Theorem sbthom 15965

Description: Schroeder-Bernstein is not possible even for om. We know by exmidsbth 15963 that full Schroeder-Bernstein will not be provable but what about the case where one of the sets is om? That case plus the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle, so we will not be able to prove it. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sbthom	|- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Proof of Theorem sbthom

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4232	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
2	1	ssex 4181	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> y e. _V )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> y e. _V )
4		omex 4641	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
5		djuex 7145	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
7		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) )
8		ssdomg 6870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } ) )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } )
10		domrefg 6858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( om e. _V -> om ~<_ om )
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- om ~<_ om
12		djudom 7195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y ~<_ { (/) } /\ om ~<_ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
14		df1o2 6515	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o = { (/) }
15		djueq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o = { (/) } -> ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om )
17	13, 16	breqtrrdi 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) )
18		1onn 6606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
19		endjusym 7198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( om e. _V /\ 1o e. om ) -> ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om ) )
20	4, 18, 19	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om )
21		omp1eom 7197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
22	20, 21	entr3i 6880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) ~~ om
23		domentr 6883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) /\ ( 1o ⊔ om ) ~~ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
24	22, 23	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
25	9, 17, 24	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
27		djudomr 7332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
28	3, 4, 27	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
29	26, 28	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
30		breq1 4047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~<_ om <-> ( y ⊔ om ) ~<_ om ) )
31		breq2 4048	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
32	30, 31	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) <-> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) ) )
33		breq1 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~~ om <-> ( y ⊔ om ) ~~ om ) )
34	32, 33	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) <-> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
35	34	spcgv 2860	. . . . . . . 8 |- ( ( y ⊔ om ) e. _V -> ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) -> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
36	6, 7, 29, 35	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om )
37	36	ensymd 6875	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~~ ( y ⊔ om ) )
38		bren 6835	. . . . . 6 |- ( om ~~ ( y ⊔ om ) <-> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
40		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> om e. Omni )
41		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> y C_ { (/) } )
42		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
43	40, 41, 42	sbthomlem 15964	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
44	39, 43	exlimddv 1922	. . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
45	44	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
46	45	alrimiv 1897	. 2 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
47		exmid01 4242	. 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
48	46, 47	sylibr 134	1 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044  EXMIDwem 4238   omcom 4638   -1-1-onto->wf1o 5270   1oc1o 6495   ~~ cen 6825   ~<_ cdom 6826   ⊔ cdju 7139  Omnicomni 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-exmid 4239  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-1o 6502  df-2o 6503  df-er 6620  df-map 6737  df-en 6828  df-dom 6829  df-dju 7140  df-inl 7149  df-inr 7150  df-case 7186  df-omni 7237

This theorem is referenced by: (None)