ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgegt0 Unicode version

Theorem addgegt0 8218
Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
addgegt0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <  B
) )  ->  0  <  ( A  +  B
) )

Proof of Theorem addgegt0
StepHypRef Expression
1 00id 7910 . 2  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 0re 7773 . . . 4  |-  0  e.  RR
3 leltadd 8216 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0  <  B
)  ->  ( 0  +  0 )  < 
( A  +  B
) ) )
42, 2, 3mpanl12 432 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  0  <  B
)  ->  ( 0  +  0 )  < 
( A  +  B
) ) )
54imp 123 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <  B
) )  ->  (
0  +  0 )  <  ( A  +  B ) )
61, 5eqbrtrrid 3964 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <  B
) )  ->  0  <  ( A  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813
This theorem is referenced by:  addgegt0i  8259  addgegt0d  8288  recexaplem2  8420  subfzo0  10026  mulcn2  11088
  Copyright terms: Public domain W3C validator