Theorem djuenun 7394

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 7393	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
2	1	3adant3 1041	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
3		relen 6891	. . . 4 |- Rel ~~
4	3	brrelex2i 4763	. . 3 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
5	3	brrelex2i 4763	. . 3 |- ( C ~~ D -> D e. _V )
6		id 19	. . 3 |- ( ( B i^i D ) = (/) -> ( B i^i D ) = (/) )
7		endjudisj 7392	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1313	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
9		entr 6936	. 2 |- ( ( ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) /\ ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   class class class wbr 4083   ~~ cen 6885   ⊔ cdju 7204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dju 7205  df-inl 7214  df-inr 7215

This theorem is referenced by:  dju1en  7395  djucomen  7398  djuassen  7399  xpdjuen  7400