Theorem dju0en 7191

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju0en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		in0 3449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3		endjudisj 7187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
4	1, 2, 3	mp3an23 1324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5		un0 3448	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
6	4, 5	breqtrdi 4030	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414   class class class wbr 3989   ≈ cen 6716   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025

This theorem is referenced by: (None)