Theorem 1qec 7387

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	|- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7350	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2		1pi 7314	. . . 4 |- 1o e. N.
3		mulcanenqec 7385	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1329	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
5		mulidpi 7317	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
6	5, 5	jca 306	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) )
7		opeq12 3781	. . . 4 |- ( ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) -> <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. )
8		eceq1 6570	. . . 4 |- ( <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2212	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2222	1 |- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   [cec 6533   N.cnpi 7271   .N cmi 7273   ~Q ceq 7278   1Qc1q 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq 7346  df-1nqqs 7350

This theorem is referenced by:  recexnq  7389