Theorem lelttrd 8019

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 7983	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   < clt 7929   <_ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltwlin 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8776  ledivp1  8794  suprzclex  9285  btwnapz  9317  ge0p1rp  9617  elfzolt3  10088  exbtwnz  10182  btwnzge0  10231  flltdivnn0lt  10235  modqid  10280  mulqaddmodid  10295  modqsubdir  10324  nn0opthlem2d  10630  bcp1nk  10671  zfz1isolemiso  10748  resqrexlemover  10948  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemglsq  10960  resqrexlemga  10961  abslt  11026  abs3lem  11049  fzomaxdiflem  11050  icodiamlt  11118  maxltsup  11156  reccn2ap  11250  expcnvre  11440  absltap  11446  cvgratnnlemfm  11466  cvgratnnlemrate  11467  mertenslemi1  11472  ef01bndlem  11693  sin01bnd  11694  cos01bnd  11695  eirraplem  11713  dvdslelemd  11777  isprm5lem  12069  sqrt2irrap  12108  eulerthlemrprm  12157  eulerthlema  12158  pcfaclem  12275  pockthg  12283  ssblex  13031  dedekindeulemuub  13195  dedekindeulemlu  13199  suplociccreex  13202  dedekindicclemuub  13204  dedekindicclemlu  13208  dedekindicc  13211  ivthinclemuopn  13216  dveflem  13287  coseq00topi  13356  coseq0negpitopi  13357  cosordlem  13370  logbgcd1irraplemexp  13486  lgsdirprm  13535  2sqlem8  13559  qdencn  13866  cvgcmp2nlemabs  13871