Theorem dju1en 7280

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	|- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6823	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> A ~~ A )
3		ensn1g 6856	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
4	3	ensymd 6842	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o ~~ { A } )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> 1o ~~ { A } )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> -. A e. A )
7		disjsn 3684	. . . 4 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A i^i { A } ) = (/) )
9		djuenun 7279	. . 3 |- ( ( A ~~ A /\ 1o ~~ { A } /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
11		df-suc 4406	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
12	10, 11	breqtrrdi 4075	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   {csn 3622   class class class wbr 4033   suc csuc 4400   1oc1o 6467   ~~ cen 6797   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114

This theorem is referenced by: (None)