Theorem addgegt0 8357

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgegt0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgegt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8049	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 7909	. . . 4 |- 0 e. RR
3		leltadd 8355	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 < B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 434	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 < B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 < B ) ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) )
6	1, 5	eqbrtrrid 4023	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   0cc0 7763   + caddc 7766   < clt 7943   <_ cle 7944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-i2m1 7868  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949

This theorem is referenced by:  addgegt0i  8398  addgegt0d  8427  recexaplem2  8559  subfzo0  10187  mulcn2  11264