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Theorem bdtrilem 11022
Description: Lemma for bdtri 11023. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtrilem  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )

Proof of Theorem bdtrilem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 simp3 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
32rpred 9495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
41, 3resubcld 8155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  RR )
54resqcld 10462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  e.  RR )
6 2re 8802 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
76a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR )
81recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
92rpcnd 9497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
108, 9subcld 8085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1110abscld 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
12 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1312recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
1413, 9subcld 8085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
1514abscld 10965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
1611, 15remulcld 7808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
177, 16remulcld 7808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  e.  RR )
185, 17readdcld 7807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  e.  RR )
191, 12remulcld 7808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
207, 19remulcld 7808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  RR )
218, 13addcld 7797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2221, 9subcld 8085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  CC )
2322abscld 10965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
243, 23remulcld 7808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
257, 24remulcld 7808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  RR )
2620, 25readdcld 7807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  e.  RR )
275, 26readdcld 7807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2812, 3resubcld 8155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  RR )
2928resqcld 10462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  e.  RR )
3019, 24readdcld 7807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  RR )
31 0le2 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
3231a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  2 )
338, 9, 13, 9mulsubd 8191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C )  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  +  ( C  x.  C ) )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
3419recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
359, 9mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  C
)  e.  CC )
368, 9mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
3713, 9mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3836, 37addcld 7797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
3934, 35, 38addsubassd 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  C
) )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
4033, 39eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C )  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
4140fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
4235, 38subcld 8085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
4334, 42abstrid 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  B ) )  +  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
4441, 43eqbrtrd 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  B ) )  +  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
45 simp1r 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  A )
46 simp2r 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
471, 12, 45, 46mulge0d 8395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
4819, 47absidd 10951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  B ) )
499, 21subcld 8085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  -  ( A  +  B )
)  e.  CC )
5049, 9absmuld 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  -  ( A  +  B )
)  x.  C ) )  =  ( ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  x.  ( abs `  C
) ) )
519, 21, 9subdird 8189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  -  ( A  +  B
) )  x.  C
)  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )
528, 13, 9adddird 7803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
5352oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
5451, 53eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  -  ( A  +  B
) )  x.  C
)  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
5554fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  -  ( A  +  B )
)  x.  C ) )  =  ( abs `  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
569, 21abssubd 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  =  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )
572rpge0d 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  C )
583, 57absidd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  C
)  =  C )
5956, 58oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  x.  ( abs `  C
) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) )
6050, 55, 593eqtr3d 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  x.  C ) )
6148, 60oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  x.  B )
)  +  ( abs `  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) ) )
6244, 61breqtrd 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  <_  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) )  x.  C
) ) )
6310, 14absmuld 10978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )
6423recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  CC )
6564, 9mulcomd 7799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C )  =  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
6665oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )
6762, 63, 663brtr3d 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )
6816, 30, 7, 32, 67lemul2ad 8710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
697recnd 7806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
709, 64mulcld 7798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  CC )
7169, 34, 70adddid 7802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  x.  B
)  +  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
7268, 71breqtrd 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  <_  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
7317, 26, 5, 72leadd2dd 8334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  <_  ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
7418, 27, 29, 73leadd1dd 8333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) ) )
755recnd 7806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
7626recnd 7806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  e.  CC )
7729recnd 7806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
7875, 76, 77add32d 7942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
7974, 78breqtrd 3954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
8075, 77addcld 7797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) )  e.  CC )
8169, 34mulcld 7798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
8269, 70mulcld 7798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  CC )
8380, 81, 82addassd 7800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
8479, 83breqtrrd 3956 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
858sqcld 10434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8669, 36mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
8785, 86subcld 8085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
889sqcld 10434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8987, 88addcld 7797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
9089, 81addcld 7797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
9113sqcld 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9269, 37mulcld 7798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
9391, 92subcld 8085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
9490, 93addcld 7797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
9593, 88addcld 7797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
9689, 95, 81add32d 7942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
9790, 93, 88addassd 7800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
9896, 97eqtr4d 2175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
9994, 88, 98comraddd 7931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10081, 93addcld 7797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
10187, 100addcld 7797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  e.  CC )
10289, 81, 93addassd 7800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10387, 88addcomd 7925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
104103oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
105102, 104eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10688, 87, 100addassd 7800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
107105, 106eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
10888, 101, 107comraddd 7931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
10985, 86, 93subadd23d 8107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
11091, 92, 86subsub4d 8116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
11192, 86addcomd 7925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
112111oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
113110, 112eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
114113oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
115109, 114eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
116115oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
11787, 81, 93add12d 7941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
11886, 92addcld 7797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
11991, 118subcld 8085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
12085, 119addcld 7797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  e.  CC )
12185, 81addcld 7797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
122121, 91, 118addsubassd 8105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
12385, 81, 119add32d 7942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
124122, 123eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
125120, 81, 124comraddd 7931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
126116, 117, 1253eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
127126oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
128108, 127eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
129128oveq2d 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
13099, 129eqtrd 2172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
131 binom2sub 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
1328, 9, 131syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
133 binom2sub 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
13413, 9, 133syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
135132, 134oveq12d 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
136135oveq1d 5789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
137 binom2sub 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
13821, 9, 137syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
139 binom2 10415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1408, 13, 139syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
14152oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
14269, 36, 37adddid 7802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
143141, 142eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
144140, 143oveq12d 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
145144oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
146138, 145eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
147146oveq2d 5790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
148130, 136, 1473eqtr4d 2182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) ) )
149148oveq1d 5789 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
15084, 149breqtrd 3954 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
15122sqcld 10434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
15288, 151, 82add32d 7942 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
153150, 152breqtrd 3954 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
154 absresq 10862 . . . . . . 7  |-  ( ( A  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )
1554, 154syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )
156155oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  x.  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  x.  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) ) )
157 absresq 10862 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( B  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )
15828, 157syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )
159156, 158oveq12d 5792 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) ) )
1601, 12readdcld 7807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
161160, 3resubcld 8155 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  RR )
162 absresq 10862 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )
163161, 162syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )
164163oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
165153, 159, 1643brtr4d 3960 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
16611recnd 7806 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
16715recnd 7806 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  CC )
168 binom2 10415 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
169166, 167, 168syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
170 binom2 10415 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  e.  CC )  -> 
( ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
1719, 64, 170syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
172165, 169, 1713brtr4d 3960 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ^ 2 ) )
17311, 15readdcld 7807 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
1743, 23readdcld 7807 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
17510absge0d 10968 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  C
) ) )
17614absge0d 10968 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( B  -  C
) ) )
17711, 15, 175, 176addge0d 8296 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )
17822absge0d 10968 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )
1793, 23, 57, 178addge0d 8296 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) )
180173, 174, 177, 179le2sqd 10468 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  <_  ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )  <->  ( (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ^
2 )  <_  (
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 ) ) )
181172, 180mpbird 166 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632    + caddc 7635    x. cmul 7637    <_ cle 7813    - cmin 7945   2c2 8783   RR+crp 9453   ^cexp 10304   abscabs 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by:  bdtri  11023
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