Theorem djuss 7131

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 7130	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) <-> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 7108	. . . . . . . . 9 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4		opeq2 3806	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
5		elex 2771	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
6		0ex 4157	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
7		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
8	6, 7	opex 4259	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
10	3, 4, 5, 9	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
12	2, 11	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
13		elun1 3327	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
14	6	prid1 3725	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
15	13, 14	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
17		opelxp 4690	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
19	12, 18	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
20	19	rexlimiva 2606	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
22		df-inr 7109	. . . . . . . . 9 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
23		opeq2 3806	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
24		elex 2771	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
25		1oex 6479	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
26	25, 7	opex 4259	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
28	22, 23, 24, 27	fvmptd3 5652	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
30	21, 29	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
31		elun2 3328	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
33	25	prid2 3726	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
34	32, 33	jctil 312	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
35		opelxp 4690	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
37	30, 36	eqeltrd 2270	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
38	37	rexlimiva 2606	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
39	20, 38	jaoi 717	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
40	1, 39	sylbi 121	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	40	ssriv 3184	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {cpr 3620   <.cop 3622   X. cxp 4658   ` cfv 5255   1oc1o 6464   ⊔ cdju 7098  inlcinl 7106  inrcinr 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109

This theorem is referenced by:  eldju1st  7132