ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgegt0d GIF version

Theorem addgegt0d 7997
Description: Addition of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addgegt0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addgegt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addgegt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgegt0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addgegt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 addgegt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 addgegt0 7927 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1175 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  cr 7349  0cc0 7350   + caddc 7353   < clt 7522  cle 7523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528
This theorem is referenced by:  addgt0d  7998  nn0p1gt0  8702
  Copyright terms: Public domain W3C validator