Theorem djuex 7147

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7174. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 7142	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
2		p0ex 4233	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { (/) } e. _V )
4	3	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
5	4	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
6		xpexg 4790	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
8		1on 6511	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elexi 2784	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	snex 4230	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> { 1o } e. _V )
12		xpexg 4790	. . . 4 |- ( ( { 1o } e. _V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
13	11, 12	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
14		unexg 4491	. . 3 |- ( ( ( { (/) } X. A ) e. _V /\ ( { 1o } X. B ) e. _V ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrid 2292	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   (/)c0 3460   {csn 3633   Oncon0 4411   X. cxp 4674   1oc1o 6497   ⊔ cdju 7141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-opab 4107  df-tr 4144  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-xp 4682  df-1o 6504  df-dju 7142

This theorem is referenced by:  djuexb  7148  updjud  7186  djudom  7197  exmidfodomrlemr  7312  exmidfodomrlemrALT  7313  djudoml  7333  djudomr  7334  exmidsbthrlem  15998  sbthom  16002