Theorem djuss 7172

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 7171	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) <-> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 7149	. . . . . . . . 9 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4		opeq2 3820	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
5		elex 2783	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
6		0ex 4171	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
7		vex 2775	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
8	6, 7	opex 4273	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
10	3, 4, 5, 9	fvmptd3 5673	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
12	2, 11	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
13		elun1 3340	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
14	6	prid1 3739	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
15	13, 14	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
17		opelxp 4705	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
19	12, 18	eqeltrd 2282	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
20	19	rexlimiva 2618	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
22		df-inr 7150	. . . . . . . . 9 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
23		opeq2 3820	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
24		elex 2783	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
25		1oex 6510	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
26	25, 7	opex 4273	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
28	22, 23, 24, 27	fvmptd3 5673	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
30	21, 29	eqtrd 2238	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
31		elun2 3341	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
33	25	prid2 3740	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
34	32, 33	jctil 312	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
35		opelxp 4705	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
37	30, 36	eqeltrd 2282	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
38	37	rexlimiva 2618	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
39	20, 38	jaoi 718	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
40	1, 39	sylbi 121	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	40	ssriv 3197	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {cpr 3634   <.cop 3636   X. cxp 4673   ` cfv 5271   1oc1o 6495   ⊔ cdju 7139  inlcinl 7147  inrcinr 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-1o 6502  df-dju 7140  df-inl 7149  df-inr 7150

This theorem is referenced by:  eldju1st  7173