Theorem dju1en 7142

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	|- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6706	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ A )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> A ~~ A )
3		ensn1g 6739	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
4	3	ensymd 6725	. . . 4 |- ( A e. V -> 1o ~~ { A } )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> 1o ~~ { A } )
6		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> -. A e. A )
7		disjsn 3621	. . . 4 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
8	6, 7	sylibr 133	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A i^i { A } ) = (/) )
9		djuenun 7141	. . 3 |- ( ( A ~~ A /\ 1o ~~ { A } /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( A u. { A } ) )
11		df-suc 4331	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
12	10, 11	breqtrrdi 4006	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. A ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965   suc csuc 4325   1oc1o 6353   ~~ cen 6680   ⊔ cdju 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-dju 6976  df-inl 6985  df-inr 6986

This theorem is referenced by: (None)