Theorem cnmpt1res 15397

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	|- K = ( J ↾t Y )
cnmpt1res.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1res.5	|- ( ph -> Y C_ X )
cnmpt1res.6	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	|- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2	1	resmptd 5114	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) = ( x e. Y |-> A ) )
3		cnmpt1res.6	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 15116	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. J )
7	1, 6	sseqtrd 3286	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. J )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- U. J = U. J
9	8	cnrest 15336	. . . 4 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) /\ Y C_ U. J ) -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
11		cnmpt1res.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
12	11	oveq1i 6095	. . 3 |- ( K Cn L ) = ( ( J ↾t Y ) Cn L )
13	10, 12	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( K Cn L ) )
14	2, 13	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   U.cuni 3935   |-> cmpt 4192   |` cres 4776   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ↾_t crest 13593  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cn 15289

This theorem is used by: (None)