Theorem dju1en 7296

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	|- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6832	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> A ~~ A )
3		ensn1g 6865	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
4	3	ensymd 6851	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o ~~ { A } )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> 1o ~~ { A } )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> -. A e. A )
7		disjsn 3685	. . . 4 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A i^i { A } ) = (/) )
9		djuenun 7295	. . 3 |- ( ( A ~~ A /\ 1o ~~ { A } /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
11		df-suc 4407	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
12	10, 11	breqtrrdi 4076	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3451   {csn 3623   class class class wbr 4034   suc csuc 4401   1oc1o 6476   ~~ cen 6806   ⊔ cdju 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123

This theorem is referenced by: (None)