Theorem cnmpt1res 12936

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	|- K = ( J ↾t Y )
cnmpt1res.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1res.5	|- ( ph -> Y C_ X )
cnmpt1res.6	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	|- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2	1	resmptd 4935	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) = ( x e. Y |-> A ) )
3		cnmpt1res.6	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 12653	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. J )
7	1, 6	sseqtrd 3180	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. J )
8		eqid 2165	. . . . 5 |- U. J = U. J
9	8	cnrest 12875	. . . 4 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) /\ Y C_ U. J ) -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
11		cnmpt1res.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
12	11	oveq1i 5852	. . 3 |- ( K Cn L ) = ( ( J ↾t Y ) Cn L )
13	10, 12	eleqtrrdi 2260	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( K Cn L ) )
14	2, 13	eqeltrrd 2244	1 |- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   |` cres 4606   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828

This theorem is referenced by: (None)