ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1qec Unicode version

Theorem 1qec 7189
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1qec  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )

Proof of Theorem 1qec
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 7152 . 2  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
2 1pi 7116 . . . 4  |-  1o  e.  N.
3 mulcanenqec 7187 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
42, 2, 3mp3an23 1307 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
5 mulidpi 7119 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
65, 5jca 304 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  .N  1o )  =  A  /\  ( A  .N  1o )  =  A )
)
7 opeq12 3702 . . . 4  |-  ( ( ( A  .N  1o )  =  A  /\  ( A  .N  1o )  =  A )  -> 
<. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >. )
8 eceq1 6457 . . . 4  |-  ( <.
( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
96, 7, 83syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
104, 9eqtr3d 2172 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
111, 10syl5eq 2182 1  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  =  [ <. A ,  A >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   [cec 6420   N.cnpi 7073    .N cmi 7075    ~Q ceq 7080   1Qc1q 7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq 7148  df-1nqqs 7152
This theorem is referenced by:  recexnq  7191
  Copyright terms: Public domain W3C validator