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Theorem bdtrilem 11215
Description: Lemma for bdtri 11216. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtrilem  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )

Proof of Theorem bdtrilem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2 simp3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR+ )
32rpred 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
41, 3resubcld 8312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  RR )
54resqcld 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  e.  RR )
6 2re 8962 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
76a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR )
81recnd 7960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
92rpcnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
108, 9subcld 8242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  -  C
)  e.  CC )
1110abscld 11158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  RR )
12 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1312recnd 7960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
1413, 9subcld 8242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
1514abscld 11158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
1611, 15remulcld 7962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
177, 16remulcld 7962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  e.  RR )
185, 17readdcld 7961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  e.  RR )
191, 12remulcld 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
207, 19remulcld 7962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  RR )
218, 13addcld 7951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2221, 9subcld 8242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  CC )
2322abscld 11158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  RR )
243, 23remulcld 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
257, 24remulcld 7962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  RR )
2620, 25readdcld 7961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  e.  RR )
275, 26readdcld 7961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) ) )  e.  RR )
2812, 3resubcld 8312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  -  C
)  e.  RR )
2928resqcld 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  e.  RR )
3019, 24readdcld 7961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  RR )
31 0le2 8982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  2
3231a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  2 )
338, 9, 13, 9mulsubd 8348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C )  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  +  ( C  x.  C ) )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
3419recnd 7960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
359, 9mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  C
)  e.  CC )
368, 9mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
3713, 9mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3836, 37addcld 7951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
3934, 35, 38addsubassd 8262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  C
) )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
4033, 39eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C )  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
4140fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  B )  +  ( ( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
4235, 38subcld 8242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
4334, 42abstrid 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  x.  B
)  +  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  B ) )  +  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
4441, 43eqbrtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  B ) )  +  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
45 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  A )
46 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
471, 12, 45, 46mulge0d 8552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
4819, 47absidd 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  B ) )
499, 21subcld 8242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  -  ( A  +  B )
)  e.  CC )
5049, 9absmuld 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  -  ( A  +  B )
)  x.  C ) )  =  ( ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  x.  ( abs `  C
) ) )
519, 21, 9subdird 8346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  -  ( A  +  B
) )  x.  C
)  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )
528, 13, 9adddird 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) )
5352oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
5451, 53eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  -  ( A  +  B
) )  x.  C
)  =  ( ( C  x.  C )  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
5554fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  -  ( A  +  B )
)  x.  C ) )  =  ( abs `  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )
569, 21abssubd 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  =  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )
572rpge0d 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  C )
583, 57absidd 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  C
)  =  C )
5956, 58oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( C  -  ( A  +  B ) ) )  x.  ( abs `  C
) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) )
6050, 55, 593eqtr3d 2216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( C  x.  C
)  -  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  x.  C ) )
6148, 60oveq12d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  x.  B )
)  +  ( abs `  ( ( C  x.  C )  -  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) ) )
6244, 61breqtrd 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  <_  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) )  x.  C
) ) )
6310, 14absmuld 11171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  -  C
)  x.  ( B  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )
6423recnd 7960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  e.  CC )
6564, 9mulcomd 7953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C )  =  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
6665oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  x.  B )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) )  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )
6762, 63, 663brtr3d 4029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )
6816, 30, 7, 32, 67lemul2ad 8870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  <_  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  +  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
697recnd 7960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
709, 64mulcld 7952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  CC )
7169, 34, 70adddid 7956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  x.  B
)  +  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
7268, 71breqtrd 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) )  <_  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
7317, 26, 5, 72leadd2dd 8491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  x.  ( abs `  ( B  -  C )
) ) ) )  <_  ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
7418, 27, 29, 73leadd1dd 8490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) ) )
755recnd 7960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
7626recnd 7960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  e.  CC )
7729recnd 7960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
7875, 76, 77add32d 8099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
7974, 78breqtrd 4024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
8075, 77addcld 7951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) )  e.  CC )
8169, 34mulcld 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
8269, 70mulcld 7952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) )  e.  CC )
8380, 81, 82addassd 7954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) ) ) )
8479, 83breqtrrd 4026 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
858sqcld 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8669, 36mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
8785, 86subcld 8242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
889sqcld 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8987, 88addcld 7951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
9089, 81addcld 7951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
9113sqcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9269, 37mulcld 7952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
9391, 92subcld 8242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
9490, 93addcld 7951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
9593, 88addcld 7951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
9689, 95, 81add32d 8099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
9790, 93, 88addassd 7954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
9896, 97eqtr4d 2211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
9994, 88, 98comraddd 8088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10081, 93addcld 7951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
10187, 100addcld 7951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  e.  CC )
10289, 81, 93addassd 7954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10387, 88addcomd 8082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
104103oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
105102, 104eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
10688, 87, 100addassd 7954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
107105, 106eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
10888, 101, 107comraddd 8088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
10985, 86, 93subadd23d 8264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
11091, 92, 86subsub4d 8273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( B  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
11192, 86addcomd 8082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
112111oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( B  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
113110, 112eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
114113oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
115109, 114eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
116115oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
11787, 81, 93add12d 8098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
11886, 92addcld 7951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
11991, 118subcld 8242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  e.  CC )
12085, 119addcld 7951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  e.  CC )
12185, 81addcld 7951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
122121, 91, 118addsubassd 8262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C
) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) )
12385, 81, 119add32d 8099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
124122, 123eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
125120, 81, 124comraddd 8088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  +  ( ( B ^
2 )  -  (
( 2  x.  ( A  x.  C )
)  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) ) ) )
126116, 117, 1253eqtr4d 2218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
127126oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
128108, 127eqtrd 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
129128oveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
13099, 129eqtrd 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
131 binom2sub 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
1328, 9, 131syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
133 binom2sub 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
13413, 9, 133syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( B  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
135132, 134oveq12d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  -  C ) ^
2 )  +  ( ( B  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
136135oveq1d 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  +  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) ) )
137 binom2sub 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
13821, 9, 137syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
139 binom2 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1408, 13, 139syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
14152oveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  C )  +  ( B  x.  C
) ) ) )
14269, 36, 37adddid 7956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  x.  C
)  +  ( B  x.  C ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
143141, 142eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
144140, 143oveq12d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( A  +  B )  x.  C ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) ) )
145144oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( A  +  B
)  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
146138, 145eqtrd 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
147146oveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) ) )
148130, 136, 1473eqtr4d 2218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) ) )
149148oveq1d 5880 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
15084, 149breqtrd 4024 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) ) )
15122sqcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 )  e.  CC )
15288, 151, 82add32d 8099 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
153150, 152breqtrd 4024 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
154 absresq 11055 . . . . . . 7  |-  ( ( A  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )
1554, 154syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )
156155oveq1d 5880 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  x.  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  -  C ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C
) )  x.  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ) ) )
157 absresq 11055 . . . . . 6  |-  ( ( B  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( B  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )
15828, 157syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  C )
) ^ 2 )  =  ( ( B  -  C ) ^
2 ) )
159156, 158oveq12d 5883 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  -  C
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( B  -  C ) ^ 2 ) ) )
1601, 12readdcld 7961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
161160, 3resubcld 8312 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A  +  B )  -  C
)  e.  RR )
162 absresq 11055 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  -  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )
163161, 162syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  +  B )  -  C ) ^
2 ) )
164163oveq2d 5881 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( ( A  +  B )  -  C
) ^ 2 ) ) )
165153, 159, 1643brtr4d 4030 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
16611recnd 7960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC )
16715recnd 7960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  CC )
168 binom2 10601 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  C )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
169166, 167, 168syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  -  C )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  x.  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ) )  +  ( ( abs `  ( B  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
170 binom2 10601 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) )  e.  CC )  -> 
( ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
1719, 64, 170syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( C  x.  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ) )  +  ( ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ^ 2 ) ) )
172165, 169, 1713brtr4d 4030 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) ^ 2 ) )
17311, 15readdcld 7961 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  e.  RR )
1743, 23readdcld 7961 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) )  e.  RR )
17510absge0d 11161 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( A  -  C
) ) )
17614absge0d 11161 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( B  -  C
) ) )
17711, 15, 175, 176addge0d 8453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  -  C ) )  +  ( abs `  ( B  -  C )
) ) )
17822absge0d 11161 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C
) ) )
1793, 23, 57, 178addge0d 8453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) ) )
180173, 174, 177, 179le2sqd 10655 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  C
) )  +  ( abs `  ( B  -  C ) ) )  <_  ( C  +  ( abs `  (
( A  +  B
)  -  C ) ) )  <->  ( (
( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) ) ^
2 )  <_  (
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) ^ 2 ) ) )
181172, 180mpbird 167 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( A  -  C )
)  +  ( abs `  ( B  -  C
) ) )  <_ 
( C  +  ( abs `  ( ( A  +  B )  -  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786    + caddc 7789    x. cmul 7791    <_ cle 7967    - cmin 8102   2c2 8943   RR+crp 9624   ^cexp 10489   abscabs 10974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976
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