Theorem djuex 7118

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7145. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 7113	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		p0ex 4222	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4	3	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	4	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		xpexg 4778	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8		1on 6490	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elexi 2775	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
10	9	snex 4219	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
12		xpexg 4778	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14		unexg 4479	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrid 2283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  ∅c0 3451  {csn 3623  Oncon0 4399   × cxp 4662  1_oc1o 6476   ⊔ cdju 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-opab 4096  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-1o 6483  df-dju 7113

This theorem is referenced by:  djuexb  7119  updjud  7157  djudom  7168  exmidfodomrlemr  7281  exmidfodomrlemrALT  7282  djudoml  7302  djudomr  7303  exmidsbthrlem  15753  sbthom  15757