ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuss Unicode version

Theorem djuss 6740
Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuss  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )

Proof of Theorem djuss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djur 6736 . . 3  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y )  \/ 
E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
) ) )
2 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  (inl `  y )
)
3 df-inl 6718 . . . . . . . . . 10  |- inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
43a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  -> inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
)
5 opeq2 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  <. (/) ,  x >.  =  <. (/) ,  y >.
)
65adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  y )  -> 
<. (/) ,  x >.  = 
<. (/) ,  y >.
)
7 elex 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  _V )
8 0ex 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
9 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
108, 9opex 4047 . . . . . . . . . 10  |-  <. (/) ,  y
>.  e.  _V
1110a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  _V )
124, 6, 7, 11fvmptd 5369 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
1312adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
142, 13eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  <. (/) ,  y >.
)
15 elun1 3165 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
168prid1 3543 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
1715, 16jctil 305 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
19 opelxp 4457 . . . . . . 7  |-  ( <. (/)
,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )  <->  ( (/)  e.  { (/)
,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
2018, 19sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B )
) )
2114, 20eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
2221rexlimiva 2484 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
23 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  (inr `  y )
)
24 df-inr 6719 . . . . . . . . . 10  |- inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. )
2524a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  -> inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. ) )
26 opeq2 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  <. 1o ,  x >.  =  <. 1o , 
y >. )
2726adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  y )  -> 
<. 1o ,  x >.  = 
<. 1o ,  y >.
)
28 elex 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  _V )
29 1oex 6171 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
3029, 9opex 4047 . . . . . . . . . 10  |-  <. 1o , 
y >.  e.  _V
3130a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  <. 1o , 
y >.  e.  _V )
3225, 27, 28, 31fvmptd 5369 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3332adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3423, 33eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  <. 1o ,  y
>. )
35 elun2 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3635adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3729prid2 3544 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3836, 37jctil 305 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
39 opelxp 4457 . . . . . . 7  |-  ( <. 1o ,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) )  <->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B )
) )
4038, 39sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  <. 1o , 
y >.  e.  ( {
(/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4134, 40eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
4241rexlimiva 2484 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4322, 42jaoi 671 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  \/  E. y  e.  B  x  =  (inr `  y ) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
441, 43syl 14 . 2  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4544ssriv 3027 1  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    u. cun 2995    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {cpr 3442   <.cop 3444    |-> cmpt 3891    X. cxp 4426   ` cfv 5002   1oc1o 6156   ⊔ cdju 6709  inlcinl 6716  inrcinr 6717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fo 5008  df-fv 5010  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-1o 6163  df-dju 6710  df-inl 6718  df-inr 6719
This theorem is referenced by:  eldju1st  6741
  Copyright terms: Public domain W3C validator