Theorem addpinq1 7576

Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addpinq1	|- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7463	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2	1	oveq2i 5954	. . . 4 |- ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
3		1pi 7427	. . . . 5 |- 1o e. N.
4		addpipqqs 7482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
5	3, 3, 4	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
6	3, 5	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
7	2, 6	eqtrid 2249	. . 3 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
8		mulidpi 7430	. . . . . . 7 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
10	9	oveq2i 5954	. . . . 5 |- ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( ( A .N 1o ) +N 1o )
11	10, 9	opeq12i 3823	. . . 4 |- <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >.
12		eceq1 6654	. . . 4 |- ( <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q
14	7, 13	eqtrdi 2253	. 2 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
15		mulidpi 7430	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
16	15	oveq1d 5958	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) +N 1o ) = ( A +N 1o ) )
17	16	opeq1d 3824	. . 3 |- ( A e. N. -> <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. = <. ( A +N 1o ) , 1o >. )
18	17	eceq1d 6655	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
19	14, 18	eqtr2d 2238	1 |- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   <.cop 3635  (class class class)co 5943   1oc1o 6494   [cec 6617   N.cnpi 7384   +N cpli 7385   .N cmi 7386   ~Q ceq 7391   1Qc1q 7393   +Q cplq 7394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-plpq 7456  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-1nqqs 7463

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7959