Theorem addgtge0 8505

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgtge0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgtge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8195	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 8054	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltleadd 8501	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 436	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
5	4	imp 124	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) )
6	1, 5	eqbrtrrid 4079	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   RRcr 7906   0cc0 7907   + caddc 7910   < clt 8089   <_ cle 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095

This theorem is referenced by:  addgtge0d  8575  recexaplem2  8707  recp1lt1  8954  resqrexlem1arp  11235  resqrexlemp1rp  11236  resqrexlemglsq  11252