Theorem addid0 8135

Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addid0	|- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( X + Y ) = X <-> Y = 0 ) )

Proof of Theorem addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> X e. CC )
2		simpr 109	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> Y e. CC )
3	1, 1, 2	subaddd 8091	. . 3 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( X - X ) = Y <-> ( X + Y ) = X ) )
4		eqcom 2141	. . . . 5 |- ( ( X - X ) = Y <-> Y = ( X - X ) )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ Y = ( X - X ) ) -> Y = ( X - X ) )
6		subid 7981	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - X ) = 0 )
7	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ Y = ( X - X ) ) -> ( X - X ) = 0 )
8	5, 7	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ Y = ( X - X ) ) -> Y = 0 )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( Y = ( X - X ) -> Y = 0 ) )
10	4, 9	syl5bi 151	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X - X ) = Y -> Y = 0 ) )
11	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( X - X ) = Y -> Y = 0 ) )
12	3, 11	sylbird 169	. 2 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( X + Y ) = X -> Y = 0 ) )
13		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( Y = 0 -> ( X + Y ) = ( X + 0 ) )
14		addid1 7900	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X + 0 ) = X )
15	13, 14	sylan9eqr 2194	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ Y = 0 ) -> ( X + Y ) = X )
16	15	ex 114	. . 3 |- ( X e. CC -> ( Y = 0 -> ( X + Y ) = X ) )
17	16	adantr 274	. 2 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( Y = 0 -> ( X + Y ) = X ) )
18	12, 17	impbid 128	1 |- ( ( X e. CC /\ Y e. CC ) -> ( ( X + Y ) = X <-> Y = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   + caddc 7623   - cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by:  addn0nid  8136