Theorem djuex 7008

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7035. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 7003	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		p0ex 4167	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4	3	anim1i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	4	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		xpexg 4718	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8		1on 6391	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elexi 2738	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
10	9	snex 4164	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
12		xpexg 4718	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14		unexg 4421	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrid 2253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  {csn 3576  Oncon0 4341   × cxp 4602  1_oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-opab 4044  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-1o 6384  df-dju 7003

This theorem is referenced by:  djuexb  7009  updjud  7047  djudom  7058  exmidfodomrlemr  7158  exmidfodomrlemrALT  7159  djudoml  7175  djudomr  7176  exmidsbthrlem  13901  sbthom  13905