Theorem addgtge0d 8414

Description: Addition of positive and nonnegative numbers is positive. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
addgtge0d.3	|- ( ph -> 0 < A )
addgtge0d.4	|- ( ph -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
addgtge0d	|- ( ph -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgtge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		addgtge0d.3	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4		addgtge0d.4	. 2 |- ( ph -> 0 <_ B )
5		addgtge0 8344	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1229	1 |- ( ph -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   RRcr 7748   0cc0 7749   + caddc 7752   < clt 7929   <_ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  cosordlem  13370  nconstwlpolemgt0  13902