Theorem lelttrd 8082

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8046	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   RRcr 7810   < clt 7992   <_ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltwlin 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8842  ledivp1  8860  suprzclex  9351  btwnapz  9383  ge0p1rp  9685  elfzolt3  10157  exbtwnz  10251  btwnzge0  10300  flltdivnn0lt  10304  modqid  10349  mulqaddmodid  10364  modqsubdir  10393  nn0opthlem2d  10701  bcp1nk  10742  zfz1isolemiso  10819  resqrexlemover  11019  resqrexlemnm  11027  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemglsq  11031  resqrexlemga  11032  abslt  11097  abs3lem  11120  fzomaxdiflem  11121  icodiamlt  11189  maxltsup  11227  reccn2ap  11321  expcnvre  11511  absltap  11517  cvgratnnlemfm  11537  cvgratnnlemrate  11538  mertenslemi1  11543  ef01bndlem  11764  sin01bnd  11765  cos01bnd  11766  eirraplem  11784  dvdslelemd  11849  isprm5lem  12141  sqrt2irrap  12180  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  pcfaclem  12347  pockthg  12355  ssblex  13934  dedekindeulemuub  14098  dedekindeulemlu  14102  suplociccreex  14105  dedekindicclemuub  14107  dedekindicclemlu  14111  dedekindicc  14114  ivthinclemuopn  14119  dveflem  14190  coseq00topi  14259  coseq0negpitopi  14260  cosordlem  14273  logbgcd1irraplemexp  14389  lgsdirprm  14438  2sqlem8  14473  qdencn  14778  cvgcmp2nlemabs  14783