Theorem eluzgtdifelfzo 10363

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. ZZ )
5		eluzelz 9692	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. ZZ )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
7		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8	6, 7	zsubcld 9535	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
9	8	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
10	4, 9	zaddcld 9534	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A + ( N - B ) ) e. ZZ )
11		zre 9411	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
12		zre 9411	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
13		posdif 8563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> 0 < ( A - B ) ) )
14	13	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
15	11, 12, 14	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
16	15	adantld 278	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> 0 < ( A - B ) ) )
17	16	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> 0 < ( A - B ) )
18		resubcl 8371	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
19	12, 11, 18	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A - B ) e. RR )
21		eluzelre 9693	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. RR )
23	20, 22	ltaddposd 8637	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( 0 < ( A - B ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( N + ( A - B ) ) )
25		zcn 9412	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. CC )
27		eluzelcn 9694	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. CC )
28	27	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. CC )
29		zcn 9412	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
31	30	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> B e. CC )
32		addsub12 8320	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( N - B ) ) = ( N + ( A - B ) ) )
33	32	breq2d 4071	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
35	24, 34	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( A + ( N - B ) ) )
36		elfzo2 10307	. . . 4 |- ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( A + ( N - B ) ) e. ZZ /\ N < ( A + ( N - B ) ) ) )
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1184	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) )
38		fzosubel3 10362	. . 3 |- ( ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) /\ ( N - B ) e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
39	37, 9, 38	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
40	39	ex 115	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   < clt 8142   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  10364