Theorem addgtge0d 8285

Description: Addition of positive and nonnegative numbers is positive. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addgtge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgtge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addgtge0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgtge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addgtge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4		addgtge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addgtge0 8215	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1217	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7622  0cc0 7623   + caddc 7626   < clt 7803   ≤ cle 7804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-i2m1 7728  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809

This theorem is referenced by:  cosordlem  12933