Theorem lelttrd 8271

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8235	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltwlin 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9032  ledivp1  9050  suprzclex  9545  btwnapz  9577  ge0p1rp  9881  elfzolt3  10354  exbtwnz  10470  btwnzge0  10520  flltdivnn0lt  10524  modqid  10571  mulqaddmodid  10586  modqsubdir  10615  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  nn0opthlem2d  10943  bcp1nk  10984  zfz1isolemiso  11061  resqrexlemover  11521  resqrexlemnm  11529  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemglsq  11533  resqrexlemga  11534  abslt  11599  abs3lem  11622  fzomaxdiflem  11623  icodiamlt  11691  maxltsup  11729  reccn2ap  11824  expcnvre  12014  absltap  12020  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  mertenslemi1  12046  ef01bndlem  12267  sin01bnd  12268  cos01bnd  12269  sinltxirr  12272  eirraplem  12288  dvdslelemd  12354  bitsfzolem  12465  bitsfzo  12466  bitsinv1lem  12472  isprm5lem  12663  sqrt2irrap  12702  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  pcfaclem  12872  pockthg  12880  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  4sqlem13m  12926  mplsubgfilemcl  14663  ssblex  15105  dedekindeulemuub  15291  dedekindeulemlu  15295  suplociccreex  15298  dedekindicclemuub  15300  dedekindicclemlu  15304  dedekindicc  15307  ivthinclemuopn  15312  hovera  15321  dveflem  15400  coseq00topi  15509  coseq0negpitopi  15510  cosordlem  15523  logbgcd1irraplemexp  15642  perfectlem2  15674  lgsdirprm  15713  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  2sqlem8  15802  qdencn  16395  cvgcmp2nlemabs  16400