Theorem lelttrd 8112

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8076	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RRcr 7840   < clt 8022   <_ cle 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-pre-ltwlin 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8872  ledivp1  8890  suprzclex  9381  btwnapz  9413  ge0p1rp  9715  elfzolt3  10187  exbtwnz  10281  btwnzge0  10331  flltdivnn0lt  10335  modqid  10380  mulqaddmodid  10395  modqsubdir  10424  nn0opthlem2d  10733  bcp1nk  10774  zfz1isolemiso  10851  resqrexlemover  11051  resqrexlemnm  11059  resqrexlemcvg  11060  resqrexlemglsq  11063  resqrexlemga  11064  abslt  11129  abs3lem  11152  fzomaxdiflem  11153  icodiamlt  11221  maxltsup  11259  reccn2ap  11353  expcnvre  11543  absltap  11549  cvgratnnlemfm  11569  cvgratnnlemrate  11570  mertenslemi1  11575  ef01bndlem  11796  sin01bnd  11797  cos01bnd  11798  eirraplem  11816  dvdslelemd  11881  isprm5lem  12173  sqrt2irrap  12212  eulerthlemrprm  12261  eulerthlema  12262  pcfaclem  12381  pockthg  12389  4sqlem11  12433  4sqlem12  12434  4sqlem13m  12435  ssblex  14388  dedekindeulemuub  14552  dedekindeulemlu  14556  suplociccreex  14559  dedekindicclemuub  14561  dedekindicclemlu  14565  dedekindicc  14568  ivthinclemuopn  14573  dveflem  14644  coseq00topi  14713  coseq0negpitopi  14714  cosordlem  14727  logbgcd1irraplemexp  14843  lgsdirprm  14893  2sqlem8  14928  qdencn  15234  cvgcmp2nlemabs  15239