Theorem djuss 7410

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 7409	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) <-> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 7387	. . . . . . . . 9 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4		opeq2 3905	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
5		elex 2833	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
6		0ex 4260	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
7		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
8	6, 7	opex 4369	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
10	3, 4, 5, 9	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
12	2, 11	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
13		elun1 3396	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
14	6	prid1 3817	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
15	13, 14	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
17		opelxp 4804	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
19	12, 18	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
20	19	rexlimiva 2663	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
22		df-inr 7388	. . . . . . . . 9 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
23		opeq2 3905	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
24		elex 2833	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
25		1oex 6695	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
26	25, 7	opex 4369	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
28	22, 23, 24, 27	fvmptd3 5799	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
30	21, 29	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
31		elun2 3397	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
33	25	prid2 3818	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
34	32, 33	jctil 312	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
35		opelxp 4804	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
37	30, 36	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
38	37	rexlimiva 2663	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
39	20, 38	jaoi 728	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
40	1, 39	sylbi 121	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	40	ssriv 3252	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {cpr 3710   <.cop 3712   X. cxp 4772   ` cfv 5377   1oc1o 6680   ⊔ cdju 7377  inlcinl 7385  inrcinr 7386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388

This theorem is used by:  eldju1st  7411