ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuenun Unicode version

Theorem djuenun 7148
Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
djuenun  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A C )  ~~  ( B  u.  D )
)

Proof of Theorem djuenun
StepHypRef Expression
1 djuen 7147 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A C )  ~~  ( B D )
)
213adant3 1002 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A C )  ~~  ( B D ) )
3 relen 6690 . . . 4  |-  Rel  ~~
43brrelex2i 4631 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
53brrelex2i 4631 . . 3  |-  ( C 
~~  D  ->  D  e.  _V )
6 id 19 . . 3  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =  (/) )
7 endjudisj 7146 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( B D )  ~~  ( B  u.  D )
)
84, 5, 6, 7syl3an 1262 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( B D )  ~~  ( B  u.  D )
)
9 entr 6730 . 2  |-  ( ( ( A C )  ~~  ( B D )  /\  ( B D )  ~~  ( B  u.  D
) )  ->  ( A C )  ~~  ( B  u.  D )
)
102, 8, 9syl2anc 409 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D  /\  ( B  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A C )  ~~  ( B  u.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    u. cun 3100    i^i cin 3101   (/)c0 3394   class class class wbr 3966    ~~ cen 6684   ⊔ cdju 6982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-1o 6364  df-er 6481  df-en 6687  df-dju 6983  df-inl 6992  df-inr 6993
This theorem is referenced by:  dju1en  7149  djucomen  7152  djuassen  7153  xpdjuen  7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator