Theorem dju1en 7211

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	|- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6763	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> A ~~ A )
3		ensn1g 6796	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
4	3	ensymd 6782	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o ~~ { A } )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> 1o ~~ { A } )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> -. A e. A )
7		disjsn 3654	. . . 4 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A i^i { A } ) = (/) )
9		djuenun 7210	. . 3 |- ( ( A ~~ A /\ 1o ~~ { A } /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
11		df-suc 4371	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
12	10, 11	breqtrrdi 4045	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3127   i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   suc csuc 4365   1oc1o 6409   ~~ cen 6737   ⊔ cdju 7035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046

This theorem is referenced by: (None)