ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex Unicode version

Theorem djuex 6988
Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7015. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 6983 . 2  |-  ( A B )  =  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B
) )
2 p0ex 4150 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  { (/) }  e.  _V )
43anim1i 338 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
54ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
6 xpexg 4701 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e.  _V )
8 1on 6371 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
98elexi 2724 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
109snex 4147 . . . . 5  |-  { 1o }  e.  _V
1110a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { 1o }  e.  _V )
12 xpexg 4701 . . . 4  |-  ( ( { 1o }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
1311, 12sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
14 unexg 4404 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  A )  e.  _V  /\  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )  ->  ( ( {
(/) }  X.  A
)  u.  ( { 1o }  X.  B
) )  e.  _V )
157, 13, 14syl2anc 409 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B ) )  e. 
_V )
161, 15eqeltrid 2244 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    u. cun 3100   (/)c0 3394   {csn 3560   Oncon0 4324    X. cxp 4585   1oc1o 6357   ⊔ cdju 6982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-opab 4027  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-xp 4593  df-1o 6364  df-dju 6983
This theorem is referenced by:  djuexb  6989  updjud  7027  djudom  7038  exmidfodomrlemr  7138  exmidfodomrlemrALT  7139  djudoml  7155  djudomr  7156  exmidsbthrlem  13635  sbthom  13639
  Copyright terms: Public domain W3C validator