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Theorem tfrcllembxssdm 6371
Description: Lemma for tfrcl 6379. The union of  B is defined on all elements of  X. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllembxssdm  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, g, h, z    w, B, g, z    D, h, z    h, G, z   
w, G, y    S, h, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w)    B( x, y, f)    D( w)    S( w, g)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembxssdm
StepHypRef Expression
1 tfrcllembacc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
2 fveq2 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
g `  w )  =  ( g `  y ) )
3 reseq2 4914 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
g  |`  w )  =  ( g  |`  y
) )
43fveq2d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  ( g  |`  w ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
52, 4eqeq12d 2202 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( g `  w
)  =  ( G `
 ( g  |`  w ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
65cbvralv 2715 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) )  <->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
76anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
87exbii 1615 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) )  <->  E. g
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
98ralbii 2493 . . . 4  |-  ( A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) )  <->  A. z  e.  D  E. g
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
101, 9sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
11 simp1 998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ph )
12 simp2 999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  D
)
13 tfrcllembacc.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
1411, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  D  e.  X
)
15 tfrcl.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  X )
16 ordtr1 4400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1817imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  D  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1911, 12, 14, 18syl12anc 1246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  X
)
20 simp3l 1026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  g : z --> S )
21 feq2 5361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
2221imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
2322albidv 1834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
24 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
25243expia 1206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
2625alrimiv 1884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
2726ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
2827adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
3023, 28, 29rspcdva 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
31 feq1 5360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
32 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
3332eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
3431, 33imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
3534spv 1870 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
3630, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
3736imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
3811, 19, 20, 37syl21anc 1247 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
39 vex 2752 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
40 opexg 4240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
4139, 38, 40sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  _V )
42 snidg 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )
43 elun2 3315 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
4441, 42, 433syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
45 simp3r 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) ) )
46 rspe 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
4719, 20, 45, 46syl12anc 1246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
48 feq2 5361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : x --> S ) )
49 raleq 2683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  z 
( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5048, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
5150cbvrexv 2716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5247, 51sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
53 vex 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  g  e. 
_V
54 feq1 5360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f : x --> S  <->  g :
x --> S ) )
55 fveq1 5526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
56 reseq1 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
5756fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
5855, 57eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5958ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
6054, 59anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
6160rexbidv 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
62 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6353, 61, 62elab2 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
6452, 63sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  g  e.  A
)
6512, 20, 643jca 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A ) )
66 snexg 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
67 unexg 4455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
6853, 67mpan 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V )
6941, 66, 683syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  _V )
70 isset 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  <->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
7169, 70sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )
72 simpr3 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
73 19.8a 1600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
74 rspe 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  D  /\  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )
75 tfrcllembacc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7675abeq2i 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  <->  E. z  e.  D  E. g
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
7774, 76sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  D  /\  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  B
)
7873, 77sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  B
)
7972, 78eqeltrrd 2265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
)
80793exp2 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  D  ->  (
g : z --> S  ->  ( g  e.  A  ->  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B ) ) ) )
81803imp 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A )  ->  ( h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
) )
8281exlimdv 1829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A )  ->  ( E. h  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B ) )
8365, 71, 82sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
)
84 elunii 3826 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  /\  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B )
8544, 83, 84syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  U. B )
86 opeq2 3791 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( G `  g )  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  ( G `  g ) >. )
8786eleq1d 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( G `  g )  ->  ( <. z ,  w >.  e. 
U. B  <->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  U. B
) )
8887spcegv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  g )  e.  S  ->  ( <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B  ->  E. w <. z ,  w >.  e. 
U. B ) )
8939eldm2 4837 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  dom  U. B  <->  E. w <. z ,  w >.  e.  U. B )
9088, 89imbitrrdi 162 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  g )  e.  S  ->  ( <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B  ->  z  e.  dom  U. B ) )
9138, 85, 90sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B )
92913expia 1206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B ) )
9392exlimdv 1829 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) )  -> 
z  e.  dom  U. B ) )
9493ralimdva 2554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  ->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B
) )
9510, 94mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B
)
96 dfss3 3157 . 2  |-  ( D 
C_  dom  U. B  <->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B )
9795, 96sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979   A.wal 1361    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   {cab 2173   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    u. cun 3139    C_ wss 3141   {csn 3604   <.cop 3607   U.cuni 3821   Ord word 4374   suc csuc 4377   dom cdm 4638    |` cres 4640   Fun wfun 5222   -->wf 5224   ` cfv 5228  recscrecs 6319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-iord 4378  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236
This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6372
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