Theorem djuss 6668

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 6664	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 6646	. . . . . . . . . 10 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. ) )
5		opeq2 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
6	5	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ x = y ) -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
7		elex 2621	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
8		0ex 3931	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
9		vex 2615	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
10	8, 9	opex 4020	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
11	10	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
12	4, 6, 7, 11	fvmptd 5330	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
13	12	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
14	2, 13	eqtrd 2115	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
15		elun1 3151	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
16	8	prid1 3522	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
17	15, 16	jctil 305	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	17	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
19		opelxp 4430	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
20	18, 19	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21	14, 20	eqeltrd 2159	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
22	21	rexlimiva 2478	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
23		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
24		df-inr 6647	. . . . . . . . . 10 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
25	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. ) )
26		opeq2 3597	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
27	26	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ x = y ) -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
28		elex 2621	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
29		1oex 6121	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
30	29, 9	opex 4020	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
32	25, 27, 28, 31	fvmptd 5330	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
33	32	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
34	23, 33	eqtrd 2115	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
35		elun2 3152	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
36	35	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
37	29	prid2 3523	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
38	36, 37	jctil 305	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
39		opelxp 4430	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
40	38, 39	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	34, 40	eqeltrd 2159	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
42	41	rexlimiva 2478	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
43	22, 42	jaoi 669	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
44	1, 43	syl 14	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
45	44	ssriv 3014	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2354   _Vcvv 2612   u. cun 2982   C_ wss 2984   (/)c0 3269   {cpr 3423   <.cop 3425   |-> cmpt 3865   X. cxp 4399   ` cfv 4969   1oc1o 6106   ⊔ cdju 6637  inlcinl 6644  inrcinr 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fo 4975  df-fv 4977  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-1o 6113  df-dju 6638  df-inl 6646  df-inr 6647

This theorem is referenced by:  eldju1st  6669