ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0d Unicode version

Theorem addgt0d 8433
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addgt0d.3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
addgt0d.4  |-  ( ph  ->  0  <  B )
Assertion
Ref Expression
addgt0d  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem addgt0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 0red 7914 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4 addgt0d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  A )
53, 1, 4ltled 8031 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
6 addgt0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  B )
71, 2, 5, 6addgegt0d 8431 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767    + caddc 7770    < clt 7947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-i2m1 7872  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953
This theorem is referenced by:  nnoddm1d2  11862  pythagtriplem11  12221  pythagtriplem12  12222  pythagtriplem13  12223  pythagtriplem14  12224  pythagtriplem16  12226
  Copyright terms: Public domain W3C validator