Theorem lelttrd 8037

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 431	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7766   < clt 7947   <_ cle 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-pre-ltwlin 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8794  ledivp1  8812  suprzclex  9303  btwnapz  9335  ge0p1rp  9635  elfzolt3  10106  exbtwnz  10200  btwnzge0  10249  flltdivnn0lt  10253  modqid  10298  mulqaddmodid  10313  modqsubdir  10342  nn0opthlem2d  10648  bcp1nk  10689  zfz1isolemiso  10767  resqrexlemover  10967  resqrexlemnm  10975  resqrexlemcvg  10976  resqrexlemglsq  10979  resqrexlemga  10980  abslt  11045  abs3lem  11068  fzomaxdiflem  11069  icodiamlt  11137  maxltsup  11175  reccn2ap  11269  expcnvre  11459  absltap  11465  cvgratnnlemfm  11485  cvgratnnlemrate  11486  mertenslemi1  11491  ef01bndlem  11712  sin01bnd  11713  cos01bnd  11714  eirraplem  11732  dvdslelemd  11796  isprm5lem  12088  sqrt2irrap  12127  eulerthlemrprm  12176  eulerthlema  12177  pcfaclem  12294  pockthg  12302  ssblex  13190  dedekindeulemuub  13354  dedekindeulemlu  13358  suplociccreex  13361  dedekindicclemuub  13363  dedekindicclemlu  13367  dedekindicc  13370  ivthinclemuopn  13375  dveflem  13446  coseq00topi  13515  coseq0negpitopi  13516  cosordlem  13529  logbgcd1irraplemexp  13645  lgsdirprm  13694  2sqlem8  13718  qdencn  14024  cvgcmp2nlemabs  14029