Theorem dju0en 7281

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju0en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4160	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		in0 3485	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3		endjudisj 7277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
4	1, 2, 3	mp3an23 1340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5		un0 3484	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
6	4, 5	breqtrdi 4074	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3450   class class class wbr 4033   ≈ cen 6797   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114

This theorem is referenced by: (None)