Theorem addgtge0 7982

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgtge0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgtge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 7677	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 7542	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltleadd 7978	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 428	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) )
6	1, 5	syl5eqbrr 3885	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7403   0cc0 7404   + caddc 7407   < clt 7576   <_ cle 7577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-ltadd 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-cnv 4459  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582

This theorem is referenced by:  recexaplem2  8175  recp1lt1  8414  resqrexlem1arp  10492  resqrexlemp1rp  10493  resqrexlemglsq  10509