Theorem cnmpt1res 15019

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
cnmpt1res.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
cnmpt1res.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
2	1	resmptd 5064	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
3		cnmpt1res.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 14738	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	sseqtrd 3265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnrest 14958	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
10	3, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
11		cnmpt1res.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
12	11	oveq1i 6027	. . 3 ⊢ (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿)
13	10, 12	eleqtrrdi 2325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14	2, 13	eqeltrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∪ cuni 3893   ↦ cmpt 4150   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ↾_t crest 13321  TopOnctopon 14733   Cn ccn 14908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-cn 14911

This theorem is referenced by: (None)