Theorem djuex 6921

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 6948. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 6916	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		p0ex 4107	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4	3	anim1i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	4	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		xpexg 4648	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8		1on 6313	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elexi 2693	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
10	9	snex 4104	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
12		xpexg 4648	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14		unexg 4359	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrid 2224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∪ cun 3064  ∅c0 3358  {csn 3522  Oncon0 4280   × cxp 4532  1_oc1o 6299   ⊔ cdju 6915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-opab 3985  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-1o 6306  df-dju 6916

This theorem is referenced by:  djuexb  6922  updjud  6960  djudom  6971  exmidfodomrlemr  7051  exmidfodomrlemrALT  7052  djudoml  7068  djudomr  7069  exmidsbthrlem  13206  sbthom  13210