Theorem eceq1 6472

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3543	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 4889	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 6439	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 6439	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2198	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332  {csn 3532   “ cima 4550  [cec 6435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-ec 6439

This theorem is referenced by:  eceq1d  6473  ecelqsg  6490  snec  6498  qliftfun  6519  qliftfuns  6521  qliftval  6523  ecoptocl  6524  eroveu  6528  th3qlem1  6539  th3qlem2  6540  th3q  6542  dmaddpqlem  7209  nqpi  7210  1qec  7220  nqnq0  7273  nq0nn  7274  mulnnnq0  7282  addpinq1  7296  caucvgsrlemfv  7623  caucvgsr  7634  pitonnlem1  7677  axcaucvg  7732