Theorem addgegt0d 8470

Description: Addition of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
addgegt0d.3	|- ( ph -> 0 <_ A )
addgegt0d.4	|- ( ph -> 0 < B )

Assertion

Ref	Expression
addgegt0d	|- ( ph -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgegt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		addgegt0d.3	. 2 |- ( ph -> 0 <_ A )
4		addgegt0d.4	. 2 |- ( ph -> 0 < B )
5		addgegt0 8400	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A + B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1239	1 |- ( ph -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4001  (class class class)co 5870   RRcr 7805   0cc0 7806   + caddc 7809   < clt 7986   <_ cle 7987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-i2m1 7911  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-iota 5175  df-fv 5221  df-ov 5873  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992

This theorem is referenced by:  addgt0d  8472  nn0p1gt0  9199  nconstwlpolemgt0  14642