ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djuss Unicode version

Theorem djuss 6668
Description: A disjoint union is a subset of a Cartesian product. (Contributed by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
djuss  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )

Proof of Theorem djuss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djur 6664 . . 3  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y )  \/ 
E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
) ) )
2 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  (inl `  y )
)
3 df-inl 6646 . . . . . . . . . 10  |- inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
43a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  -> inl  =  ( x  e.  _V  |->  <. (/)
,  x >. )
)
5 opeq2 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  <. (/) ,  x >.  =  <. (/) ,  y >.
)
65adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  y )  -> 
<. (/) ,  x >.  = 
<. (/) ,  y >.
)
7 elex 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  _V )
8 0ex 3931 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
9 vex 2615 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
108, 9opex 4020 . . . . . . . . . 10  |-  <. (/) ,  y
>.  e.  _V
1110a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  _V )
124, 6, 7, 11fvmptd 5330 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
1312adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  (inl `  y )  =  <. (/)
,  y >. )
142, 13eqtrd 2115 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  =  <. (/) ,  y >.
)
15 elun1 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
168prid1 3522 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
1715, 16jctil 305 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
19 opelxp 4430 . . . . . . 7  |-  ( <. (/)
,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )  <->  ( (/)  e.  { (/)
,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
2018, 19sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  <. (/) ,  y
>.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B )
) )
2114, 20eqeltrd 2159 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  (inl `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
2221rexlimiva 2478 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
23 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  (inr `  y )
)
24 df-inr 6647 . . . . . . . . . 10  |- inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. )
2524a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  -> inr  =  ( x  e.  _V  |->  <. 1o ,  x >. ) )
26 opeq2 3597 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  <. 1o ,  x >.  =  <. 1o , 
y >. )
2726adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  y )  -> 
<. 1o ,  x >.  = 
<. 1o ,  y >.
)
28 elex 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  _V )
29 1oex 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
3029, 9opex 4020 . . . . . . . . . 10  |-  <. 1o , 
y >.  e.  _V
3130a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  <. 1o , 
y >.  e.  _V )
3225, 27, 28, 31fvmptd 5330 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3332adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  (inr `  y )  =  <. 1o ,  y >. )
3423, 33eqtrd 2115 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  =  <. 1o ,  y
>. )
35 elun2 3152 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3635adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  y  e.  ( A  u.  B
) )
3729prid2 3523 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
3836, 37jctil 305 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
39 opelxp 4430 . . . . . . 7  |-  ( <. 1o ,  y >.  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) )  <->  ( 1o  e.  { (/) ,  1o }  /\  y  e.  ( A  u.  B )
) )
4038, 39sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  <. 1o , 
y >.  e.  ( {
(/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4134, 40eqeltrd 2159 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  (inr `  y
) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B ) ) )
4241rexlimiva 2478 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  (inr `  y
)  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4322, 42jaoi 669 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  A  x  =  (inl `  y
)  \/  E. y  e.  B  x  =  (inr `  y ) )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
441, 43syl 14 . 2  |-  ( x  e.  ( A B )  ->  x  e.  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) ) )
4544ssriv 3014 1  |-  ( A B )  C_  ( { (/) ,  1o }  X.  ( A  u.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   _Vcvv 2612    u. cun 2982    C_ wss 2984   (/)c0 3269   {cpr 3423   <.cop 3425    |-> cmpt 3865    X. cxp 4399   ` cfv 4969   1oc1o 6106   ⊔ cdju 6637  inlcinl 6644  inrcinr 6645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fo 4975  df-fv 4977  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-1o 6113  df-dju 6638  df-inl 6646  df-inr 6647
This theorem is referenced by:  eldju1st  6669
  Copyright terms: Public domain W3C validator