Theorem djurclr 6984

Description: Right closure of disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2022.) (Revised by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djurclr	⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djurclr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5489	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) = (inr‘𝐶))
2		elex 2723	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
3		1oex 6365	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
4	3	snid 3591	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o}
5		opelxpi 4615	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵))
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵))
7		opeq2 3742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ⟨1o, 𝑥⟩ = ⟨1o, 𝐶⟩)
8		df-inr 6982	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
9	7, 8	fvmptg 5541	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵)) → (inr‘𝐶) = ⟨1o, 𝐶⟩)
10	2, 6, 9	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (inr‘𝐶) = ⟨1o, 𝐶⟩)
11		elun2 3275	. . . . 5 ⊢ (⟨1o, 𝐶⟩ ∈ ({1o} × 𝐵) → ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
12	6, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)))
13		df-dju 6972	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
14	12, 13	eleqtrrdi 2251	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ⟨1o, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
15	10, 14	eqeltrd 2234	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (inr‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
16	1, 15	eqeltrd 2234	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → ((inr ↾ 𝐵)‘𝐶) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∪ cun 3100  ∅c0 3394  {csn 3560  ⟨cop 3563   × cxp 4581   ↾ cres 4585  ‘cfv 5167  1_oc1o 6350   ⊔ cdju 6971  inrcinr 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-res 4595  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-1o 6357  df-dju 6972  df-inr 6982

This theorem is referenced by:  inrresf1  6996