ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex GIF version

Theorem djuex 6715
Description: The disjoint union of sets is a set. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 6710 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵))
2 p0ex 4014 . . . . . . 7 {∅} ∈ V
32a1i 9 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → {∅} ∈ V)
43anim1i 333 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
54ancoms 264 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
6 xpexg 4540 . . . 4 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8 1on 6170 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
98elexi 2631 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
109snex 4011 . . . . 5 {1𝑜} ∈ V
1110a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑉 → {1𝑜} ∈ V)
12 xpexg 4540 . . . 4 (({1𝑜} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({1𝑜} × 𝐵) ∈ V)
1311, 12sylan 277 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({1𝑜} × 𝐵) ∈ V)
14 unexg 4259 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1𝑜} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)) ∈ V)
157, 13, 14syl2anc 403 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1𝑜} × 𝐵)) ∈ V)
161, 15syl5eqel 2174 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  c0 3284  {csn 3441  Oncon0 4181   × cxp 4426  1𝑜c1o 6156  cdju 6709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-opab 3892  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-1o 6163  df-dju 6710
This theorem is referenced by:  updjud  6752  djudom  6766  exmidfodomrlemr  6807  exmidfodomrlemrALT  6808  exmidsbthrlem  11569
  Copyright terms: Public domain W3C validator