ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex GIF version

Theorem djuex 7041
Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7068. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 7036 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 p0ex 4188 . . . . . . 7 {∅} ∈ V
32a1i 9 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → {∅} ∈ V)
43anim1i 340 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
54ancoms 268 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
6 xpexg 4740 . . . 4 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8 1on 6423 . . . . . . 7 1o ∈ On
98elexi 2749 . . . . . 6 1o ∈ V
109snex 4185 . . . . 5 {1o} ∈ V
1110a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑉 → {1o} ∈ V)
12 xpexg 4740 . . . 4 (({1o} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
1311, 12sylan 283 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14 unexg 4443 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
157, 13, 14syl2anc 411 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
161, 15eqeltrid 2264 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  c0 3422  {csn 3592  Oncon0 4363   × cxp 4624  1oc1o 6409  cdju 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-opab 4065  df-tr 4102  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-xp 4632  df-1o 6416  df-dju 7036
This theorem is referenced by:  djuexb  7042  updjud  7080  djudom  7091  exmidfodomrlemr  7200  exmidfodomrlemrALT  7201  djudoml  7217  djudomr  7218  exmidsbthrlem  14706  sbthom  14710
  Copyright terms: Public domain W3C validator