ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lelttrd Unicode version

Theorem lelttrd 7855
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 7820 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1201 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 429 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587    < clt 7768    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  lt2msq1  8611  ledivp1  8629  suprzclex  9117  btwnapz  9149  ge0p1rp  9441  elfzolt3  9902  exbtwnz  9996  btwnzge0  10041  flltdivnn0lt  10045  modqid  10090  mulqaddmodid  10105  modqsubdir  10134  nn0opthlem2d  10435  bcp1nk  10476  zfz1isolemiso  10550  resqrexlemover  10750  resqrexlemnm  10758  resqrexlemcvg  10759  resqrexlemglsq  10762  resqrexlemga  10763  abslt  10828  abs3lem  10851  fzomaxdiflem  10852  icodiamlt  10920  maxltsup  10958  reccn2ap  11050  expcnvre  11240  absltap  11246  cvgratnnlemfm  11266  cvgratnnlemrate  11267  mertenslemi1  11272  ef01bndlem  11390  sin01bnd  11391  cos01bnd  11392  eirraplem  11410  dvdslelemd  11468  sqrt2irrap  11785  ssblex  12527  dedekindeulemuub  12691  dedekindeulemlu  12695  suplociccreex  12698  dedekindicclemuub  12700  dedekindicclemlu  12704  dedekindicc  12707  ivthinclemuopn  12712  dveflem  12782  coseq00topi  12843  coseq0negpitopi  12844  cosordlem  12857  qdencn  13149  cvgcmp2nlemabs  13154
  Copyright terms: Public domain W3C validator