Theorem djuss 7071

Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuss	|- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Proof of Theorem djuss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djur 7070	. . 3 |- ( x e. ( A ⊔ B ) <-> ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = (inl ` y ) )
3		df-inl 7048	. . . . . . . . 9 |- inl = ( x e. _V |-> <. (/) , x >. )
4		opeq2 3781	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. (/) , x >. = <. (/) , y >. )
5		elex 2750	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. _V )
6		0ex 4132	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
7		vex 2742	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
8	6, 7	opex 4231	. . . . . . . . . 10 |- <. (/) , y >. e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> <. (/) , y >. e. _V )
10	3, 4, 5, 9	fvmptd3 5611	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> (inl ` y ) = <. (/) , y >. )
12	2, 11	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x = <. (/) , y >. )
13		elun1 3304	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> y e. ( A u. B ) )
14	6	prid1 3700	. . . . . . . . 9 |- (/) e. { (/) , 1o }
15	13, 14	jctil 312	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
17		opelxp 4658	. . . . . . 7 |- ( <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( (/) e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> <. (/) , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
19	12, 18	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( y e. A /\ x = (inl ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
20	19	rexlimiva 2589	. . . 4 |- ( E. y e. A x = (inl ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = (inr ` y ) )
22		df-inr 7049	. . . . . . . . 9 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
23		opeq2 3781	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. 1o , x >. = <. 1o , y >. )
24		elex 2750	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. _V )
25		1oex 6427	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
26	25, 7	opex 4231	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> <. 1o , y >. e. _V )
28	22, 23, 24, 27	fvmptd3 5611	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> (inr ` y ) = <. 1o , y >. )
30	21, 29	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x = <. 1o , y >. )
31		elun2 3305	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> y e. ( A u. B ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> y e. ( A u. B ) )
33	25	prid2 3701	. . . . . . . 8 |- 1o e. { (/) , 1o }
34	32, 33	jctil 312	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
35		opelxp 4658	. . . . . . 7 |- ( <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) <-> ( 1o e. { (/) , 1o } /\ y e. ( A u. B ) ) )
36	34, 35	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> <. 1o , y >. e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
37	30, 36	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
38	37	rexlimiva 2589	. . . 4 |- ( E. y e. B x = (inr ` y ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
39	20, 38	jaoi 716	. . 3 |- ( ( E. y e. A x = (inl ` y ) \/ E. y e. B x = (inr ` y ) ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
40	1, 39	sylbi 121	. 2 |- ( x e. ( A ⊔ B ) -> x e. ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) ) )
41	40	ssriv 3161	1 |- ( A ⊔ B ) C_ ( { (/) , 1o } X. ( A u. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   u. cun 3129   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {cpr 3595   <.cop 3597   X. cxp 4626   ` cfv 5218   1oc1o 6412   ⊔ cdju 7038  inlcinl 7046  inrcinr 7047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049

This theorem is referenced by:  eldju1st  7072