Theorem dju1en 7562

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	|- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7043	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> A ~~ A )
3		ensn1g 7077	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
4	3	ensymd 7063	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o ~~ { A } )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> 1o ~~ { A } )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> -. A e. A )
7		disjsn 3770	. . . 4 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A i^i { A } ) = (/) )
9		djuenun 7561	. . 3 |- ( ( A ~~ A /\ 1o ~~ { A } /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
11		df-suc 4514	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
12	10, 11	breqtrrdi 4170	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3708   class class class wbr 4128   suc csuc 4508   1oc1o 6673   ~~ cen 7013   ⊔ cdju 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-1o 6680  df-er 6800  df-en 7016  df-dju 7371  df-inl 7380  df-inr 7381

This theorem is referenced by: (None)