Theorem djuss 6740

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 6736	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 6718	. . . . . . . . . 10 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. ) )
5		opeq2 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
6	5	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x = y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
7		elex 2630	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
8		0ex 3958	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
9		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
10	8, 9	opex 4047	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
11	10	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
12	4, 6, 7, 11	fvmptd 5369	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
13	12	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
14	2, 13	eqtrd 2120	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
15		elun1 3165	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
16	8	prid1 3543	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
17	15, 16	jctil 305	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	17	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
19		opelxp 4457	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
20	18, 19	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21	14, 20	eqeltrd 2164	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
22	21	rexlimiva 2484	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
23		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
24		df-inr 6719	. . . . . . . . . 10 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. ) )
26		opeq2 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
27	26	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ x = y ) -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
28		elex 2630	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
29		1oex 6171	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
30	29, 9	opex 4047	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
32	25, 27, 28, 31	fvmptd 5369	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
33	32	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
34	23, 33	eqtrd 2120	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
35		elun2 3166	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
36	35	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
37	29	prid2 3544	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
38	36, 37	jctil 305	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
39		opelxp 4457	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
40	38, 39	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	34, 40	eqeltrd 2164	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
42	41	rexlimiva 2484	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
43	22, 42	jaoi 671	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
44	1, 43	syl 14	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
45	44	ssriv 3027	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   u. cun 2995   C_ wss 2997   (/)c0 3284   {cpr 3442   <.cop 3444   |-> cmpt 3891   X. cxp 4426   ` cfv 5002   1oc1o 6156   ⊔ cdju 6709  inlcinl 6716  inrcinr 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fo 5008  df-fv 5010  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-1o 6163  df-dju 6710  df-inl 6718  df-inr 6719

This theorem is referenced by:  eldju1st  6741