Theorem dju1en 7273

Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju1en	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem dju1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		ensn1g 6851	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
4	3	ensymd 6837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ≈ {𝐴})
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → 1o ≈ {𝐴})
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
7		disjsn 3680	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9		djuenun 7272	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 1o ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11		df-suc 4402	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
12	10, 11	breqtrrdi 4071	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151   ∩ cin 3152  ∅c0 3446  {csn 3618   class class class wbr 4029  suc csuc 4396  1_oc1o 6462   ≈ cen 6792   ⊔ cdju 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107

This theorem is referenced by: (None)