ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lelttrd Unicode version

Theorem lelttrd 7899
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 7864 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 429 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7631    < clt 7812    <_ cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltwlin 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818
This theorem is referenced by:  lt2msq1  8655  ledivp1  8673  suprzclex  9161  btwnapz  9193  ge0p1rp  9485  elfzolt3  9946  exbtwnz  10040  btwnzge0  10085  flltdivnn0lt  10089  modqid  10134  mulqaddmodid  10149  modqsubdir  10178  nn0opthlem2d  10479  bcp1nk  10520  zfz1isolemiso  10594  resqrexlemover  10794  resqrexlemnm  10802  resqrexlemcvg  10803  resqrexlemglsq  10806  resqrexlemga  10807  abslt  10872  abs3lem  10895  fzomaxdiflem  10896  icodiamlt  10964  maxltsup  11002  reccn2ap  11094  expcnvre  11284  absltap  11290  cvgratnnlemfm  11310  cvgratnnlemrate  11311  mertenslemi1  11316  ef01bndlem  11474  sin01bnd  11475  cos01bnd  11476  eirraplem  11494  dvdslelemd  11552  sqrt2irrap  11869  ssblex  12614  dedekindeulemuub  12778  dedekindeulemlu  12782  suplociccreex  12785  dedekindicclemuub  12787  dedekindicclemlu  12791  dedekindicc  12794  ivthinclemuopn  12799  dveflem  12870  coseq00topi  12938  coseq0negpitopi  12939  cosordlem  12952  qdencn  13283  cvgcmp2nlemabs  13288
  Copyright terms: Public domain W3C validator