Theorem addsub12 8380

Description: Commutative/associative law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addsub12	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )

Proof of Theorem addsub12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd23 8379	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( A + ( B - C ) ) )
2		subcl 8366	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - C ) e. CC )
3		addcom 8304	. . . . 5 |- ( ( ( A - C ) e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
5	4	3impa 1218	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
6	1, 5	eqtr3d 2264	. 2 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )
7	6	3com23 1233	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6011   CCcc 8018   + caddc 8023   - cmin 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-setind 4631  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-sub 8340

This theorem is referenced by:  addsub12d  8501  eluzgtdifelfzo  10430