Theorem lelttrd 8363

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8327	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9124  ledivp1  9142  suprzclex  9639  btwnapz  9671  ge0p1rp  9981  elfzolt3  10455  exbtwnz  10573  btwnzge0  10623  flltdivnn0lt  10627  modqid  10674  mulqaddmodid  10689  modqsubdir  10718  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  nn0opthlem2d  11046  bcp1nk  11087  zfz1isolemiso  11166  resqrexlemover  11650  resqrexlemnm  11658  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemglsq  11662  resqrexlemga  11663  abslt  11728  abs3lem  11751  fzomaxdiflem  11752  icodiamlt  11820  maxltsup  11858  reccn2ap  11953  expcnvre  12144  absltap  12150  cvgratnnlemfm  12170  cvgratnnlemrate  12171  mertenslemi1  12176  ef01bndlem  12397  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  sinltxirr  12402  eirraplem  12418  dvdslelemd  12484  bitsfzolem  12595  bitsfzo  12596  bitsinv1lem  12602  isprm5lem  12793  sqrt2irrap  12832  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  pcfaclem  13002  pockthg  13010  4sqlem11  13054  4sqlem12  13055  4sqlem13m  13056  mplsubgfilemcl  14800  ssblex  15242  dedekindeulemuub  15428  dedekindeulemlu  15432  suplociccreex  15435  dedekindicclemuub  15437  dedekindicclemlu  15441  dedekindicc  15444  ivthinclemuopn  15449  hovera  15458  dveflem  15537  coseq00topi  15646  coseq0negpitopi  15647  cosordlem  15660  logbgcd1irraplemexp  15779  perfectlem2  15814  lgsdirprm  15853  lgseisen  15893  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  2sqlem8  15942  qdencn  16755  cvgcmp2nlemabs  16764