Theorem lelttrd 8398

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8362	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   < clt 8308   <_ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltwlin 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314

This theorem is referenced by:  lt2msq1  9159  ledivp1  9177  suprzclex  9676  btwnapz  9708  ge0p1rp  10018  elfzolt3  10492  exbtwnz  10610  btwnzge0  10660  flltdivnn0lt  10664  modqid  10711  mulqaddmodid  10726  modqsubdir  10755  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  nn0opthlem2d  11083  bcp1nk  11124  zfz1isolemiso  11211  resqrexlemover  11695  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemglsq  11707  resqrexlemga  11708  abslt  11773  abs3lem  11796  fzomaxdiflem  11797  icodiamlt  11865  maxltsup  11903  reccn2ap  11998  expcnvre  12189  absltap  12195  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemi1  12221  ef01bndlem  12442  sin01bnd  12443  cos01bnd  12444  sinltxirr  12447  eirraplem  12463  dvdslelemd  12529  bitsfzolem  12640  bitsfzo  12641  bitsinv1lem  12647  isprm5lem  12838  sqrt2irrap  12877  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  pcfaclem  13047  pockthg  13055  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  4sqlem13m  13101  mplsubgfilemcl  14854  ssblex  15296  dedekindeulemuub  15482  dedekindeulemlu  15486  suplociccreex  15489  dedekindicclemuub  15491  dedekindicclemlu  15495  dedekindicc  15498  ivthinclemuopn  15503  hovera  15512  dveflem  15591  coseq00topi  15700  coseq0negpitopi  15701  cosordlem  15714  logbgcd1irraplemexp  15833  perfectlem2  15868  lgsdirprm  15907  lgseisen  15947  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  2sqlem8  15996  qdencn  16807  cvgcmp2nlemabs  16816