Theorem djuex 6973

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7000. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 6968	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		p0ex 4144	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4	3	anim1i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5	4	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		xpexg 4693	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8		1on 6360	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elexi 2721	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
10	9	snex 4141	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
12		xpexg 4693	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14		unexg 4397	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
16	1, 15	eqeltrid 2241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709   ∪ cun 3096  ∅c0 3390  {csn 3556  Oncon0 4318   × cxp 4577  1_oc1o 6346   ⊔ cdju 6967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-opab 4022  df-tr 4059  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-xp 4585  df-1o 6353  df-dju 6968

This theorem is referenced by:  djuexb  6974  updjud  7012  djudom  7023  exmidfodomrlemr  7116  exmidfodomrlemrALT  7117  djudoml  7133  djudomr  7134  exmidsbthrlem  13542  sbthom  13546