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Theorem bdtrilem 11924

Description: Lemma for bdtri 11925. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bdtrilem	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem bdtrilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1048	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3 1026	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	rpred 10029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	1, 3	resubcld 8654	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	resqcld 11061	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		2re 9307	. . . . . . . . . . . 12
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	2	rpcnd 10031	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	8, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	abscld 11866	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	abscld 11866	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	7, 16	remulcld 8304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	5, 17	readdcld 8303	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	1, 12	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	7, 19	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	8, 13	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	3, 23	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	7, 24	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	20, 25	readdcld 8303	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	5, 26	readdcld 8303	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 3	resubcld 8654	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	resqcld 11061	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 24	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		0le2 9327	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	19	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	9, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	8, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36, 37	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 35, 38	addsubassd 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	33, 39	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 38	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	34, 42	abstrid 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 43	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simp1r 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	19, 47	absidd 11852	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	9, 21	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49, 9	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 21, 9	subdird 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	8, 13, 9	adddird 8299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	9, 21	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	rpge0d 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	3, 57	absidd 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	48, 60	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	44, 61	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	10, 14	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	23	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 9	mulcomd 8295	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 63, 66	3brtr3d 4140	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 9214	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	7	recnd 8302	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	9, 64	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 34, 70	adddid 8298	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	breqtrd 4135	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8834	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8833	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	5	recnd 8302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	26	recnd 8302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	29	recnd 8302	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	add32d 8441	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	breqtrd 4135	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77	addcld 8293	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	69, 34	mulcld 8294	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	69, 70	mulcld 8294	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 81, 82	addassd 8296	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	79, 83	breqtrrd 4137	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	8	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	69, 36	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	9	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 81	addcld 8293	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	13	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	69, 37	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	subcld 8584	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	addcld 8293	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 88	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	89, 95, 81	add32d 8441	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	90, 93, 88	addassd 8296	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 88, 98	comraddd 8430	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	81, 93	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	89, 81, 93	addassd 8296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	87, 88	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 104	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	88, 87, 100	addassd 8296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	88, 101, 107	comraddd 8430	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	85, 86, 93	subadd23d 8606	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	91, 92, 86	subsub4d 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	92, 86	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	110, 112	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109, 114	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	87, 81, 93	add12d 8440	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	86, 92	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	91, 118	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	85, 119	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	85, 81	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 91, 118	addsubassd 8604	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	85, 81, 119	add32d 8441	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 81, 124	comraddd 8430	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	108, 127	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	99, 129	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	oveq12d 6068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	oveq1d 6065	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		binom2 11013	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	52	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	69, 36, 37	adddid 8298	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	138, 145	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6066	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2275	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	oveq1d 6065	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	84, 149	breqtrd 4135	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	22	sqcld 11033	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	88, 151, 82	add32d 8441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	150, 152	breqtrd 4135	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		absresq 11763	. . . . . . 7
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 6065	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		absresq 11763	. . . . . 6
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	oveq12d 6068	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	1, 12	readdcld 8303	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160, 3	resubcld 8654	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		absresq 11763	. . . . . 6
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	oveq2d 6066	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 159, 164	3brtr4d 4141	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	11	recnd 8302	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	15	recnd 8302	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		binom2 11013	. . . 4 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		binom2 11013	. . . 4 $/\$
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	165, 169, 171	3brtr4d 4141	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	11, 15	readdcld 8303	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	3, 23	readdcld 8303	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	10	absge0d 11869	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	14	absge0d 11869	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8796	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	22	absge0d 11869	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8796	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 11067	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	172, 180	mpbird 167	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cc 8125

cr 8126

cc0 8127

caddc 8130

cmul 8132

cle 8309

cmin 8444

c2 9288

crp 9986

cexp 10900

cabs 11682

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-frec 6622 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-rp 9987 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684

This theorem is referenced by: bdtri 11925

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