Theorem djuex 7210

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7237. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 7205	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		p0ex 4272	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4	3	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	4	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		xpexg 4833	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8		1on 6569	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elexi 2812	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
10	9	snex 4269	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
12		xpexg 4833	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14		unexg 4534	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrid 2316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  {csn 3666  Oncon0 4454   × cxp 4717  1_oc1o 6555   ⊔ cdju 7204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-opab 4146  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-1o 6562  df-dju 7205

This theorem is referenced by:  djuexb  7211  updjud  7249  djudom  7260  exmidfodomrlemr  7380  exmidfodomrlemrALT  7381  djudoml  7401  djudomr  7402  exmidsbthrlem  16390  sbthom  16394