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Theorem bdtrilem 11799

Description: Lemma for bdtri 11800. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bdtrilem	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem bdtrilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1047	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3 1025	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	rpred 9930	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	1, 3	resubcld 8559	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	resqcld 10960	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		2re 9212	. . . . . . . . . . . 12
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	2	rpcnd 9932	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	8, 9	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	abscld 11741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simp2l 1049	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13, 9	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	abscld 11741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	remulcld 8209	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	7, 16	remulcld 8209	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	5, 17	readdcld 8208	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	1, 12	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	7, 19	remulcld 8209	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	8, 13	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21, 9	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	3, 23	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	7, 24	remulcld 8209	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	20, 25	readdcld 8208	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	5, 26	readdcld 8208	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 3	resubcld 8559	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	resqcld 10960	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 24	readdcld 8208	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		0le2 9232	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	19	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	9, 9	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	8, 9	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 9	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36, 37	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 35, 38	addsubassd 8509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	33, 39	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 38	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	34, 42	abstrid 11756	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 43	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simp1r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp2r 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	19, 47	absidd 11727	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	9, 21	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49, 9	absmuld 11754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 21, 9	subdird 8593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	8, 13, 9	adddird 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	9, 21	abssubd 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	rpge0d 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	3, 57	absidd 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	48, 60	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	44, 61	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	10, 14	absmuld 11754	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	23	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 9	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 63, 66	3brtr3d 4119	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 9119	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	7	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	9, 64	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 34, 70	adddid 8203	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	breqtrd 4114	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8739	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8738	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	5	recnd 8207	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	26	recnd 8207	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	29	recnd 8207	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	add32d 8346	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	breqtrd 4114	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77	addcld 8198	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	69, 34	mulcld 8199	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	69, 70	mulcld 8199	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 81, 82	addassd 8201	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	79, 83	breqtrrd 4116	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	8	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	69, 36	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	9	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcld 8198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 81	addcld 8198	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	13	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	69, 37	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	subcld 8489	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	addcld 8198	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 88	addcld 8198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	89, 95, 81	add32d 8346	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	90, 93, 88	addassd 8201	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 88, 98	comraddd 8335	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	81, 93	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	addcld 8198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	89, 81, 93	addassd 8201	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	87, 88	addcomd 8329	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 104	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	88, 87, 100	addassd 8201	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	88, 101, 107	comraddd 8335	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	85, 86, 93	subadd23d 8511	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	91, 92, 86	subsub4d 8520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	92, 86	addcomd 8329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	110, 112	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109, 114	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	87, 81, 93	add12d 8345	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	86, 92	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	91, 118	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	85, 119	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	85, 81	addcld 8198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 91, 118	addsubassd 8509	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	85, 81, 119	add32d 8346	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 81, 124	comraddd 8335	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	108, 127	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	99, 129	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		binom2sub 10914	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		binom2sub 10914	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	oveq12d 6035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	oveq1d 6032	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		binom2sub 10914	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		binom2 10912	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	52	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	69, 36, 37	adddid 8203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	138, 145	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	oveq1d 6032	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	84, 149	breqtrd 4114	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	22	sqcld 10932	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	88, 151, 82	add32d 8346	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	150, 152	breqtrd 4114	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		absresq 11638	. . . . . . 7
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 6032	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		absresq 11638	. . . . . 6
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	oveq12d 6035	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	1, 12	readdcld 8208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160, 3	resubcld 8559	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		absresq 11638	. . . . . 6
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	oveq2d 6033	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 159, 164	3brtr4d 4120	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	11	recnd 8207	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	15	recnd 8207	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		binom2 10912	. . . 4 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		binom2 10912	. . . 4 $/\$
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	165, 169, 171	3brtr4d 4120	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	11, 15	readdcld 8208	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	3, 23	readdcld 8208	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	10	absge0d 11744	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	14	absge0d 11744	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8701	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	22	absge0d 11744	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8701	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 10966	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	172, 180	mpbird 167	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cr 8030

cc0 8031

caddc 8034

cmul 8036

cle 8214

cmin 8349

c2 9193

crp 9887

cexp 10799

cabs 11557

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-rp 9888 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559

This theorem is referenced by: bdtri 11800

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