  ( F `  N )
) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  / 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4
) )
9837, 21subcld 8281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A )  e.  CC )
9998sqcld 10665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  e.  CC )
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) ) )
10137, 23mulcomd 7992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  x.  4 )  =  ( 4  x.  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
102101oveq2d 5904 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  A
) ^ 2 )  /  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  x.  4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
103100, 102eqtrd 2220 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  A ) ^ 2 )  /  ( ( F `  N ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
10435, 97, 1033eqtrd 2224 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( N  +  1 ) ) ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  A ) ^
2 )  /  (
4  x.  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   {csn 3604   class class class wbr 4015    X. cxp 4636   ` cfv 5228  (class class class)co 5888    e. cmpo 5890   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   1c1 7825    + caddc 7827    x. cmul 7829    < clt 8005    <_ cle 8006    - cmin 8141   -ucneg 8142   # cap 8551    / cdiv 8642   NNcn 8932   2c2 8983   4c4 8985   ZZcz 9266   RR+crp 9666    seqcseq 10458   ^cexp 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11037
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