ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuss Unicode version

Theorem djuss 7063
Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuss  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )

Proof of Theorem djuss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djur 7062 . . 3  |-  ( x  e.  ( A B )  <-> 
( E. y  e.  A  x  =  (inl
`  y )  \/ 
E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
) ) )
2 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  (inl `  y )
)
3 df-inl 7040 . . . . . . . . 9  |- inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
4 opeq2 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (/) ,  x >.  =  <. (/) ,  y >.
)
5 elex 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  _V )
6 0ex 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
7 vex 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
86, 7opex 4226 . . . . . . . . . 10  |-  <. (/) ,  y
>.  e.  _V
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  _V )
103, 4, 5, 9fvmptd3 5605 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
1110adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
122, 11eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  <. (/) ,  y >.
)
13 elun1 3302 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
146prid1 3697 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
1513, 14jctil 312 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1615adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
17 opelxp 4653 . . . . . . 7  |-  ( <. (/)
,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )  <->  ( (/)  e.  { (/)
,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1816, 17sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B )
) )
1912, 18eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
2019rexlimiva 2589 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  (inr `  y )
)
22 df-inr 7041 . . . . . . . . 9  |- inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. )
23 opeq2 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. 1o ,  x >.  =  <. 1o , 
y >. )
24 elex 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  _V )
25 1oex 6419 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2625, 7opex 4226 . . . . . . . . . 10  |-  <. 1o , 
y >.  e.  _V
2726a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  <. 1o , 
y >.  e.  _V )
2822, 23, 24, 27fvmptd3 5605 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
2928adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3021, 29eqtrd 2210 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  <. 1o ,  y
>. )
31 elun2 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3231adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3325prid2 3698 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3432, 33jctil 312 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
35 opelxp 4653 . . . . . . 7  |-  ( <. 1o ,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) )  <->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B )
) )
3634, 35sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  <. 1o , 
y >.  e.  ( {
(/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
3730, 36eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
3837rexlimiva 2589 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
3920, 38jaoi 716 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  \/  E. y  e.  B  x  =  (inr `  y ) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
401, 39sylbi 121 . 2  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4140ssriv 3159 1  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {cpr 3592   <.cop 3594    X. cxp 4621   ` cfv 5212   1oc1o 6404   ⊔ cdju 7030  inlcinl 7038  inrcinr 7039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041
This theorem is referenced by:  eldju1st  7064
  Copyright terms: Public domain W3C validator