Theorem lelttrd 7911

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 7876	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  lt2msq1  8667  ledivp1  8685  suprzclex  9173  btwnapz  9205  ge0p1rp  9502  elfzolt3  9965  exbtwnz  10059  btwnzge0  10104  flltdivnn0lt  10108  modqid  10153  mulqaddmodid  10168  modqsubdir  10197  nn0opthlem2d  10499  bcp1nk  10540  zfz1isolemiso  10614  resqrexlemover  10814  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemglsq  10826  resqrexlemga  10827  abslt  10892  abs3lem  10915  fzomaxdiflem  10916  icodiamlt  10984  maxltsup  11022  reccn2ap  11114  expcnvre  11304  absltap  11310  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  mertenslemi1  11336  ef01bndlem  11499  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501  eirraplem  11519  dvdslelemd  11577  sqrt2irrap  11894  ssblex  12639  dedekindeulemuub  12803  dedekindeulemlu  12807  suplociccreex  12810  dedekindicclemuub  12812  dedekindicclemlu  12816  dedekindicc  12819  ivthinclemuopn  12824  dveflem  12895  coseq00topi  12964  coseq0negpitopi  12965  cosordlem  12978  logbgcd1irraplemexp  13093  qdencn  13397  cvgcmp2nlemabs  13402