Theorem cnmpt1res 14616

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	|- K = ( J ↾t Y )
cnmpt1res.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1res.5	|- ( ph -> Y C_ X )
cnmpt1res.6	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	|- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2	1	resmptd 4998	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) = ( x e. Y |-> A ) )
3		cnmpt1res.6	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 14335	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. J )
7	1, 6	sseqtrd 3222	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. J )
8		eqid 2196	. . . . 5 |- U. J = U. J
9	8	cnrest 14555	. . . 4 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) /\ Y C_ U. J ) -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
11		cnmpt1res.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
12	11	oveq1i 5935	. . 3 |- ( K Cn L ) = ( ( J ↾t Y ) Cn L )
13	10, 12	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( K Cn L ) )
14	2, 13	eqeltrrd 2274	1 |- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3840   |-> cmpt 4095   |` cres 4666   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ↾_t crest 12941  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508

This theorem is referenced by: (None)