Theorem dedekindeulemuub 14134

Description: Lemma for dedekindeu 14140. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindeulemuub.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemuub	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindeulemuub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeulemuub.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
3		breq2 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝐴))
4	3	rexbidv 2478	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴))
5	2, 4	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴)))
6		dedekindeu.ur	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
8	7, 1	sseldd 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 6, 8	rspcdva 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴))
10	1, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴)
11		dedekindeu.lss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ ℝ)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ 𝐿)
14	12, 13	sseldd 3158	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
15	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ ℝ)
16		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝑈)
17	15, 16	sseldd 3158	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
18	8	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		breq1 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
20	19	rspcev 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
21	16, 20	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
22	19	cbvrexv 2706	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
23	21, 22	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
24		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑧 ∈ 𝑈))
25		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝑧))
26	25	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
27	24, 26	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)))
28	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
29	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	rspcdva 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
31	23, 30	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑈)
32		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
33	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐿)
34		dedekindeu.disj	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
35		disj 3473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
37	36	r19.21bi 2565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
38	32, 33, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
39	31, 38	pm2.65da 661	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
40	14, 17, 39	nltled 8080	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ≤ 𝑞)
41		simplrr 536	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝐴)
42	14, 17, 18, 40, 41	lelttrd 8084	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 < 𝐴)
43	42	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)
44	10, 43	rexlimddv 2599	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∩ cin 3130   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  ℝcr 7812   < clt 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltwlin 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000

This theorem is referenced by:  dedekindeulemub  14135  dedekindeulemloc  14136