Theorem lelttrd 8458

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8420	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lt2msq1  9223  ledivp1  9241  suprzclex  9754  btwnapz  9786  ge0p1rp  10102  elfzolt3  10581  exbtwnz  10701  flaplt  10738  btwnzge0  10755  flltdivnn0lt  10759  modqid  10806  mulqaddmodid  10821  modqsubdir  10850  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  nn0opthlem2d  11180  bcp1nk  11221  zfz1isolemiso  11312  resqrexlemover  11797  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemglsq  11809  resqrexlemga  11810  abslt  11876  abs3lem  11899  fzomaxdiflem  11900  icodiamlt  11968  maxltsup  12006  reccn2ap  12103  expcnvre  12294  absltap  12300  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemi1  12326  ef01bndlem  12547  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  sinltxirr  12552  eirraplem  12568  dvdslelemd  12634  bitsfzolem  12745  bitsfzo  12746  bitsinv1lem  12752  isprm5lem  12944  sqrt2irrap  12984  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  pcfaclem  13156  pockthg  13164  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  4sqlem13m  13210  ssblex  15674  dedekindeulemuub  15860  dedekindeulemlu  15864  suplociccreex  15867  dedekindicclemuub  15869  dedekindicclemlu  15873  dedekindicc  15876  ivthinclemuopn  15881  hovera  15890  dveflem  15969  coseq00topi  16079  coseq0negpitopi  16080  cosordlem  16094  logbgcd1irraplemexp  16221  birthdaylem3  16244  ppiqltx  16298  perfectlem2  16317  bposlem1  16328  bposlem3  16330  bposlem6  16333  lgsdirprm  16375  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  2sqlem8  16464  qdencn  17295  cvgcmp2nlemabs  17304