Theorem 1qec 7339

Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1qec	|- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Proof of Theorem 1qec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7302	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2		1pi 7266	. . . 4 |- 1o e. N.
3		mulcanenqec 7337	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
4	2, 2, 3	mp3an23 1324	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
5		mulidpi 7269	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
6	5, 5	jca 304	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) )
7		opeq12 3765	. . . 4 |- ( ( ( A .N 1o ) = A /\ ( A .N 1o ) = A ) -> <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. )
8		eceq1 6545	. . . 4 |- ( <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. = <. A , A >. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( A e. N. -> [ <. ( A .N 1o ) , ( A .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
10	4, 9	eqtr3d 2205	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. 1o , 1o >. ] ~Q = [ <. A , A >. ] ~Q )
11	1, 10	eqtrid 2215	1 |- ( A e. N. -> 1Q = [ <. A , A >. ] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584  (class class class)co 5851   1oc1o 6386   [cec 6508   N.cnpi 7223   .N cmi 7225   ~Q ceq 7230   1Qc1q 7232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6510  df-ec 6512  df-ni 7255  df-mi 7257  df-enq 7298  df-1nqqs 7302

This theorem is referenced by:  recexnq  7341