ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dju1en Unicode version

Theorem dju1en 7212
Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dju1en  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A 1o )  ~~  suc  A
)

Proof of Theorem dju1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 6764 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  A )
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  A  ~~  A )
3 ensn1g 6797 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
43ensymd 6783 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  ~~ 
{ A } )
54adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  1o  ~~  { A } )
6 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  -.  A  e.  A )
7 disjsn 3655 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
86, 7sylibr 134 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
9 djuenun 7211 . . 3  |-  ( ( A  ~~  A  /\  1o  ~~  { A }  /\  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )  ->  ( A 1o ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
102, 5, 8, 9syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A 1o )  ~~  ( A  u.  { A }
) )
11 df-suc 4372 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1210, 11breqtrrdi 4046 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( A 1o )  ~~  suc  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3128    i^i cin 3129   (/)c0 3423   {csn 3593   class class class wbr 4004   suc csuc 4366   1oc1o 6410    ~~ cen 6738   ⊔ cdju 7036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator