Theorem eluzgtdifelfzo 10226

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
3		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. ZZ )
5		eluzelz 9566	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. ZZ )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
7		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8	6, 7	zsubcld 9409	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
9	8	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - B ) e. ZZ )
10	4, 9	zaddcld 9408	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A + ( N - B ) ) e. ZZ )
11		zre 9286	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
12		zre 9286	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
13		posdif 8441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> 0 < ( A - B ) ) )
14	13	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
15	11, 12, 14	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> 0 < ( A - B ) ) )
16	15	adantld 278	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> 0 < ( A - B ) ) )
17	16	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> 0 < ( A - B ) )
18		resubcl 8250	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
19	12, 11, 18	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( A - B ) e. RR )
21		eluzelre 9567	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. RR )
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. RR )
23	20, 22	ltaddposd 8515	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( 0 < ( A - B ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
24	17, 23	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( N + ( A - B ) ) )
25		zcn 9287	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> A e. CC )
27		eluzelcn 9568	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. CC )
28	27	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. CC )
29		zcn 9287	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. CC )
31	30	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> B e. CC )
32		addsub12 8199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( N - B ) ) = ( N + ( A - B ) ) )
33	32	breq2d 4030	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ N e. CC /\ B e. CC ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N < ( A + ( N - B ) ) <-> N < ( N + ( A - B ) ) ) )
35	24, 34	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N < ( A + ( N - B ) ) )
36		elfzo2 10179	. . . 4 |- ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( A + ( N - B ) ) e. ZZ /\ N < ( A + ( N - B ) ) ) )
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) )
38		fzosubel3 10225	. . 3 |- ( ( N e. ( A..^ ( A + ( N - B ) ) ) /\ ( N - B ) e. ZZ ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
39	37, 9, 38	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) )
40	39	ex 115	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` A ) /\ B < A ) -> ( N - A ) e. ( 0..^ ( N - B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   RRcr 7839   0cc0 7840   + caddc 7843   < clt 8021   - cmin 8157   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557  ..^cfzo 10171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  10227