Theorem cnmpt1res 12656

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	|- K = ( J ↾t Y )
cnmpt1res.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1res.5	|- ( ph -> Y C_ X )
cnmpt1res.6	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	|- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2	1	resmptd 4914	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) = ( x e. Y |-> A ) )
3		cnmpt1res.6	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 12373	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. J )
7	1, 6	sseqtrd 3166	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. J )
8		eqid 2157	. . . . 5 |- U. J = U. J
9	8	cnrest 12595	. . . 4 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) /\ Y C_ U. J ) -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
11		cnmpt1res.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
12	11	oveq1i 5828	. . 3 |- ( K Cn L ) = ( ( J ↾t Y ) Cn L )
13	10, 12	eleqtrrdi 2251	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( K Cn L ) )
14	2, 13	eqeltrrd 2235	1 |- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   U.cuni 3772   |-> cmpt 4025   |` cres 4585   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   ↾_t crest 12311  TopOnctopon 12368   Cn ccn 12545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548

This theorem is referenced by: (None)