Theorem cnmpt1res 13090

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	|- K = ( J ↾t Y )
cnmpt1res.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt1res.5	|- ( ph -> Y C_ X )
cnmpt1res.6	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	|- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2	1	resmptd 4942	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) = ( x e. Y |-> A ) )
3		cnmpt1res.6	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) )
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 12807	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> X = U. J )
7	1, 6	sseqtrd 3185	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. J )
8		eqid 2170	. . . . 5 |- U. J = U. J
9	8	cnrest 13029	. . . 4 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn L ) /\ Y C_ U. J ) -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
10	3, 7, 9	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( ( J ↾t Y ) Cn L ) )
11		cnmpt1res.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
12	11	oveq1i 5863	. . 3 |- ( K Cn L ) = ( ( J ↾t Y ) Cn L )
13	10, 12	eleqtrrdi 2264	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> A ) |` Y ) e. ( K Cn L ) )
14	2, 13	eqeltrrd 2248	1 |- ( ph -> ( x e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   |` cres 4613   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982

This theorem is referenced by: (None)