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Theorem bdtrilem 11550

Description: Lemma for bdtri 11551. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
bdtrilem	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem bdtrilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1024	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3 1002	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3	2	rpred 9818	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4	1, 3	resubcld 8453	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	resqcld 10844	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		2re 9106	. . . . . . . . . . . 12
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	2	rpcnd 9820	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	8, 9	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	abscld 11492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		simp2l 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13, 9	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15	14	abscld 11492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	11, 15	remulcld 8103	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	7, 16	remulcld 8103	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	5, 17	readdcld 8102	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	1, 12	remulcld 8103	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	7, 19	remulcld 8103	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	8, 13	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21, 9	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	22	abscld 11492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	3, 23	remulcld 8103	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	7, 24	remulcld 8103	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	20, 25	readdcld 8102	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	5, 26	readdcld 8102	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	12, 3	resubcld 8453	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	resqcld 10844	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	19, 24	readdcld 8102	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		0le2 9126	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	19	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	9, 9	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	8, 9	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	13, 9	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36, 37	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	34, 35, 38	addsubassd 8403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	33, 39	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	35, 38	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	34, 42	abstrid 11507	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	41, 43	eqbrtrd 4066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simp1r 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simp2r 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	19, 47	absidd 11478	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	9, 21	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49, 9	absmuld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	9, 21, 9	subdird 8487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	8, 13, 9	adddird 8098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 53	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	fveq2d 5580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	9, 21	abssubd 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	2	rpge0d 9822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	3, 57	absidd 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	56, 58	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	48, 60	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	44, 61	breqtrd 4070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	10, 14	absmuld 11505	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	23	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 9	mulcomd 8094	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 63, 66	3brtr3d 4075	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 9013	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	7	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	9, 64	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	69, 34, 70	adddid 8097	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	68, 71	breqtrd 4070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8633	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8632	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	5	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	26	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	29	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 76, 77	add32d 8240	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	breqtrd 4070	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77	addcld 8092	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	69, 34	mulcld 8093	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	69, 70	mulcld 8093	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	80, 81, 82	addassd 8095	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	79, 83	breqtrrd 4072	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	8	sqcld 10816	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	69, 36	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	85, 86	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	9	sqcld 10816	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	87, 88	addcld 8092	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89, 81	addcld 8092	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	13	sqcld 10816	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	69, 37	mulcld 8093	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	subcld 8383	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	addcld 8092	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	93, 88	addcld 8092	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	89, 95, 81	add32d 8240	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	90, 93, 88	addassd 8095	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	94, 88, 98	comraddd 8229	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	81, 93	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	87, 100	addcld 8092	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	89, 81, 93	addassd 8095	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	87, 88	addcomd 8223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 104	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	88, 87, 100	addassd 8095	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	105, 106	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	88, 101, 107	comraddd 8229	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	85, 86, 93	subadd23d 8405	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	91, 92, 86	subsub4d 8414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	92, 86	addcomd 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	110, 112	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	109, 114	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	87, 81, 93	add12d 8239	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	86, 92	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	91, 118	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	85, 119	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	85, 81	addcld 8092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	121, 91, 118	addsubassd 8403	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	85, 81, 119	add32d 8240	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	120, 81, 124	comraddd 8229	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2248	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	108, 127	eqtrd 2238	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	99, 129	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		binom2sub 10798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		binom2sub 10798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 134	oveq12d 5962	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	oveq1d 5959	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		binom2sub 10798	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		binom2 10796	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	52	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	69, 36, 37	adddid 8097	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	141, 142	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	138, 145	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2248	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	148	oveq1d 5959	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	84, 149	breqtrd 4070	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	22	sqcld 10816	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	88, 151, 82	add32d 8240	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	150, 152	breqtrd 4070	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		absresq 11389	. . . . . . 7
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 5959	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		absresq 11389	. . . . . 6
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	oveq12d 5962	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	1, 12	readdcld 8102	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160, 3	resubcld 8453	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162		absresq 11389	. . . . . 6
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	oveq2d 5960	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	153, 159, 164	3brtr4d 4076	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	11	recnd 8101	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	15	recnd 8101	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		binom2 10796	. . . 4 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		binom2 10796	. . . 4 $/\$
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	165, 169, 171	3brtr4d 4076	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	11, 15	readdcld 8102	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	3, 23	readdcld 8102	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	10	absge0d 11495	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	14	absge0d 11495	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8595	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	22	absge0d 11495	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8595	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 10850	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	172, 180	mpbird 167	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

caddc 7928

cmul 7930

cle 8108

cmin 8243

c2 9087

crp 9775

cexp 10683

cabs 11308

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-frec 6477 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-rp 9776 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310

This theorem is referenced by: bdtri 11551

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