ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1qec Unicode version

Theorem 1qec 7405
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1qec  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )

Proof of Theorem 1qec
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 7368 . 2  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
2 1pi 7332 . . . 4  |-  1o  e.  N.
3 mulcanenqec 7403 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
42, 2, 3mp3an23 1340 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
5 mulidpi 7335 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
65, 5jca 306 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  .N  1o )  =  A  /\  ( A  .N  1o )  =  A )
)
7 opeq12 3795 . . . 4  |-  ( ( ( A  .N  1o )  =  A  /\  ( A  .N  1o )  =  A )  -> 
<. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >. )
8 eceq1 6588 . . . 4  |-  ( <.
( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
96, 7, 83syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
104, 9eqtr3d 2224 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
111, 10eqtrid 2234 1  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610  (class class class)co 5891   1oc1o 6428   [cec 6551   N.cnpi 7289    .N cmi 7291    ~Q ceq 7296   1Qc1q 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq 7364  df-1nqqs 7368
This theorem is referenced by:  recexnq  7407
  Copyright terms: Public domain W3C validator