Theorem addsub12 8168

Description: Commutative/associative law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addsub12	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )

Proof of Theorem addsub12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd23 8167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( A + ( B - C ) ) )
2		subcl 8154	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - C ) e. CC )
3		addcom 8092	. . . . 5 |- ( ( ( A - C ) e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
5	4	3impa 1194	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - C ) + B ) = ( B + ( A - C ) ) )
6	1, 5	eqtr3d 2212	. 2 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )
7	6	3com23 1209	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + ( B - C ) ) = ( B + ( A - C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   CCcc 7808   + caddc 7813   - cmin 8126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128

This theorem is referenced by:  addsub12d  8289  eluzgtdifelfzo  10194