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Theorem bdtrilem 11750

Description: Lemma for bdtri 11751. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bdtrilem	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem bdtrilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1045	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3 1023	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	rpred 9892	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	1, 3	resubcld 8527	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	resqcld 10921	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		2re 9180	. . . . . . . . . . . 12
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	2	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	8, 9	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	abscld 11692	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simp2l 1047	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13, 9	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	abscld 11692	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	remulcld 8177	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	7, 16	remulcld 8177	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	5, 17	readdcld 8176	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	1, 12	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	7, 19	remulcld 8177	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	8, 13	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21, 9	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	abscld 11692	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	3, 23	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	7, 24	remulcld 8177	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	20, 25	readdcld 8176	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	5, 26	readdcld 8176	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 3	resubcld 8527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	resqcld 10921	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 24	readdcld 8176	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		0le2 9200	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	19	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	9, 9	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	8, 9	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 9	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36, 37	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 35, 38	addsubassd 8477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	33, 39	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 38	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	34, 42	abstrid 11707	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 43	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simp1r 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp2r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	19, 47	absidd 11678	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	9, 21	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49, 9	absmuld 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 21, 9	subdird 8561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	8, 13, 9	adddird 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	9, 21	abssubd 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	rpge0d 9896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	3, 57	absidd 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	48, 60	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	44, 61	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	10, 14	absmuld 11705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	23	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 9	mulcomd 8168	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 63, 66	3brtr3d 4114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 9087	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	7	recnd 8175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	9, 64	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 34, 70	adddid 8171	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	breqtrd 4109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8707	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8706	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	5	recnd 8175	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	26	recnd 8175	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	29	recnd 8175	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	add32d 8314	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	breqtrd 4109	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77	addcld 8166	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	69, 34	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	69, 70	mulcld 8167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 81, 82	addassd 8169	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	79, 83	breqtrrd 4111	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	8	sqcld 10893	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	69, 36	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	9	sqcld 10893	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcld 8166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 81	addcld 8166	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	13	sqcld 10893	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	69, 37	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	subcld 8457	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	addcld 8166	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 88	addcld 8166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	89, 95, 81	add32d 8314	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	90, 93, 88	addassd 8169	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 88, 98	comraddd 8303	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	81, 93	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	addcld 8166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	89, 81, 93	addassd 8169	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	87, 88	addcomd 8297	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 104	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	88, 87, 100	addassd 8169	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	88, 101, 107	comraddd 8303	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	85, 86, 93	subadd23d 8479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	91, 92, 86	subsub4d 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	92, 86	addcomd 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	110, 112	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109, 114	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	87, 81, 93	add12d 8313	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	86, 92	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	91, 118	subcld 8457	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	85, 119	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	85, 81	addcld 8166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 91, 118	addsubassd 8477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	85, 81, 119	add32d 8314	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 81, 124	comraddd 8303	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	108, 127	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	99, 129	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		binom2sub 10875	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		binom2sub 10875	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	oveq12d 6019	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	oveq1d 6016	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		binom2sub 10875	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		binom2 10873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	52	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	69, 36, 37	adddid 8171	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	138, 145	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	oveq1d 6016	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	84, 149	breqtrd 4109	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	22	sqcld 10893	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	88, 151, 82	add32d 8314	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	150, 152	breqtrd 4109	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		absresq 11589	. . . . . . 7
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 6016	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		absresq 11589	. . . . . 6
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	oveq12d 6019	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	1, 12	readdcld 8176	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160, 3	resubcld 8527	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		absresq 11589	. . . . . 6
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	oveq2d 6017	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 159, 164	3brtr4d 4115	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	11	recnd 8175	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	15	recnd 8175	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		binom2 10873	. . . 4 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		binom2 10873	. . . 4 $/\$
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	165, 169, 171	3brtr4d 4115	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	11, 15	readdcld 8176	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	3, 23	readdcld 8176	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	10	absge0d 11695	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	14	absge0d 11695	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8669	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	22	absge0d 11695	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8669	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 10927	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	172, 180	mpbird 167	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

caddc 8002

cmul 8004

cle 8182

cmin 8317

c2 9161

crp 9849

cexp 10760

cabs 11508

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-rp 9850 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510

This theorem is referenced by: bdtri 11751

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