Theorem addpinq1 7577

Description: Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addpinq1	|- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Proof of Theorem addpinq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1nqqs 7464	. . . . 5 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
2	1	oveq2i 5955	. . . 4 |- ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
3		1pi 7428	. . . . 5 |- 1o e. N.
4		addpipqqs 7483	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
5	3, 3, 4	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
6	3, 5	mpan2 425	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
7	2, 6	eqtrid 2250	. . 3 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
8		mulidpi 7431	. . . . . . 7 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
10	9	oveq2i 5955	. . . . 5 |- ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( ( A .N 1o ) +N 1o )
11	10, 9	opeq12i 3824	. . . 4 |- <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >.
12		eceq1 6655	. . . 4 |- ( <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. = <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( ( A .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q
14	7, 13	eqtrdi 2254	. 2 |- ( A e. N. -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
15		mulidpi 7431	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
16	15	oveq1d 5959	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( ( A .N 1o ) +N 1o ) = ( A +N 1o ) )
17	16	opeq1d 3825	. . 3 |- ( A e. N. -> <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. = <. ( A +N 1o ) , 1o >. )
18	17	eceq1d 6656	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. ( ( A .N 1o ) +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q )
19	14, 18	eqtr2d 2239	1 |- ( A e. N. -> [ <. ( A +N 1o ) , 1o >. ] ~Q = ( [ <. A , 1o >. ] ~Q +Q 1Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   [cec 6618   N.cnpi 7385   +N cpli 7386   .N cmi 7387   ~Q ceq 7392   1Qc1q 7394   +Q cplq 7395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-plpq 7457  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-1nqqs 7464

This theorem is referenced by:  pitonnlem2  7960