Theorem nconstwlpolemgt0 16797

Description: Lemma for nconstwlpo 16799. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolemgt0.0	|- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolemgt0	|- ( ph -> 0 < A )

Distinct variable groups:   x, A   i, G   ph, i, x

Allowed substitution hints:   A( i)   G( x)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolemgt0.0	. 2 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
2		1zzd 9567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
3		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 9217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. NN )
5	4	nnzd 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
6	5, 2	zsubcld 9668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
7	2, 6	fzfigd 10756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) e. Fin )
8		elfznn 10351	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) -> i e. NN )
9		2rp 9954	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
12	11	nnzd 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
14	13	rpreccld 10003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
15	14	rpred 9992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8239	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		1re 8238	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
18		prssi 3836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } C_ RR
20		nconstwlpolem0.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
22	21, 11	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. { 0 , 1 } )
23	19, 22	sselid 3226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. RR )
24	15, 23	remulcld 8269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
25	8, 24	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
26	7, 25	fsumrecl 12042	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
27		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
28		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) )
29		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
30	29	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
31		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( G ` n ) = ( G ` i ) )
32	30, 31	oveq12d 6046	. . . . . . 7 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
33		eluznn 9895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
34	4, 33	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
35	34, 24	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
36	28, 32, 34, 35	fvmptd3 5749	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
37	20, 28	trilpolemclim 16768	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
39		nnuz 9853	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40	28, 32, 11, 24	fvmptd3 5749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
41	24	recnd 8267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
42	40, 41	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
43	39, 4, 42	iserex 11979	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
44	38, 43	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
45	27, 5, 36, 35, 44	isumrecl 12070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
46	3	nnzd 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
47		fzofig 10757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
48	2, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
49		elfzo1 10493	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ x ) <-> ( i e. NN /\ x e. NN /\ i < x ) )
50	49	simp1bi 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
51	50, 24	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
52	48, 51	fsumrecl 12042	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
53	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 2 e. RR+ )
54	53, 46	rpexpcld 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
55	54	rpreccld 10003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 9992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
57	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
58	57, 3	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. { 0 , 1 } )
59	19, 58	sselid 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
60	56, 59	remulcld 8269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. RR )
61	14	rpge0d 9996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
62		0le0 9291	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> ( G ` i ) = 0 )
64	62, 63	breqtrrid 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
65		0le1 8720	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> ( G ` i ) = 1 )
67	65, 66	breqtrrid 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
68		elpri 3696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
69	22, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
70	64, 67, 69	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
71	15, 23, 61, 70	mulge0d 8860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
72	50, 71	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
73	48, 51, 72	fsumge0 12100	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
74	55	rpgt0d 9995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
75		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) = 1 )
76	75	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) )
77	56	recnd 8267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
78	77	mulridd 8256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
79	76, 78	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
80	74, 79	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
81	52, 60, 73, 80	addgegt0d 8758	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
82		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) )
83		nfcv 2375	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) )
84		fzonel 10458	. . . . . . . . 9 |- -. x e. ( 1..^ x )
85	84	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
86	50, 41	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
87		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
88	87	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
89		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( G ` i ) = ( G ` x ) )
90	88, 89	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
91	60	recnd 8267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
92	82, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91	fsumsplitsn 12051	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
93	81, 92	breqtrrd 4121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
94	3	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. CC )
95		1cnd 8255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. CC )
96	94, 95	pncand 8550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
97	96	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
98	3, 39	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fzisfzounsn 10545	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
101	97, 100	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
102	101	sumeq1d 12006	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
103	93, 102	breqtrrd 4121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
104	34, 15	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
105	34, 23	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( G ` i ) e. RR )
106	34, 14	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
107	106	rpge0d 9996	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
108	34, 70	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
109	104, 105, 107, 108	mulge0d 8860	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
110	27, 5, 36, 35, 44, 109	isumge0 12071	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
111	26, 45, 103, 110	addgtge0d 8759	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
112	39, 27, 4, 40, 41, 38	isumsplit 12132	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
113	111, 112	breqtrrd 4121	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
114		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
115	113, 114	breqtrrdi 4135	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < A )
116	1, 115	rexlimddv 2656	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   {cpr 3674   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   dom cdm 4731   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   / cdiv 8911   NNcn 9202   2c2 9253   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   RR+crp 9949   ...cfz 10305  ..^cfzo 10439   seqcseq 10772   ^cexp 10863   ~~> cli 11918   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16798