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Theorem nconstwlpolemgt0 16668
Description: Lemma for nconstwlpo 16670. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolemgt0.0 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 |- ( ph -> 0 < A )
Distinct variable groups:   x, A   i, G   ph, i, x
Allowed substitution hints:   A( i)   G( x)
Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
2 1zzd 9505 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
3 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. NN )
43peano2nnd 9157 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. NN )
54nnzd 9600 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
65, 2zsubcld 9606 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
72, 6fzfigd 10692 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) e. Fin )
8 elfznn 10288 . . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) -> i e. NN )
9 2rp 9892 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
1211nnzd 9600 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
1310, 12rpexpcld 10958 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
1413rpreccld 9941 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
1514rpred 9930 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16 0re 8178 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17 1re 8177 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
18 prssi 3831 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
1916, 17, 18mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } C_ RR
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
2221, 11ffvelcdmd 5783 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. { 0 , 1 } )
2319, 22sselid 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. RR )
2415, 23remulcld 8209 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
258, 24sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
267, 25fsumrecl 11961 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
27 eqid 2231 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
28 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) )
29 oveq2 6025 . . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
3029oveq2d 6033 . . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
31 fveq2 5639 . . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( G ` n ) = ( G ` i ) )
3230, 31oveq12d 6035 . . . . . . 7 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
33 eluznn 9833 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
344, 33sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
3534, 24syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5740 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
3720, 28trilpolemclim 16640 . . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
3837adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
39 nnuz 9791 . . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
4124recnd 8207 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
4240, 41eqeltrd 2308 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
4339, 4, 42iserex 11899 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
4438, 43mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 11989 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
463nnzd 9600 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
47 fzofig 10693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
482, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
49 elfzo1 10429 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ x ) <-> ( i e. NN /\ x e. NN /\ i < x ) )
5049simp1bi 1038 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
5150, 24sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
5248, 51fsumrecl 11961 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 2 e. RR+ )
5453, 46rpexpcld 10958 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
5554rpreccld 9941 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
5655rpred 9930 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
5720adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
5857, 3ffvelcdmd 5783 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. { 0 , 1 } )
5919, 58sselid 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
6056, 59remulcld 8209 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. RR )
6114rpge0d 9934 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
62 0le0 9231 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> ( G ` i ) = 0 )
6462, 63breqtrrid 4126 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
65 0le1 8660 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> ( G ` i ) = 1 )
6765, 66breqtrrid 4126 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
68 elpri 3692 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
7064, 67, 69mpjaodan 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
7115, 23, 61, 70mulge0d 8800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7250, 71sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7348, 51, 72fsumge0 12019 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7455rpgt0d 9933 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
75 simprr 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) = 1 )
7675oveq2d 6033 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) )
7756recnd 8207 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
7877mulridd 8195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
7976, 78eqtrd 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
8074, 79breqtrrd 4116 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8698 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
82 nfv 1576 . . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) )
83 nfcv 2374 . . . . . . . 8 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) )
84 fzonel 10395 . . . . . . . . 9 |- -. x e. ( 1..^ x )
8584a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
8650, 41sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
87 oveq2 6025 . . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
8887oveq2d 6033 . . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
89 fveq2 5639 . . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( G ` i ) = ( G ` x ) )
9088, 89oveq12d 6035 . . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
9160recnd 8207 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 11970 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
9381, 92breqtrrd 4116 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
943nncnd 9156 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. CC )
95 1cnd 8194 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. CC )
9694, 95pncand 8490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
9796oveq2d 6033 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
983, 39eleqtrdi 2324 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99 fzisfzounsn 10481 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
10197, 100eqtrd 2264 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
102101sumeq1d 11926 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
10393, 102breqtrrd 4116 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
10434, 15syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
10534, 23syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( G ` i ) e. RR )
10634, 14syldan 282 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
107106rpge0d 9934 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
10834, 70syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
109104, 105, 107, 108mulge0d 8800 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 11990 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8699 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 12051 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
113111, 112breqtrrd 4116 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
114 nconstwlpolem0.a . . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
115113, 114breqtrrdi 4130 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < A )
1161, 115rexlimddv 2655 1 |- ( ph -> 0 < A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   {cpr 3670   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376   seqcseq 10708   ^cexp 10799   ~~> cli 11838   sum_csu 11913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914
This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  16669
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