Theorem eceq1 6842

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3720	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	imaeq2d 5126	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ {𝐴}) = (𝐶 “ {𝐵}))
3		df-ec 6809	. 2 ⊢ [𝐴]𝐶 = (𝐶 “ {𝐴})
4		df-ec 6809	. 2 ⊢ [𝐵]𝐶 = (𝐶 “ {𝐵})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {csn 3709   “ cima 4777  [cec 6805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-ec 6809

This theorem is used by:  eceq1d  6843  ecelqsg  6862  snec  6870  qliftfun  6891  qliftfuns  6893  qliftval  6895  ecoptocl  6896  eroveu  6900  th3qlem1  6911  th3qlem2  6912  th3q  6914  dmaddpqlem  7745  nqpi  7746  1qec  7756  nqnq0  7809  nq0nn  7810  mulnnnq0  7818  addpinq1  7832  caucvgsrlemfv  8159  caucvgsr  8170  pitonnlem1  8213  axcaucvg  8268  divsfval  13700  divsfvalg  13701  qusghm  14136  znzrhval  15033