Theorem eceq1 6836

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3719	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 5124	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 6803	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 6803	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  {csn 3708   “ cima 4775  [cec 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-ec 6803

This theorem is referenced by:  eceq1d  6837  ecelqsg  6856  snec  6864  qliftfun  6885  qliftfuns  6887  qliftval  6889  ecoptocl  6890  eroveu  6894  th3qlem1  6905  th3qlem2  6906  th3q  6908  dmaddpqlem  7738  nqpi  7739  1qec  7749  nqnq0  7802  nq0nn  7803  mulnnnq0  7811  addpinq1  7825  caucvgsrlemfv  8152  caucvgsr  8163  pitonnlem1  8206  axcaucvg  8261  divsfval  13632  divsfvalg  13633  qusghm  14068  znzrhval  14965