Theorem cnmpt1res 15010

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
cnmpt1res.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
cnmpt1res.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
2	1	resmptd 5062	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
3		cnmpt1res.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 14729	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	sseqtrd 3263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnrest 14949	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
11		cnmpt1res.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
12	11	oveq1i 6023	. . 3 ⊢ (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿)
13	10, 12	eleqtrrdi 2323	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14	2, 13	eqeltrrd 2307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ∪ cuni 3891   ↦ cmpt 4148   ↾ cres 4725  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↾_t crest 13312  TopOnctopon 14724   Cn ccn 14899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-cn 14902

This theorem is referenced by: (None)