Theorem resqrexlemcalc1 10891

Description: Lemma for resqrex 10903. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 10886	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	4	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 10884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelrnda 5595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	7	rpred 9581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
9	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 7	rerpdivcld 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
11	8, 10	readdcld 7886	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
12	11	recnd 7885	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. CC )
13		2cnd 8885	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
14		2ap0 8905	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 # 0 )
16	12, 13, 15	sqdivapd 10541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
17	5, 16	eqtrd 2187	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
18		sq2 10492	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
19	18	oveq2i 5825	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 )
20	17, 19	eqtrdi 2203	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) )
21	9	recnd 7885	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
22		4cn 8890	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
24		4re 8889	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
26		4pos 8909	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
28	25, 27	gt0ap0d 8483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
29	21, 23, 28	divcanap3d 8647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 4 x. A ) / 4 ) = A )
30	29	eqcomd 2160	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A = ( ( 4 x. A ) / 4 ) )
31	20, 30	oveq12d 5832	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
32	12	sqcld 10526	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
33	23, 21	mulcld 7877	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. A ) e. CC )
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 8682	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2190	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) )
36	8	recnd 7885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
37	36	sqcld 10526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
38	13, 21	mulcld 7877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
39	37, 38, 33	addsubassd 8185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) )
40		2cn 8883	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
41	22, 40	negsubdi2i 8140	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = ( 2 - 4 )
42		2p2e4 8939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 2 ) = 4
43	42	oveq1i 5824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = ( 4 - 2 )
44	40, 40	pncan3oi 8070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 2 ) = 2
46	45	negeqi 8048	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = -u 2
47	41, 46	eqtr3i 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 4 ) = -u 2
48	47	oveq1i 5824	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( -u 2 x. A )
49	13, 23, 21	subdird 8269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) )
50	13, 21	mulneg1d 8265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( -u 2 x. A ) = -u ( 2 x. A ) )
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) = -u ( 2 x. A ) )
52	51	oveq2d 5830	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) )
53	37, 38	negsubd 8171	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
54	39, 52, 53	3eqtrd 2191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
55	54	oveq1d 5829	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
56	10	recnd 7885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. CC )
57		binom2 10507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( A / ( F ` N ) ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
58	36, 56, 57	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
59	7	rpap0d 9587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
60	21, 36, 59	divcanap2d 8644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) = A )
61	60	oveq2d 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
62	61	oveq2d 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) )
63	62	oveq1d 5829	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
64	58, 63	eqtrd 2187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
65	64	oveq1d 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) )
66	37, 38	addcld 7876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) e. CC )
67	56	sqcld 10526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) e. CC )
68	66, 67, 33	addsubd 8186	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2187	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
70	37, 38	subcld 8165	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) e. CC )
71	70, 67	addcld 7876	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
72		2z 9174	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. ZZ )
74	7, 73	rpexpcld 10552	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
75	74	rpap0d 9587	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
76	71, 37, 75	divcanap4d 8648	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2197	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
78	37, 38, 37	subdird 8269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
79	37	sqvald 10525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
80	13, 21, 37	mul32d 8007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) )
81	13, 37, 21	mulassd 7880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) )
82	80, 81	eqtr2d 2188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
83	79, 82	oveq12d 5832	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtr4d 2190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) )
85	21, 36, 59	sqdivapd 10541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
86	85	oveq1d 5829	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
87	21	sqcld 10526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
88	87, 37, 75	divcanap1d 8643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
89	86, 88	eqtrd 2187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
90	84, 89	oveq12d 5832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
91	70, 67, 37	adddird 7882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
92		binom2sub 10509	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
93	37, 21, 92	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 5829	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
96	77, 95	eqtrd 2187	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 5829	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
98	37, 21	subcld 8165	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
99	98	sqcld 10526	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) e. CC )
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 8674	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
101	37, 23	mulcomd 7878	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) = ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2d 5830	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2187	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
104	35, 97, 103	3eqtrd 2191	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   {csn 3556   class class class wbr 3961   X. cxp 4577   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   e. cmpo 5816   CCcc 7709   RRcr 7710   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   x. cmul 7716   < clt 7891   <_ cle 7892   - cmin 8025   -ucneg 8026   # cap 8435   / cdiv 8524   NNcn 8812   2c2 8863   4c4 8865   ZZcz 9146   RR+crp 9538   seqcseq 10322   ^cexp 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10892