Theorem brdomi 6838

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6832	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 4719	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		brdomg 6837	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   class class class wbr 4044  –1-1→wf1 5268   ≼ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-dom 6829

This theorem is referenced by:  domssr  6869  2dom  6897  xpdom2  6926  dom0  6935  isinfinf  6994  infm  7001  djudom  7195  difinfsn  7202  exmidfodomrlemim  7309  1dom1el  15927  domomsubct  15938