Theorem djuex 6936

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 6963. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 6931	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
2		p0ex 4120	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { (/) } e. _V )
4	3	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
6		xpexg 4661	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
8		1on 6328	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elexi 2701	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	snex 4117	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> { 1o } e. _V )
12		xpexg 4661	. . . 4 |- ( ( { 1o } e. _V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
13	11, 12	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
14		unexg 4372	. . 3 |- ( ( ( { (/) } X. A ) e. _V /\ ( { 1o } X. B ) e. _V ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrid 2227	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   Oncon0 4293   X. cxp 4545   1oc1o 6314   ⊔ cdju 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-opab 3998  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-1o 6321  df-dju 6931

This theorem is referenced by:  djuexb  6937  updjud  6975  djudom  6986  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  djudoml  7092  djudomr  7093  exmidsbthrlem  13392  sbthom  13396