Theorem lelttrd 8458

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lelttrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
lelttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		lelttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lelttr 8420	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lt2msq1  9223  ledivp1  9241  suprzclex  9755  btwnapz  9787  ge0p1rp  10103  elfzolt3  10582  exbtwnz  10702  flaplt  10739  btwnzge0  10756  flltdivnn0lt  10760  modqid  10807  mulqaddmodid  10822  modqsubdir  10851  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  nn0opthlem2d  11181  bcp1nk  11222  zfz1isolemiso  11313  resqrexlemover  11798  resqrexlemnm  11806  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemga  11811  abslt  11877  abs3lem  11900  fzomaxdiflem  11901  icodiamlt  11969  maxltsup  12007  reccn2ap  12104  expcnvre  12295  absltap  12301  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  mertenslemi1  12327  ef01bndlem  12548  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  sinltxirr  12553  eirraplem  12569  dvdslelemd  12635  bitsfzolem  12746  bitsfzo  12747  bitsinv1lem  12753  isprm5lem  12945  sqrt2irrap  12985  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  pcfaclem  13157  pockthg  13165  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  4sqlem13m  13211  mplsubgfilemcl  15215  ssblex  15657  dedekindeulemuub  15843  dedekindeulemlu  15847  suplociccreex  15850  dedekindicclemuub  15852  dedekindicclemlu  15856  dedekindicc  15859  ivthinclemuopn  15864  hovera  15873  dveflem  15952  coseq00topi  16062  coseq0negpitopi  16063  cosordlem  16077  logbgcd1irraplemexp  16204  birthdaylem3  16227  ppiqltx  16281  perfectlem2  16300  bposlem1  16311  bposlem3  16313  bposlem6  16316  lgsdirprm  16358  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  2sqlem8  16447  qdencn  17278  cvgcmp2nlemabs  17287