ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemuub GIF version

Theorem dedekindeulemuub 12753
Description: Lemma for dedekindeu 12759. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindeulemuub.u (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemuub (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindeulemuub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeulemuub.u . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
2 eleq1 2200 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟𝑈𝐴𝑈))
3 breq2 3928 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝐴))
43rexbidv 2436 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴))
52, 4bibi12d 234 . . . 4 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐴𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴)))
6 dedekindeu.ur . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
7 dedekindeu.uss . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
87, 1sseldd 3093 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
95, 6, 8rspcdva 2789 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴))
101, 9mpbid 146 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴)
11 dedekindeu.lss . . . . . 6 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
1211ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐿 ⊆ ℝ)
13 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿)
1412, 13sseldd 3093 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
157ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑈 ⊆ ℝ)
16 simplrl 524 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞𝑈)
1715, 16sseldd 3093 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
188ad2antrr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 breq1 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧𝑞 < 𝑧))
2019rspcev 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝑈𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
2116, 20sylan 281 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
2219cbvrexv 2653 . . . . . . . 8 (∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
2321, 22sylib 121 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
24 eleq1 2200 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟𝑈𝑧𝑈))
25 breq2 3928 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝑧))
2625rexbidv 2436 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
2724, 26bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)))
286ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
2914adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
3027, 28, 29rspcdva 2789 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
3123, 30mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝑈)
32 simplll 522 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
3313adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝐿)
34 dedekindeu.disj . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
35 disj 3406 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
3634, 35sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
3736r19.21bi 2518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑧𝑈)
3832, 33, 37syl2anc 408 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧𝑈)
3931, 38pm2.65da 650 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
4014, 17, 39nltled 7876 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝑞)
41 simplrr 525 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 < 𝐴)
4214, 17, 18, 40, 41lelttrd 7880 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 < 𝐴)
4342ralrimiva 2503 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
4410, 43rexlimddv 2552 1 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  cin 3065  wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924  cr 7612   < clt 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltwlin 7726
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799
This theorem is referenced by:  dedekindeulemub  12754  dedekindeulemloc  12755
  Copyright terms: Public domain W3C validator