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Theorem nconstwlpolemgt0 17114
Description: Lemma for nconstwlpo 17116. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nconstwlpolem0.g |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolemgt0.0 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
Assertion
Ref Expression
nconstwlpolemgt0 |- ( ph -> 0 < A )
Distinct variable groups:   x, A   i, G   ph, i, x
Allowed substitution hints:   A( i)   G( x)
Proof of Theorem nconstwlpolemgt0
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconstwlpolemgt0.0 . 2 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
2 1zzd 9671 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
3 simprl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. NN )
43peano2nnd 9319 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. NN )
54nnzd 9767 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
65, 2zsubcld 9773 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
72, 6fzfigd 10868 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) e. Fin )
8 elfznn 10460 . . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) -> i e. NN )
9 2rp 10059 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
1211nnzd 9767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
1310, 12rpexpcld 11135 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
1413rpreccld 10108 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
1514rpred 10097 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16 0re 8326 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17 1re 8325 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
18 prssi 3873 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
1916, 17, 18mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } C_ RR
20 nconstwlpolem0.g . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
2120ad2antrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
2221, 11ffvelcdmd 5844 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. { 0 , 1 } )
2319, 22sselid 3246 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. RR )
2415, 23remulcld 8356 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
258, 24sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
267, 25fsumrecl 12168 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
27 eqid 2238 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
28 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) )
29 oveq2 6093 . . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
3029oveq2d 6101 . . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
31 fveq2 5695 . . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( G ` n ) = ( G ` i ) )
3230, 31oveq12d 6103 . . . . . . 7 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
33 eluznn 10000 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
344, 33sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
3534, 24syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
3628, 32, 34, 35fvmptd3 5799 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
3720, 28trilpolemclim 17085 . . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
3837adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
39 nnuz 9958 . . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4028, 32, 11, 24fvmptd3 5799 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
4124recnd 8354 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
4240, 41eqeltrd 2315 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
4339, 4, 42iserex 12105 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
4438, 43mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
4527, 5, 36, 35, 44isumrecl 12196 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
463nnzd 9767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
47 fzofig 10869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
482, 46, 47syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
49 elfzo1 10603 . . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ x ) <-> ( i e. NN /\ x e. NN /\ i < x ) )
5049simp1bi 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
5150, 24sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
5248, 51fsumrecl 12168 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
539a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 2 e. RR+ )
5453, 46rpexpcld 11135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
5554rpreccld 10108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
5655rpred 10097 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
5720adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
5857, 3ffvelcdmd 5844 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. { 0 , 1 } )
5919, 58sselid 3246 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
6056, 59remulcld 8356 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. RR )
6114rpge0d 10101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
62 0le0 9393 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
63 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> ( G ` i ) = 0 )
6462, 63breqtrrid 4168 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
65 0le1 8809 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> ( G ` i ) = 1 )
6765, 66breqtrrid 4168 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
68 elpri 3732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
6922, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
7064, 67, 69mpjaodan 810 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
7115, 23, 61, 70mulge0d 8949 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7250, 71sylan2 286 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7348, 51, 72fsumge0 12226 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
7455rpgt0d 10100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
75 simprr 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) = 1 )
7675oveq2d 6101 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) )
7756recnd 8354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
7877mulridd 8343 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
7976, 78eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
8074, 79breqtrrd 4158 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
8152, 60, 73, 80addgegt0d 8847 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
82 nfv 1581 . . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) )
83 nfcv 2392 . . . . . . . 8 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) )
84 fzonel 10568 . . . . . . . . 9 |- -. x e. ( 1..^ x )
8584a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
8650, 41sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
87 oveq2 6093 . . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
8887oveq2d 6101 . . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
89 fveq2 5695 . . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( G ` i ) = ( G ` x ) )
9088, 89oveq12d 6103 . . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
9160recnd 8354 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
9282, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91fsumsplitsn 12177 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
9381, 92breqtrrd 4158 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
943nncnd 9318 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. CC )
95 1cnd 8342 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. CC )
9694, 95pncand 8638 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
9796oveq2d 6101 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
983, 39eleqtrdi 2331 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99 fzisfzounsn 10655 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
10098, 99syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
10197, 100eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
102101sumeq1d 12132 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
10393, 102breqtrrd 4158 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
10434, 15syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
10534, 23syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( G ` i ) e. RR )
10634, 14syldan 282 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
107106rpge0d 10101 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
10834, 70syldan 282 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
109104, 105, 107, 108mulge0d 8949 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
11027, 5, 36, 35, 44, 109isumge0 12197 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
11126, 45, 103, 110addgtge0d 8848 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
11239, 27, 4, 40, 41, 38isumsplit 12258 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
113111, 112breqtrrd 4158 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
114 nconstwlpolem0.a . . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
115113, 114breqtrrdi 4172 . 2 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < A )
1161, 115rexlimddv 2673 1 |- ( ph -> 0 < A )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   RR+crp 10054   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549   seqcseq 10884   ^cexp 10975   ~~> cli 12044   sum_csu 12119
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-ico 10296  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120
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