Theorem addpinq1 7405

Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addpinq1	|- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7292	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2	1	oveq2i 5853	. . . 4 |- ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
3		1pi 7256	. . . . 5 |- 1o e. N.
4		addpipqqs 7311	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
5	3, 3, 4	mpanr12 436	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
6	3, 5	mpan2 422	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
7	2, 6	syl5eq 2211	. . 3 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
8		mulidpi 7259	. . . . . . 7 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
10	9	oveq2i 5853	. . . . 5 |- ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( ( A .N 1o ) +N 1o )
11	10, 9	opeq12i 3763	. . . 4 |- <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >.
12		eceq1 6536	. . . 4 |- ( <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q
14	7, 13	eqtrdi 2215	. 2 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
15		mulidpi 7259	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
16	15	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) +N 1o ) = ( A +N 1o ) )
17	16	opeq1d 3764	. . 3 |- ( A e. N. -> <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. = <. ( A +N 1o ) , 1o >. )
18	17	eceq1d 6537	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
19	14, 18	eqtr2d 2199	1 |- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   [cec 6499   N.cnpi 7213   +N cpli 7214   .N cmi 7215   ~Q ceq 7220   1Qc1q 7222   +Q cplq 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-plpq 7285  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-1nqqs 7292

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7788