Theorem resqrexlemcalc1 11043

Description: Lemma for resqrex 11055. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	4	oveq1d 5907	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelcdmda 5668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	7	rpred 9716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 7	rerpdivcld 9748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
11	8, 10	readdcld 8007	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
12	11	recnd 8006	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. CC )
13		2cnd 9012	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
14		2ap0 9032	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 # 0 )
16	12, 13, 15	sqdivapd 10687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
17	5, 16	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
18		sq2 10636	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
19	18	oveq2i 5903	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 )
20	17, 19	eqtrdi 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) )
21	9	recnd 8006	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
22		4cn 9017	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
24		4re 9016	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
26		4pos 9036	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
28	25, 27	gt0ap0d 8606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
29	21, 23, 28	divcanap3d 8772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 4 x. A ) / 4 ) = A )
30	29	eqcomd 2195	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A = ( ( 4 x. A ) / 4 ) )
31	20, 30	oveq12d 5910	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
32	12	sqcld 10672	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
33	23, 21	mulcld 7998	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. A ) e. CC )
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 8807	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2225	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) )
36	8	recnd 8006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
37	36	sqcld 10672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
38	13, 21	mulcld 7998	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
39	37, 38, 33	addsubassd 8308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) )
40		2cn 9010	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
41	22, 40	negsubdi2i 8263	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = ( 2 - 4 )
42		2p2e4 9066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 2 ) = 4
43	42	oveq1i 5902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = ( 4 - 2 )
44	40, 40	pncan3oi 8193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 2 ) = 2
46	45	negeqi 8171	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = -u 2
47	41, 46	eqtr3i 2212	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 4 ) = -u 2
48	47	oveq1i 5902	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( -u 2 x. A )
49	13, 23, 21	subdird 8392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) )
50	13, 21	mulneg1d 8388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( -u 2 x. A ) = -u ( 2 x. A ) )
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) = -u ( 2 x. A ) )
52	51	oveq2d 5908	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) )
53	37, 38	negsubd 8294	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
54	39, 52, 53	3eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
55	54	oveq1d 5907	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
56	10	recnd 8006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. CC )
57		binom2 10652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( A / ( F ` N ) ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
58	36, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
59	7	rpap0d 9722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
60	21, 36, 59	divcanap2d 8769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) = A )
61	60	oveq2d 5908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
62	61	oveq2d 5908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) )
63	62	oveq1d 5907	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
64	58, 63	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
65	64	oveq1d 5907	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) )
66	37, 38	addcld 7997	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) e. CC )
67	56	sqcld 10672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) e. CC )
68	66, 67, 33	addsubd 8309	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
70	37, 38	subcld 8288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) e. CC )
71	70, 67	addcld 7997	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
72		2z 9301	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. ZZ )
74	7, 73	rpexpcld 10698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
75	74	rpap0d 9722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
76	71, 37, 75	divcanap4d 8773	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2232	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
78	37, 38, 37	subdird 8392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
79	37	sqvald 10671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
80	13, 21, 37	mul32d 8130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) )
81	13, 37, 21	mulassd 8001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) )
82	80, 81	eqtr2d 2223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
83	79, 82	oveq12d 5910	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtr4d 2225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) )
85	21, 36, 59	sqdivapd 10687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
86	85	oveq1d 5907	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
87	21	sqcld 10672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
88	87, 37, 75	divcanap1d 8768	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
89	86, 88	eqtrd 2222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
90	84, 89	oveq12d 5910	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
91	70, 67, 37	adddird 8003	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
92		binom2sub 10654	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
93	37, 21, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 5907	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
96	77, 95	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 5907	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
98	37, 21	subcld 8288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
99	98	sqcld 10672	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) e. CC )
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 8799	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
101	37, 23	mulcomd 7999	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) = ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2d 5908	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2222	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
104	35, 97, 103	3eqtrd 2226	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   class class class wbr 4018   X. cxp 4639   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   e. cmpo 5894   CCcc 7829   RRcr 7830   0cc0 7831   1c1 7832   + caddc 7834   x. cmul 7836   < clt 8012   <_ cle 8013   - cmin 8148   -ucneg 8149   # cap 8558   / cdiv 8649   NNcn 8939   2c2 8990   4c4 8992   ZZcz 9273   RR+crp 9673   seqcseq 10465   ^cexp 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-rp 9674  df-seqfrec 10466  df-exp 10540

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11044