ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addpinq1 Unicode version

Theorem addpinq1 7460
Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
addpinq1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1
StepHypRef Expression
1 df-1nqqs 7347 . . . . 5  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
21oveq2i 5883 . . . 4  |-  ( [
<. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
3 1pi 7311 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
4 addpipqqs 7366 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
53, 3, 4mpanr12 439 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
63, 5mpan2 425 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >. ]  ~Q  )
72, 6eqtrid 2222 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
8 mulidpi 7314 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
93, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1o 
.N  1o )  =  1o
109oveq2i 5883 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( ( A  .N  1o )  +N  1o )
1110, 9opeq12i 3783 . . . 4  |-  <. (
( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.
12 eceq1 6567 . . . 4  |-  ( <.
( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o ) >.  =  <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q
147, 13eqtrdi 2226 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q )  =  [ <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
15 mulidpi 7314 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
1615oveq1d 5887 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  .N  1o )  +N  1o )  =  ( A  +N  1o ) )
1716opeq1d 3784 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. (
( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >.  =  <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. )
1817eceq1d 6568 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( ( A  .N  1o )  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
1914, 18eqtr2d 2211 1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. ( A  +N  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  =  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  +Q  1Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3595  (class class class)co 5872   1oc1o 6407   [cec 6530   N.cnpi 7268    +N cpli 7269    .N cmi 7270    ~Q ceq 7275   1Qc1q 7277    +Q cplq 7278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-1o 6414  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-pli 7301  df-mi 7302  df-plpq 7340  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-plqqs 7345  df-1nqqs 7347
This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7843
  Copyright terms: Public domain W3C validator