Theorem addid0 8645

Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addid0	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Proof of Theorem addid0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
3	1, 1, 2	subaddd 8601	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4		eqcom 2234	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = (𝑋 − 𝑋))
6		subid 8491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → (𝑋 − 𝑋) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋 − 𝑋)) → 𝑌 = 0)
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋 − 𝑋) → 𝑌 = 0))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 − 𝑋) = 𝑌 → 𝑌 = 0))
12	3, 11	sylbird 170	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 → 𝑌 = 0))
13		oveq2 6057	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14		addrid 8410	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
15	13, 14	sylan9eqr 2287	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
16	15	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
18	12, 17	impbid 129	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋 ↔ 𝑌 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  0cc0 8126   + caddc 8129   − cmin 8443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445

This theorem is referenced by:  addn0nid  8646