Theorem brdomi 6896

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6890	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 4762	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		brdomg 6895	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   class class class wbr 4082  –1-1→wf1 5314   ≼ cdom 6884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-dom 6887

This theorem is referenced by:  domssr  6927  2dom  6956  xpdom2  6986  dom0  6995  isinfinf  7055  infm  7062  djudom  7256  difinfsn  7263  exmidfodomrlemim  7375  1dom1el  16312  domomsubct  16326