Theorem inrresf1 7123

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is an injective function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf1	|- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )

Proof of Theorem inrresf1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 7118	. 2 |- (inr |` B ) : B -1-1-onto-> ( { 1o } X. B )
2		djurclr 7111	. 2 |- ( x e. B -> ( (inr |` B ) ` x ) e. ( A ⊔ B ) )
3	1, 2	inresflem 7121	1 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )

Syntax hints:   |` cres 4662   -1-1->wf1 5252   1oc1o 6464   ⊔ cdju 7098  inrcinr 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-dju 7099  df-inr 7109

This theorem is referenced by:  updjudhcoinrg  7142  updjud  7143  caserel  7148  djudom  7154  djufun  7165  djuinj  7167  djudomr  7282  exmidsbthrlem  15582