Theorem sbthom 17277

Description: Schroeder-Bernstein is not possible even for om. We know by exmidsbth 17275 that full Schroeder-Bernstein will not be provable but what about the case where one of the sets is om? That case plus the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle, so we will not be able to prove it. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sbthom	|- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Proof of Theorem sbthom

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4327	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
2	1	ssex 4272	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> y e. _V )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> y e. _V )
4		omex 4742	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
5		djuex 7389	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
7		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) )
8		ssdomg 7069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } ) )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } )
10		domrefg 7057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( om e. _V -> om ~<_ om )
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- om ~<_ om
12		djudom 7439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y ~<_ { (/) } /\ om ~<_ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
13	11, 12	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
14		df1o2 6705	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o = { (/) }
15		djueq1 7386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o = { (/) } -> ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om )
17	13, 16	breqtrrdi 4173	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) )
18		1onn 6797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
19		endjusym 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( om e. _V /\ 1o e. om ) -> ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om ) )
20	4, 18, 19	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om )
21		omp1eom 7441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
22	20, 21	entr3i 7079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) ~~ om
23		domentr 7082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) /\ ( 1o ⊔ om ) ~~ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
24	22, 23	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
25	9, 17, 24	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
27		djudomr 7582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
28	3, 4, 27	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
29	26, 28	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
30		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~<_ om <-> ( y ⊔ om ) ~<_ om ) )
31		breq2 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
32	30, 31	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) <-> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) ) )
33		breq1 4134	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~~ om <-> ( y ⊔ om ) ~~ om ) )
34	32, 33	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) <-> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
35	34	spcgv 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( y ⊔ om ) e. _V -> ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) -> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
36	6, 7, 29, 35	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om )
37	36	ensymd 7074	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~~ ( y ⊔ om ) )
38		bren 7034	. . . . . 6 |- ( om ~~ ( y ⊔ om ) <-> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
40		simpllr 540	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> om e. Omni )
41		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> y C_ { (/) } )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
43	40, 41, 42	sbthomlem 17276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
44	39, 43	exlimddv 1954	. . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
45	44	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
46	45	alrimiv 1927	. 2 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
47		exmid01 4337	. 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
48	46, 47	sylibr 134	1 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131  EXMIDwem 4333   omcom 4739   -1-1-onto->wf1o 5379   1oc1o 6684   ~~ cen 7024   ~<_ cdom 7025   ⊔ cdju 7383  Omnicomni 7480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-exmid 4334  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-dju 7384  df-inl 7393  df-inr 7394  df-case 7430  df-omni 7481

This theorem is used by: (None)