ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuex GIF version

Theorem djuex 7042
Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 7069. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuex ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex
StepHypRef Expression
1 df-dju 7037 . 2 (𝐴𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2 p0ex 4189 . . . . . . 7 {∅} ∈ V
32a1i 9 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → {∅} ∈ V)
43anim1i 340 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
54ancoms 268 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉))
6 xpexg 4741 . . . 4 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
8 1on 6424 . . . . . . 7 1o ∈ On
98elexi 2750 . . . . . 6 1o ∈ V
109snex 4186 . . . . 5 {1o} ∈ V
1110a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑉 → {1o} ∈ V)
12 xpexg 4741 . . . 4 (({1o} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
1311, 12sylan 283 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
14 unexg 4444 . . 3 ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
157, 13, 14syl2anc 411 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
161, 15eqeltrid 2264 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  Vcvv 2738  cun 3128  c0 3423  {csn 3593  Oncon0 4364   × cxp 4625  1oc1o 6410  cdju 7036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-opab 4066  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-1o 6417  df-dju 7037
This theorem is referenced by:  djuexb  7043  updjud  7081  djudom  7092  exmidfodomrlemr  7201  exmidfodomrlemrALT  7202  djudoml  7218  djudomr  7219  exmidsbthrlem  14773  sbthom  14777
  Copyright terms: Public domain W3C validator