Theorem addid0 8371

Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addid0	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
3	1, 1, 2	subaddd 8327	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4		eqcom 2191	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
6		subid 8217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = 0)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋 − 𝑋) → 𝑌 = 0))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
12	3, 11	sylbird 170	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 → 𝑌 = 0))
13		oveq2 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14		addrid 8136	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
15	13, 14	sylan9eqr 2244	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
16	15	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
18	12, 17	impbid 129	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5904  ℂcc 7849  0cc0 7851   + caddc 7854   − cmin 8169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-setind 4561  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-addass 7953  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-sub 8171

This theorem is referenced by:  addn0nid  8372