Theorem djuex 7171

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7198. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 7166	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
2		p0ex 4248	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { (/) } e. _V )
4	3	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
5	4	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
6		xpexg 4807	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
8		1on 6532	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elexi 2789	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	snex 4245	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> { 1o } e. _V )
12		xpexg 4807	. . . 4 |- ( ( { 1o } e. _V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
13	11, 12	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
14		unexg 4508	. . 3 |- ( ( ( { (/) } X. A ) e. _V /\ ( { 1o } X. B ) e. _V ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrid 2294	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   (/)c0 3468   {csn 3643   Oncon0 4428   X. cxp 4691   1oc1o 6518   ⊔ cdju 7165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-opab 4122  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-1o 6525  df-dju 7166

This theorem is referenced by:  djuexb  7172  updjud  7210  djudom  7221  exmidfodomrlemr  7341  exmidfodomrlemrALT  7342  djudoml  7362  djudomr  7363  exmidsbthrlem  16163  sbthom  16167