Theorem lelttrd 8151

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8115	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltwlin 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8912  ledivp1  8930  suprzclex  9424  btwnapz  9456  ge0p1rp  9760  elfzolt3  10233  exbtwnz  10340  btwnzge0  10390  flltdivnn0lt  10394  modqid  10441  mulqaddmodid  10456  modqsubdir  10485  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  nn0opthlem2d  10813  bcp1nk  10854  zfz1isolemiso  10931  resqrexlemover  11175  resqrexlemnm  11183  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemglsq  11187  resqrexlemga  11188  abslt  11253  abs3lem  11276  fzomaxdiflem  11277  icodiamlt  11345  maxltsup  11383  reccn2ap  11478  expcnvre  11668  absltap  11674  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemi1  11700  ef01bndlem  11921  sin01bnd  11922  cos01bnd  11923  sinltxirr  11926  eirraplem  11942  dvdslelemd  12008  bitsfzolem  12118  bitsfzo  12119  isprm5lem  12309  sqrt2irrap  12348  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  pcfaclem  12518  pockthg  12526  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  4sqlem13m  12572  ssblex  14667  dedekindeulemuub  14853  dedekindeulemlu  14857  suplociccreex  14860  dedekindicclemuub  14862  dedekindicclemlu  14866  dedekindicc  14869  ivthinclemuopn  14874  hovera  14883  dveflem  14962  coseq00topi  15071  coseq0negpitopi  15072  cosordlem  15085  logbgcd1irraplemexp  15204  perfectlem2  15236  lgsdirprm  15275  lgseisen  15315  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  2sqlem8  15364  qdencn  15671  cvgcmp2nlemabs  15676