Theorem djuenun 7355

Description: Disjoint union is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuenun	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Proof of Theorem djuenun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuen 7354	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
2	1	3adant3 1020	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) )
3		relen 6854	. . . 4 |- Rel ~~
4	3	brrelex2i 4737	. . 3 |- ( A ~~ B -> B e. _V )
5	3	brrelex2i 4737	. . 3 |- ( C ~~ D -> D e. _V )
6		id 19	. . 3 |- ( ( B i^i D ) = (/) -> ( B i^i D ) = (/) )
7		endjudisj 7353	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1292	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) )
9		entr 6899	. 2 |- ( ( ( A ⊔ C ) ~~ ( B ⊔ D ) /\ ( B ⊔ D ) ~~ ( B u. D ) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A ⊔ C ) ~~ ( B u. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468   class class class wbr 4059   ~~ cen 6848   ⊔ cdju 7165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176

This theorem is referenced by:  dju1en  7356  djucomen  7359  djuassen  7360  xpdjuen  7361