Theorem dedekindeulemuub 15204

Description: Lemma for dedekindeu 15210. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindeulemuub.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemuub	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindeulemuub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeulemuub.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
3		breq2 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝐴))
4	3	rexbidv 2509	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴))
5	2, 4	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴)))
6		dedekindeu.ur	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
8	7, 1	sseldd 3202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 6, 8	rspcdva 2889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴))
10	1, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐴)
11		dedekindeu.lss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ ℝ)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ 𝐿)
14	12, 13	sseldd 3202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
15	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ ℝ)
16		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝑈)
17	15, 16	sseldd 3202	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
18	8	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		breq1 4062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
20	19	rspcev 2884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
21	16, 20	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
22	19	cbvrexv 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
23	21, 22	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
24		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑧 ∈ 𝑈))
25		breq2 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝑧))
26	25	rexbidv 2509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
27	24, 26	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)))
28	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
29	14	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	rspcdva 2889	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
31	23, 30	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑈)
32		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
33	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐿)
34		dedekindeu.disj	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
35		disj 3517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
37	36	r19.21bi 2596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
38	32, 33, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
39	31, 38	pm2.65da 663	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
40	14, 17, 39	nltled 8228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ≤ 𝑞)
41		simplrr 536	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝐴)
42	14, 17, 18, 40, 41	lelttrd 8232	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 < 𝐴)
43	42	ralrimiva 2581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)
44	10, 43	rexlimddv 2630	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468   class class class wbr 4059  ℝcr 7959   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  dedekindeulemub  15205  dedekindeulemloc  15206