Theorem lelttrd 8199

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8163	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltwlin 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8960  ledivp1  8978  suprzclex  9473  btwnapz  9505  ge0p1rp  9809  elfzolt3  10282  exbtwnz  10395  btwnzge0  10445  flltdivnn0lt  10449  modqid  10496  mulqaddmodid  10511  modqsubdir  10540  seqf1oglem1  10666  seqf1oglem2  10667  nn0opthlem2d  10868  bcp1nk  10909  zfz1isolemiso  10986  resqrexlemover  11354  resqrexlemnm  11362  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemglsq  11366  resqrexlemga  11367  abslt  11432  abs3lem  11455  fzomaxdiflem  11456  icodiamlt  11524  maxltsup  11562  reccn2ap  11657  expcnvre  11847  absltap  11853  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemi1  11879  ef01bndlem  12100  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  sinltxirr  12105  eirraplem  12121  dvdslelemd  12187  bitsfzolem  12298  bitsfzo  12299  bitsinv1lem  12305  isprm5lem  12496  sqrt2irrap  12535  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  pcfaclem  12705  pockthg  12713  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  4sqlem13m  12759  mplsubgfilemcl  14494  ssblex  14936  dedekindeulemuub  15122  dedekindeulemlu  15126  suplociccreex  15129  dedekindicclemuub  15131  dedekindicclemlu  15135  dedekindicc  15138  ivthinclemuopn  15143  hovera  15152  dveflem  15231  coseq00topi  15340  coseq0negpitopi  15341  cosordlem  15354  logbgcd1irraplemexp  15473  perfectlem2  15505  lgsdirprm  15544  lgseisen  15584  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  2sqlem8  15633  qdencn  16003  cvgcmp2nlemabs  16008