ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex Unicode version

Theorem djuex 6896
Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 6923. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 6891 . 2  |-  ( A B )  =  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B
) )
2 p0ex 4082 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
32a1i 9 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  { (/) }  e.  _V )
43anim1i 338 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
54ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V
) )
6 xpexg 4623 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { (/) }  X.  A )  e.  _V )
8 1on 6288 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
98elexi 2672 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
109snex 4079 . . . . 5  |-  { 1o }  e.  _V
1110a1i 9 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { 1o }  e.  _V )
12 xpexg 4623 . . . 4  |-  ( ( { 1o }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
1311, 12sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )
14 unexg 4334 . . 3  |-  ( ( ( { (/) }  X.  A )  e.  _V  /\  ( { 1o }  X.  B )  e.  _V )  ->  ( ( {
(/) }  X.  A
)  u.  ( { 1o }  X.  B
) )  e.  _V )
157, 13, 14syl2anc 408 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { (/) }  X.  A )  u.  ( { 1o }  X.  B ) )  e. 
_V )
161, 15eqeltrid 2204 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    u. cun 3039   (/)c0 3333   {csn 3497   Oncon0 4255    X. cxp 4507   1oc1o 6274   ⊔ cdju 6890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-opab 3960  df-tr 3997  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-1o 6281  df-dju 6891
This theorem is referenced by:  djuexb  6897  updjud  6935  djudom  6946  exmidfodomrlemr  7026  exmidfodomrlemrALT  7027  djudoml  7043  djudomr  7044  exmidsbthrlem  13144  sbthom  13148
  Copyright terms: Public domain W3C validator