Theorem tfrlemibxssdm 6232

Description: The union of B is defined on all ordinals. Lemma for tfrlemi1 6237. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibxssdm	|- ( ph -> x C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemi1.5	. . 3 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
2		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
3		tfrlemisucfn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 6217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6	5	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( F ` g ) e. _V )
7		vex 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
8		opexg 4158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
9	7, 5, 8	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
10		snidg 3561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } )
11		elun2 3249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
12	9, 10, 11	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
13	12	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14		simp2r 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. x )
15		simp3l 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g Fn z )
16		onelon 4314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
17		rspe 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. On /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
18	16, 17	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
19		tfrlemisucfn.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
20		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
21	19, 20	tfrlem3a 6215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. A <-> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
22	18, 21	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
23	22	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
24	14, 15, 23	3jca 1162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) )
25		snexg 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
26		unexg 4372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
27	20, 26	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
28	9, 25, 27	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
29		isset 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
30	28, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
31	30	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
32		simpr3 990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
33		19.8a 1570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
34		rspe 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
35		tfrlemi1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
36	35	abeq2i 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h e. B <-> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
37	34, 36	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
38	33, 37	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
39	32, 38	eqeltrrd 2218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
40	39	3exp2 1204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. x -> ( g Fn z -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
41	40	3imp 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
42	41	exlimdv 1792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
43	24, 31, 42	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
44		elunii 3749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
45	13, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
46		opeq2 3714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( F ` g ) >. )
47	46	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B ) )
48	47	spcegv 2777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
49	7	eldm2 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
50	48, 49	syl6ibr 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
51	6, 45, 50	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
52	51	3expia 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
53	52	exlimdv 1792	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
54	53	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. On ) /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
55	54	ralimdva 2502	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. On ) -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
56	2, 55	mpdan 418	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
57	1, 56	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. x z e. dom U. B )
58		dfss3 3092	. 2 |- ( x C_ dom U. B <-> A. z e. x z e. dom U. B )
59	57, 58	sylibr 133	1 |- ( ph -> x C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689   u. cun 3074   C_ wss 3076   {csn 3532   <.cop 3535   U.cuni 3744   Oncon0 4293   dom cdm 4547   |` cres 4549   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  tfrlemibfn  6233