Theorem nconstwlpolemgt0 15821

Description: Lemma for nconstwlpo 15823. If one of the terms of series is positive, so is the sum. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpolem0.g	|- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
nconstwlpolem0.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
nconstwlpolemgt0.0	|- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpolemgt0	|- ( ph -> 0 < A )

Distinct variable groups:   x, A   i, G   ph, i, x

Allowed substitution hints:   A( i)   G( x)

Proof of Theorem nconstwlpolemgt0

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpolemgt0.0	. 2 |- ( ph -> E. x e. NN ( G ` x ) = 1 )
2		1zzd 9372	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
3		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. NN )
4	3	peano2nnd 9024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. NN )
5	4	nnzd 9466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
6	5, 2	zsubcld 9472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
7	2, 6	fzfigd 10542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) e. Fin )
8		elfznn 10148	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) -> i e. NN )
9		2rp 9752	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
12	11	nnzd 9466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
13	10, 12	rpexpcld 10808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
14	13	rpreccld 9801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
15	14	rpred 9790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8045	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		1re 8044	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
18		prssi 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } C_ RR
20		nconstwlpolem0.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> { 0 , 1 } )
21	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
22	21, 11	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. { 0 , 1 } )
23	19, 22	sselid 3182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( G ` i ) e. RR )
24	15, 23	remulcld 8076	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
25	8, 24	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
26	7, 25	fsumrecl 11585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
27		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
28		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) )
29		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
30	29	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
31		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( G ` n ) = ( G ` i ) )
32	30, 31	oveq12d 5943	. . . . . . 7 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
33		eluznn 9693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
34	4, 33	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
35	34, 24	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
36	28, 32, 34, 35	fvmptd3 5658	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
37	20, 28	trilpolemclim 15793	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
39		nnuz 9656	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
40	28, 32, 11, 24	fvmptd3 5658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
41	24	recnd 8074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
42	40, 41	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
43	39, 4, 42	iserex 11523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
44	38, 43	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( G ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
45	27, 5, 36, 35, 44	isumrecl 11613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
46	3	nnzd 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
47		fzofig 10543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
48	2, 46, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
49		elfzo1 10285	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1..^ x ) <-> ( i e. NN /\ x e. NN /\ i < x ) )
50	49	simp1bi 1014	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
51	50, 24	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
52	48, 51	fsumrecl 11585	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. RR )
53	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 2 e. RR+ )
54	53, 46	rpexpcld 10808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
55	54	rpreccld 9801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 9790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
57	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> G : NN --> { 0 , 1 } )
58	57, 3	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. { 0 , 1 } )
59	19, 58	sselid 3182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
60	56, 59	remulcld 8076	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. RR )
61	14	rpge0d 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
62		0le0 9098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> ( G ` i ) = 0 )
64	62, 63	breqtrrid 4072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
65		0le1 8527	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 1
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> ( G ` i ) = 1 )
67	65, 66	breqtrrid 4072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) /\ ( G ` i ) = 1 ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
68		elpri 3646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
69	22, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> ( ( G ` i ) = 0 \/ ( G ` i ) = 1 ) )
70	64, 67, 69	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
71	15, 23, 61, 70	mulge0d 8667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
72	50, 71	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
73	48, 51, 72	fsumge0 11643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
74	55	rpgt0d 9793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
75		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( G ` x ) = 1 )
76	75	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) )
77	56	recnd 8074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
78	77	mulridd 8062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
79	76, 78	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
80	74, 79	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
81	52, 60, 73, 80	addgegt0d 8565	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
82		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) )
83		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) )
84		fzonel 10255	. . . . . . . . 9 |- -. x e. ( 1..^ x )
85	84	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
86	50, 41	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) e. CC )
87		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
88	87	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
89		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> ( G ` i ) = ( G ` x ) )
90	88, 89	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) )
91	60	recnd 8074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
92	82, 83, 48, 3, 85, 86, 90, 91	fsumsplitsn 11594	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( G ` x ) ) ) )
93	81, 92	breqtrrd 4062	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
94	3	nncnd 9023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. CC )
95		1cnd 8061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 1 e. CC )
96	94, 95	pncand 8357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
97	96	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
98	3, 39	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
99		fzisfzounsn 10331	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
100	98, 99	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
101	97, 100	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
102	101	sumeq1d 11550	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
103	93, 102	breqtrrd 4062	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
104	34, 15	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
105	34, 23	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( G ` i ) e. RR )
106	34, 14	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
107	106	rpge0d 9794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
108	34, 70	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( G ` i ) )
109	104, 105, 107, 108	mulge0d 8667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
110	27, 5, 36, 35, 44, 109	isumge0 11614	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
111	26, 45, 103, 110	addgtge0d 8566	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
112	39, 27, 4, 40, 41, 38	isumsplit 11675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) ) )
113	111, 112	breqtrrd 4062	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) ) )
114		nconstwlpolem0.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( G ` i ) )
115	113, 114	breqtrrdi 4076	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ ( G ` x ) = 1 ) ) -> 0 < A )
116	1, 115	rexlimddv 2619	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3623   {cpr 3624   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7896   RRcr 7897   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   < clt 8080   <_ cle 8081   - cmin 8216   / cdiv 8718   NNcn 9009   2c2 9060   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   RR+crp 9747   ...cfz 10102  ..^cfzo 10236   seqcseq 10558   ^cexp 10649   ~~> cli 11462   sum_csu 11537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-ico 9988  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538

This theorem is referenced by:  nconstwlpolem  15822