ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuss Unicode version

Theorem djuss 6923
Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuss  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )

Proof of Theorem djuss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djur 6922 . . 3  |-  ( x  e.  ( A B )  <-> 
( E. y  e.  A  x  =  (inl
`  y )  \/ 
E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
) ) )
2 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  (inl `  y )
)
3 df-inl 6900 . . . . . . . . 9  |- inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
4 opeq2 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (/) ,  x >.  =  <. (/) ,  y >.
)
5 elex 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  _V )
6 0ex 4025 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
7 vex 2663 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
86, 7opex 4121 . . . . . . . . . 10  |-  <. (/) ,  y
>.  e.  _V
98a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  _V )
103, 4, 5, 9fvmptd3 5482 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
122, 11eqtrd 2150 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  <. (/) ,  y >.
)
13 elun1 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
146prid1 3599 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
1513, 14jctil 310 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1615adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
17 opelxp 4539 . . . . . . 7  |-  ( <. (/)
,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )  <->  ( (/)  e.  { (/)
,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1816, 17sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B )
) )
1912, 18eqeltrd 2194 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
2019rexlimiva 2521 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
21 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  (inr `  y )
)
22 df-inr 6901 . . . . . . . . 9  |- inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. )
23 opeq2 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. 1o ,  x >.  =  <. 1o , 
y >. )
24 elex 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  _V )
25 1oex 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2625, 7opex 4121 . . . . . . . . . 10  |-  <. 1o , 
y >.  e.  _V
2726a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  <. 1o , 
y >.  e.  _V )
2822, 23, 24, 27fvmptd3 5482 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
2928adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3021, 29eqtrd 2150 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  <. 1o ,  y
>. )
31 elun2 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3231adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3325prid2 3600 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3432, 33jctil 310 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
35 opelxp 4539 . . . . . . 7  |-  ( <. 1o ,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) )  <->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B )
) )
3634, 35sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  <. 1o , 
y >.  e.  ( {
(/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
3730, 36eqeltrd 2194 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
3837rexlimiva 2521 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
3920, 38jaoi 690 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  \/  E. y  e.  B  x  =  (inr `  y ) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
401, 39sylbi 120 . 2  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4140ssriv 3071 1  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    u. cun 3039    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {cpr 3498   <.cop 3500    X. cxp 4507   ` cfv 5093   1oc1o 6274   ⊔ cdju 6890  inlcinl 6898  inrcinr 6899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-1o 6281  df-dju 6891  df-inl 6900  df-inr 6901
This theorem is referenced by:  eldju1st  6924
  Copyright terms: Public domain W3C validator