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Theorem bdtrilem 11421

Description: Lemma for bdtri 11422. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bdtrilem	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem bdtrilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	rpred 9788	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	1, 3	resubcld 8424	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	resqcld 10808	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		2re 9077	. . . . . . . . . . . 12
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	2	rpcnd 9790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	8, 9	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	abscld 11363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simp2l 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13, 9	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	abscld 11363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	7, 16	remulcld 8074	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	5, 17	readdcld 8073	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	1, 12	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	7, 19	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	8, 13	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21, 9	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	abscld 11363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	3, 23	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	7, 24	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	20, 25	readdcld 8073	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	5, 26	readdcld 8073	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 3	resubcld 8424	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	resqcld 10808	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 24	readdcld 8073	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		0le2 9097	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	19	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	9, 9	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	8, 9	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 9	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36, 37	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 35, 38	addsubassd 8374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	33, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 38	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	34, 42	abstrid 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 43	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simp1r 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp2r 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	19, 47	absidd 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	9, 21	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49, 9	absmuld 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 21, 9	subdird 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	8, 13, 9	adddird 8069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	9, 21	abssubd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	rpge0d 9792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	3, 57	absidd 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	48, 60	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	44, 61	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	10, 14	absmuld 11376	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	23	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 9	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 63, 66	3brtr3d 4065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 8984	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	7	recnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	9, 64	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 34, 70	adddid 8068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	breqtrd 4060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8604	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	5	recnd 8072	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	26	recnd 8072	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	29	recnd 8072	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	add32d 8211	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	breqtrd 4060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77	addcld 8063	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	69, 34	mulcld 8064	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	69, 70	mulcld 8064	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 81, 82	addassd 8066	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	79, 83	breqtrrd 4062	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	8	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	69, 36	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	9	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcld 8063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 81	addcld 8063	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	13	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	69, 37	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	subcld 8354	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	addcld 8063	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 88	addcld 8063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	89, 95, 81	add32d 8211	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	90, 93, 88	addassd 8066	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 88, 98	comraddd 8200	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	81, 93	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	addcld 8063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	89, 81, 93	addassd 8066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	87, 88	addcomd 8194	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 104	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	88, 87, 100	addassd 8066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	88, 101, 107	comraddd 8200	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	85, 86, 93	subadd23d 8376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	91, 92, 86	subsub4d 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	92, 86	addcomd 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	110, 112	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109, 114	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	87, 81, 93	add12d 8210	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	86, 92	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	91, 118	subcld 8354	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	85, 119	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	85, 81	addcld 8063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 91, 118	addsubassd 8374	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	85, 81, 119	add32d 8211	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 81, 124	comraddd 8200	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	108, 127	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	99, 129	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		binom2sub 10762	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		binom2sub 10762	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	oveq12d 5943	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		binom2sub 10762	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		binom2 10760	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	52	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	69, 36, 37	adddid 8068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	138, 145	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	oveq1d 5940	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	84, 149	breqtrd 4060	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	22	sqcld 10780	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	88, 151, 82	add32d 8211	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	150, 152	breqtrd 4060	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		absresq 11260	. . . . . . 7
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 5940	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		absresq 11260	. . . . . 6
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	oveq12d 5943	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	1, 12	readdcld 8073	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160, 3	resubcld 8424	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		absresq 11260	. . . . . 6
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	oveq2d 5941	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 159, 164	3brtr4d 4066	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	11	recnd 8072	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	15	recnd 8072	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		binom2 10760	. . . 4 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		binom2 10760	. . . 4 $/\$
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	165, 169, 171	3brtr4d 4066	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	11, 15	readdcld 8073	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	3, 23	readdcld 8073	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	10	absge0d 11366	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	14	absge0d 11366	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8566	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	22	absge0d 11366	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8566	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 10814	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	172, 180	mpbird 167	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167 class class class wbr 4034

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

caddc 7899

cmul 7901

cle 8079

cmin 8214

c2 9058

crp 9745

cexp 10647

cabs 11179

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-rp 9746 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181

This theorem is referenced by: bdtri 11422

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