Theorem addgegt0d 8431

Description: Addition of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addgegt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addgegt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addgegt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgegt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addgegt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addgegt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		addgegt0 8361	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1234	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℝcr 7766  0cc0 7767   + caddc 7770   < clt 7947   ≤ cle 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-i2m1 7872  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953

This theorem is referenced by:  addgt0d  8433  nn0p1gt0  9157  nconstwlpolemgt0  14060