ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpinq1 Unicode version

Theorem addpinq1 7295
Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
addpinq1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 7182 . . . . 5  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
21oveq2i 5792 . . . 4  |-  ( [
<. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
3 1pi 7146 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
4 addpipqqs 7201 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
53, 3, 4mpanr12 436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
63, 5mpan2 422 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
72, 6syl5eq 2185 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
8 mulidpi 7149 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
93, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1o 
.N  1o )  =  1o
109oveq2i 5792 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( ( A  .N  1o )  +N  1o )
1110, 9opeq12i 3717 . . . 4  |-  <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.
12 eceq1 6471 . . . 4  |-  ( <.
( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q
147, 13eqtrdi 2189 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
15 mulidpi 7149 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
1615oveq1d 5796 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  .N  1o )  +N  1o )  =  ( A  +N  1o ) )
1716opeq1d 3718 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  =  <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. )
1817eceq1d 6472 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1914, 18eqtr2d 2174 1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   <.cop 3534  (class class class)co 5781   1oc1o 6313   [cec 6434   N.cnpi 7103    +N cpli 7104    .N cmi 7105    ~Q ceq 7110   1Qc1q 7112    +Q cplq 7113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-plpq 7175  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-1nqqs 7182
This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7678
  Copyright terms: Public domain W3C validator