Theorem sbthom 13739

Description: Schroeder-Bernstein is not possible even for om. We know by exmidsbth 13737 that full Schroeder-Bernstein will not be provable but what about the case where one of the sets is om? That case plus the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle, so we will not be able to prove it. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 10-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sbthom	|- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Proof of Theorem sbthom

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4161	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
2	1	ssex 4113	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> y e. _V )
3	2	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> y e. _V )
4		omex 4564	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
5		djuex 6999	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) e. _V )
7		simpll 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) )
8		ssdomg 6735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } ) )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ { (/) } -> y ~<_ { (/) } )
10		domrefg 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( om e. _V -> om ~<_ om )
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- om ~<_ om
12		djudom 7049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y ~<_ { (/) } /\ om ~<_ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
13	11, 12	mpan2 422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( { (/) } ⊔ om ) )
14		df1o2 6388	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o = { (/) }
15		djueq1 6996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o = { (/) } -> ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) = ( { (/) } ⊔ om )
17	13, 16	breqtrrdi 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ~<_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) )
18		1onn 6479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
19		endjusym 7052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( om e. _V /\ 1o e. om ) -> ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om ) )
20	4, 18, 19	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ ( 1o ⊔ om )
21		omp1eom 7051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
22	20, 21	entr3i 6745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ⊔ om ) ~~ om
23		domentr 6748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) /\ ( 1o ⊔ om ) ~~ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
24	22, 23	mpan2 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ⊔ om ) ~<_ ( 1o ⊔ om ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
25	9, 17, 24	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { (/) } -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~<_ om )
27		djudomr 7167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ om e. _V ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
28	3, 4, 27	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~<_ ( y ⊔ om ) )
29	26, 28	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
30		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~<_ om <-> ( y ⊔ om ) ~<_ om ) )
31		breq2 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ ( y ⊔ om ) ) )
32	30, 31	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) <-> ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) ) )
33		breq1 3979	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( x ~~ om <-> ( y ⊔ om ) ~~ om ) )
34	32, 33	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ⊔ om ) -> ( ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) <-> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
35	34	spcgv 2808	. . . . . . . 8 |- ( ( y ⊔ om ) e. _V -> ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) -> ( ( ( y ⊔ om ) ~<_ om /\ om ~<_ ( y ⊔ om ) ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om ) ) )
36	6, 7, 29, 35	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y ⊔ om ) ~~ om )
37	36	ensymd 6740	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> om ~~ ( y ⊔ om ) )
38		bren 6704	. . . . . 6 |- ( om ~~ ( y ⊔ om ) <-> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
39	37, 38	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> E. f f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
40		simpllr 524	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> om e. Omni )
41		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> y C_ { (/) } )
42		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) )
43	40, 41, 42	sbthomlem 13738	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) /\ f : om -1-1-onto-> ( y ⊔ om ) ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
44	39, 43	exlimddv 1885	. . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { (/) } ) -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) )
45	44	ex 114	. . 3 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
46	45	alrimiv 1861	. 2 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
47		exmid01 4171	. 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { (/) } -> ( y = (/) \/ y = { (/) } ) ) )
48	46, 47	sylibr 133	1 |- ( ( A. x ( ( x ~<_ om /\ om ~<_ x ) -> x ~~ om ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1340   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   (/)c0 3404   {csn 3570   class class class wbr 3976  EXMIDwem 4167   omcom 4561   -1-1-onto->wf1o 5181   1oc1o 6368   ~~ cen 6695   ~<_ cdom 6696   ⊔ cdju 6993  Omnicomni 7089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-exmid 4168  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-map 6607  df-en 6698  df-dom 6699  df-dju 6994  df-inl 7003  df-inr 7004  df-case 7040  df-omni 7090

This theorem is referenced by: (None)