Theorem djuss 7047

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 7046	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) <-> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 7024	. . . . . . . . 9 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4		opeq2 3766	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
5		elex 2741	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
6		0ex 4116	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
7		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
8	6, 7	opex 4214	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
10	3, 4, 5, 9	fvmptd3 5589	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
12	2, 11	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
13		elun1 3294	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
14	6	prid1 3689	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
15	13, 14	jctil 310	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
16	15	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
17		opelxp 4641	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
19	12, 18	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
20	19	rexlimiva 2582	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
22		df-inr 7025	. . . . . . . . 9 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
23		opeq2 3766	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
24		elex 2741	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
25		1oex 6403	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
26	25, 7	opex 4214	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
28	22, 23, 24, 27	fvmptd3 5589	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
29	28	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
30	21, 29	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
31		elun2 3295	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
33	25	prid2 3690	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
34	32, 33	jctil 310	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
35		opelxp 4641	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
36	34, 35	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
37	30, 36	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
38	37	rexlimiva 2582	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
39	20, 38	jaoi 711	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
40	1, 39	sylbi 120	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	40	ssriv 3151	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {cpr 3584   <.cop 3586   X. cxp 4609   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025

This theorem is referenced by:  eldju1st  7048