Theorem dju0en 7428

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju0en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		in0 3529	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3		endjudisj 7424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
4	1, 2, 3	mp3an23 1365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5		un0 3528	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
6	4, 5	breqtrdi 4129	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494   class class class wbr 4088   ≈ cen 6906   ⊔ cdju 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246

This theorem is referenced by: (None)