ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res GIF version

Theorem cnmpt1res 13881
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt1res.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21resmptd 4960 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 toponuni 13600 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64, 5syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6sseqtrd 3195 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2177 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cnrest 13820 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
1211oveq1i 5887 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2271 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2255 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3131  βˆͺ cuni 3811   ↦ cmpt 4066   β†Ύ cres 4630  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†Ύt crest 12693  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator