Theorem eceq1 6728

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3677	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 5071	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 6695	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 6695	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  {csn 3666   “ cima 4723  [cec 6691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-ec 6695

This theorem is referenced by:  eceq1d  6729  ecelqsg  6748  snec  6756  qliftfun  6777  qliftfuns  6779  qliftval  6781  ecoptocl  6782  eroveu  6786  th3qlem1  6797  th3qlem2  6798  th3q  6800  dmaddpqlem  7580  nqpi  7581  1qec  7591  nqnq0  7644  nq0nn  7645  mulnnnq0  7653  addpinq1  7667  caucvgsrlemfv  7994  caucvgsr  8005  pitonnlem1  8048  axcaucvg  8103  divsfval  13382  divsfvalg  13383  qusghm  13840  znzrhval  14632