Theorem 1qec 7329

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	|- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7292	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2		1pi 7256	. . . 4 |- 1o e. N.
3		mulcanenqec 7327	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1319	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
5		mulidpi 7259	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
6	5, 5	jca 304	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) )
7		opeq12 3760	. . . 4 |- ( ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) -> <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. )
8		eceq1 6536	. . . 4 |- ( <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2200	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
11	1, 10	syl5eq 2211	1 |- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   [cec 6499   N.cnpi 7213   .N cmi 7215   ~Q ceq 7220   1Qc1q 7222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq 7288  df-1nqqs 7292

This theorem is referenced by:  recexnq  7331