Theorem djuex 6988

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7015. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 6983	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
2		p0ex 4150	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { (/) } e. _V )
4	3	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
6		xpexg 4701	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
8		1on 6371	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elexi 2724	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	snex 4147	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> { 1o } e. _V )
12		xpexg 4701	. . . 4 |- ( ( { 1o } e. _V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
13	11, 12	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
14		unexg 4404	. . 3 |- ( ( ( { (/) } X. A ) e. _V /\ ( { 1o } X. B ) e. _V ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrid 2244	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   (/)c0 3394   {csn 3560   Oncon0 4324   X. cxp 4585   1oc1o 6357   ⊔ cdju 6982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-opab 4027  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-xp 4593  df-1o 6364  df-dju 6983

This theorem is referenced by:  djuexb  6989  updjud  7027  djudom  7038  exmidfodomrlemr  7138  exmidfodomrlemrALT  7139  djudoml  7155  djudomr  7156  exmidsbthrlem  13635  sbthom  13639