Theorem lelttrd 8451

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8414	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lt2msq1  9215  ledivp1  9233  suprzclex  9744  btwnapz  9776  ge0p1rp  10086  elfzolt3  10565  exbtwnz  10685  btwnzge0  10735  flltdivnn0lt  10739  modqid  10786  mulqaddmodid  10801  modqsubdir  10830  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  nn0opthlem2d  11159  bcp1nk  11200  zfz1isolemiso  11291  resqrexlemover  11776  resqrexlemnm  11784  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemglsq  11788  resqrexlemga  11789  abslt  11854  abs3lem  11877  fzomaxdiflem  11878  icodiamlt  11946  maxltsup  11984  reccn2ap  12079  expcnvre  12270  absltap  12276  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  mertenslemi1  12302  ef01bndlem  12523  sin01bnd  12524  cos01bnd  12525  sinltxirr  12528  eirraplem  12544  dvdslelemd  12610  bitsfzolem  12721  bitsfzo  12722  bitsinv1lem  12728  isprm5lem  12919  sqrt2irrap  12958  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  pcfaclem  13128  pockthg  13136  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  4sqlem13m  13182  mplsubgfilemcl  15090  ssblex  15532  dedekindeulemuub  15718  dedekindeulemlu  15722  suplociccreex  15725  dedekindicclemuub  15727  dedekindicclemlu  15731  dedekindicc  15734  ivthinclemuopn  15739  hovera  15748  dveflem  15827  coseq00topi  15936  coseq0negpitopi  15937  cosordlem  15950  logbgcd1irraplemexp  16070  birthdaylem3  16089  perfectlem2  16114  lgsdirprm  16153  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  2sqlem8  16242  qdencn  17072  cvgcmp2nlemabs  17081