ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addid0 GIF version

Theorem addid0 8158
Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
addid0 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 109 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
31, 1, 2subaddd 8114 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4 eqcom 2142 . . . . 5 ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋))
5 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = (𝑋𝑋))
6 subid 8004 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋𝑋) = 0)
76adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → (𝑋𝑋) = 0)
85, 7eqtrd 2173 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = 0)
98ex 114 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋𝑋) → 𝑌 = 0))
104, 9syl5bi 151 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
1110adantr 274 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
123, 11sylbird 169 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
13 oveq2 5789 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14 addid1 7923 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1513, 14sylan9eqr 2195 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
1615ex 114 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1716adantr 274 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1812, 17impbid 128 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643   + caddc 7646  cmin 7956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958
This theorem is referenced by:  addn0nid  8159
  Copyright terms: Public domain W3C validator