Theorem 1qec 7521

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	|- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7484	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2		1pi 7448	. . . 4 |- 1o e. N.
3		mulcanenqec 7519	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1342	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
5		mulidpi 7451	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
6	5, 5	jca 306	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) )
7		opeq12 3827	. . . 4 |- ( ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) -> <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. )
8		eceq1 6668	. . . 4 |- ( <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2241	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2251	1 |- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641  (class class class)co 5957   1oc1o 6508   [cec 6631   N.cnpi 7405   .N cmi 7407   ~Q ceq 7412   1Qc1q 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-ni 7437  df-mi 7439  df-enq 7480  df-1nqqs 7484

This theorem is referenced by:  recexnq  7523