Theorem resqrexlemcalc1 11758

Description: Lemma for resqrex 11770. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) )
5	4	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) )
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
7	6	ffvelcdmda 5834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
8	7	rpred 10076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. RR )
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 7	rerpdivcld 10108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. RR )
11	8, 10	readdcld 8345	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. RR )
12	11	recnd 8344	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) e. CC )
13		2cnd 9356	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. CC )
14		2ap0 9376	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 # 0 )
16	12, 13, 15	sqdivapd 11102	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) / 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
17	5, 16	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
18		sq2 11050	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
19	18	oveq2i 6086	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 )
20	17, 19	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) )
21	9	recnd 8344	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. CC )
22		4cn 9361	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. CC )
24		4re 9360	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 e. RR )
26		4pos 9380	. . . . . . . 8 |- 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 4 )
28	25, 27	gt0ap0d 8947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 4 # 0 )
29	21, 23, 28	divcanap3d 9115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 4 x. A ) / 4 ) = A )
30	29	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A = ( ( 4 x. A ) / 4 ) )
31	20, 30	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
32	12	sqcld 11087	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
33	23, 21	mulcld 8336	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 4 x. A ) e. CC )
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 9150	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) / 4 ) - ( ( 4 x. A ) / 4 ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) )
36	8	recnd 8344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. CC )
37	36	sqcld 11087	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC )
38	13, 21	mulcld 8336	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
39	37, 38, 33	addsubassd 8647	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) )
40		2cn 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
41	22, 40	negsubdi2i 8602	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = ( 2 - 4 )
42		2p2e4 9410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 2 ) = 4
43	42	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = ( 4 - 2 )
44	40, 40	pncan3oi 8532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 + 2 ) - 2 ) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 2 ) = 2
46	45	negeqi 8510	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 4 - 2 ) = -u 2
47	41, 46	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 4 ) = -u 2
48	47	oveq1i 6085	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( -u 2 x. A )
49	13, 23, 21	subdird 8732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 - 4 ) x. A ) = ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) )
50	13, 21	mulneg1d 8728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( -u 2 x. A ) = -u ( 2 x. A ) )
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2295	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) = -u ( 2 x. A ) )
52	51	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. A ) - ( 4 x. A ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) )
53	37, 38	negsubd 8633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + -u ( 2 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
54	39, 52, 53	3eqtrd 2275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) )
55	54	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
56	10	recnd 8344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A / ( F ` N ) ) e. CC )
57		binom2 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( A / ( F ` N ) ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
58	36, 56, 57	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
59	7	rpap0d 10082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) # 0 )
60	21, 36, 59	divcanap2d 9112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) = A )
61	60	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) = ( 2 x. A ) )
62	61	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) )
63	62	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( F ` N ) x. ( A / ( F ` N ) ) ) ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
64	58, 63	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
65	64	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) )
66	37, 38	addcld 8335	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) e. CC )
67	56	sqcld 11087	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) e. CC )
68	66, 67, 33	addsubd 8648	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) + ( 2 x. A ) ) - ( 4 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
70	37, 38	subcld 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) e. CC )
71	70, 67	addcld 8335	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
72		2z 9651	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 2 e. ZZ )
74	7, 73	rpexpcld 11113	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR+ )
75	74	rpap0d 10082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) # 0 )
76	71, 37, 75	divcanap4d 9116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) )
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
78	37, 38, 37	subdird 8732	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
79	37	sqvald 11086	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
80	13, 21, 37	mul32d 8469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) )
81	13, 37, 21	mulassd 8339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) )
82	80, 81	eqtr2d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
83	79, 82	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. A ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
84	78, 83	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) )
85	21, 36, 59	sqdivapd 11102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
86	85	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
87	21	sqcld 11087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
88	87, 37, 75	divcanap1d 9111	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
89	86, 88	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
90	84, 89	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
91	70, 67, 37	adddird 8341	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) + ( ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
92		binom2sub 11068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
93	37, 21, 92	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) )
95	94	oveq1d 6090	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( 2 x. A ) ) + ( ( A / ( F ` N ) ) ^ 2 ) ) x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
96	77, 95	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 6090	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) + ( A / ( F ` N ) ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. A ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
98	37, 21	subcld 8627	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) e. CC )
99	98	sqcld 11087	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) e. CC )
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 9142	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) )
101	37, 23	mulcomd 8337	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) = ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) x. 4 ) ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )
104	35, 97, 103	3eqtrd 2275	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` ( N + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) ^ 2 ) / ( 4 x. ( ( F ` N ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   -ucneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   4c4 9336   ZZcz 9623   RR+crp 10033   seqcseq 10862   ^cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11759