Theorem eceq1 6515

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3571	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 4928	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 6482	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 6482	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2215	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335  {csn 3560   “ cima 4589  [cec 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-ec 6482

This theorem is referenced by:  eceq1d  6516  ecelqsg  6533  snec  6541  qliftfun  6562  qliftfuns  6564  qliftval  6566  ecoptocl  6567  eroveu  6571  th3qlem1  6582  th3qlem2  6583  th3q  6585  dmaddpqlem  7297  nqpi  7298  1qec  7308  nqnq0  7361  nq0nn  7362  mulnnnq0  7370  addpinq1  7384  caucvgsrlemfv  7711  caucvgsr  7722  pitonnlem1  7765  axcaucvg  7820