ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemuub GIF version

Theorem dedekindeulemuub 14771
Description: Lemma for dedekindeu 14777. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindeulemuub.u (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemuub (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindeulemuub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeulemuub.u . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
2 eleq1 2256 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟𝑈𝐴𝑈))
3 breq2 4033 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝐴))
43rexbidv 2495 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴))
52, 4bibi12d 235 . . . 4 (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐴𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴)))
6 dedekindeu.ur . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
7 dedekindeu.uss . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
87, 1sseldd 3180 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
95, 6, 8rspcdva 2869 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴))
101, 9mpbid 147 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝐴)
11 dedekindeu.lss . . . . . 6 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
1211ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐿 ⊆ ℝ)
13 simpr 110 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿)
1412, 13sseldd 3180 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
157ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑈 ⊆ ℝ)
16 simplrl 535 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞𝑈)
1715, 16sseldd 3180 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
188ad2antrr 488 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 breq1 4032 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧𝑞 < 𝑧))
2019rspcev 2864 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝑈𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
2116, 20sylan 283 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧)
2219cbvrexv 2727 . . . . . . . 8 (∃𝑎𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
2321, 22sylib 122 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)
24 eleq1 2256 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟𝑈𝑧𝑈))
25 breq2 4033 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟𝑞 < 𝑧))
2625rexbidv 2495 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
2724, 26bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧)))
286ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
2914adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
3027, 28, 29rspcdva 2869 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑧))
3123, 30mpbird 167 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝑈)
32 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
3313adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧𝐿)
34 dedekindeu.disj . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
35 disj 3495 . . . . . . . . 9 ((𝐿𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
3634, 35sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ¬ 𝑧𝑈)
3736r19.21bi 2582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐿) → ¬ 𝑧𝑈)
3832, 33, 37syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧𝑈)
3931, 38pm2.65da 662 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
4014, 17, 39nltled 8140 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧𝑞)
41 simplrr 536 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑞 < 𝐴)
4214, 17, 18, 40, 41lelttrd 8144 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧𝐿) → 𝑧 < 𝐴)
4342ralrimiva 2567 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝑈𝑞 < 𝐴)) → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
4410, 43rexlimddv 2616 1 (𝜑 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  wrex 2473  cin 3152  wss 3153  c0 3446   class class class wbr 4029  cr 7871   < clt 8054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltwlin 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060
This theorem is referenced by:  dedekindeulemub  14772  dedekindeulemloc  14773
  Copyright terms: Public domain W3C validator