ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex Unicode version

Theorem djuex 7020
Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7047. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 7015 . 2  |-  ( A B )  =  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B
) )
2 p0ex 4174 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  { (/) }  e.  _V )
43anim1i 338 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
54ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
6 xpexg 4725 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e.  _V )
8 1on 6402 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
98elexi 2742 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
109snex 4171 . . . . 5  |-  { 1o }  e.  _V
1110a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { 1o }  e.  _V )
12 xpexg 4725 . . . 4  |-  ( ( { 1o }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
1311, 12sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
14 unexg 4428 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  A )  e.  _V  /\  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )  ->  ( ( {
(/) }  X.  A
)  u.  ( { 1o }  X.  B
) )  e.  _V )
157, 13, 14syl2anc 409 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B ) )  e. 
_V )
161, 15eqeltrid 2257 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3583   Oncon0 4348    X. cxp 4609   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-opab 4051  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-1o 6395  df-dju 7015
This theorem is referenced by:  djuexb  7021  updjud  7059  djudom  7070  exmidfodomrlemr  7179  exmidfodomrlemrALT  7180  djudoml  7196  djudomr  7197  exmidsbthrlem  14054  sbthom  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator