Theorem tfrcllembxssdm 6351

Description: Lemma for tfrcl 6359. The union of B is defined on all elements of X. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllembxssdm	|- ( ph -> D C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, g, h, z   w, B, g, z   D, h, z   h, G, z   w, G, y   S, h, z   z, X

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w)   B( x, y, f)   D( w)   S( w, g)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcllembacc.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
2		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( g ` w ) = ( g ` y ) )
3		reseq2 4898	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( g |` w ) = ( g |` y ) )
4	3	fveq2d 5515	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( G ` ( g |` w ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
6	5	cbvralv 2703	. . . . . . 7 |- ( A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
7	6	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) <-> ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
8	7	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) <-> E. g ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
9	8	ralbii 2483	. . . 4 |- ( A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) <-> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
10	1, 9	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
11		simp1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> ph )
12		simp2 998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> z e. D )
13		tfrcllembacc.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. X )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> D e. X )
15		tfrcl.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord X )
16		ordtr1 4385	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
18	17	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. D /\ D e. X ) ) -> z e. X )
19	11, 12, 14, 18	syl12anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> z e. X )
20		simp3l 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> g : z --> S )
21		feq2 5345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
22	21	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
23	22	albidv 1824	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
24		tfrcl.ex	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
25	24	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
26	25	alrimiv 1874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
27	26	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
30	23, 28, 29	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
31		feq1 5344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
32		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
33	32	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
34	31, 33	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
35	34	spv 1860	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
36	30, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
37	36	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
38	11, 19, 20, 37	syl21anc 1237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
39		vex 2740	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
40		opexg 4225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
41	39, 38, 40	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
42		snidg 3620	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
43		elun2 3303	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
44	41, 42, 43	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
45		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
46		rspe 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. X /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> E. z e. X ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
47	19, 20, 45, 46	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> E. z e. X ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
48		feq2 5345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( g : z --> S <-> g : x --> S ) )
49		raleq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
50	48, 49	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
51	50	cbvrexv 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. X ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
52	47, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
53		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- g e. _V
54		feq1 5344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
55		fveq1 5510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
56		reseq1 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
57	56	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
58	55, 57	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
59	58	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
60	54, 59	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
61	60	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
62		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
63	53, 61, 62	elab2 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
64	52, 63	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> g e. A )
65	12, 20, 64	3jca 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> ( z e. D /\ g : z --> S /\ g e. A ) )
66		snexg 4181	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
67		unexg 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
68	53, 67	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
69	41, 66, 68	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
70		isset 2743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
71	69, 70	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
72		simpr3 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
73		19.8a 1590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
74		rspe 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
75		tfrcllembacc.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
76	75	abeq2i 2288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. B <-> E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
77	74, 76	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
78	73, 77	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
79	72, 78	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. D /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
80	79	3exp2 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. D -> ( g : z --> S -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
81	80	3imp 1193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. D /\ g : z --> S /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
82	81	exlimdv 1819	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. D /\ g : z --> S /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
83	65, 71, 82	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
84		elunii 3812	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
85	44, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
86		opeq2 3777	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( G ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( G ` g ) >. )
87	86	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( G ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B ) )
88	87	spcegv 2825	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` g ) e. S -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
89	39	eldm2 4821	. . . . . . . 8 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
90	88, 89	syl6ibr 162	. . . . . . 7 |- ( ( G ` g ) e. S -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
91	38, 85, 90	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
92	91	3expia 1205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
93	92	exlimdv 1819	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
94	93	ralimdva 2544	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) -> A. z e. D z e. dom U. B ) )
95	10, 94	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. D z e. dom U. B )
96		dfss3 3145	. 2 |- ( D C_ dom U. B <-> A. z e. D z e. dom U. B )
97	95, 96	sylibr 134	1 |- ( ph -> D C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   Ord word 4359   suc csuc 4362   dom cdm 4623   |` cres 4625   Fun wfun 5206   -->wf 5208   ` cfv 5212  recscrecs 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-iord 4363  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6352