Theorem tfrlemibxssdm 6588

Description: The union of B is defined on all ordinals. Lemma for tfrlemi1 6593. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibxssdm	|- ( ph -> x C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemi1.5	. . 3 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
2		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
3		tfrlemisucfn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 6573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6	5	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( F ` g ) e. _V )
7		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
8		opexg 4363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
9	7, 5, 8	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
10		snidg 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } )
11		elun2 3397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. { <. z , ( F ` g ) >. } -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
12	9, 10, 11	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
13	12	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14		simp2r 1055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. x )
15		simp3l 1056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g Fn z )
16		onelon 4524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
17		rspe 2599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. On /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
18	16, 17	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
19		tfrlemisucfn.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
20		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
21	19, 20	tfrlem3a 6571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. A <-> E. z e. On ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
22	18, 21	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
23	22	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
24	14, 15, 23	3jca 1208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) )
25		snexg 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
26		unexg 4584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
27	20, 26	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
28	9, 25, 27	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
29		isset 2828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
30	28, 29	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
31	30	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
32		simpr3 1036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
33		19.8a 1643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
34		rspe 2599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
35		tfrlemi1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
36	35	abeq2i 2349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h e. B <-> E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) )
37	34, 36	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. x /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
38	33, 37	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
39	32, 38	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. x /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
40	39	3exp2 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. x -> ( g Fn z -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
41	40	3imp 1224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
42	41	exlimdv 1872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. x /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) )
43	24, 31, 42	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B )
44		elunii 3935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. z , ( F ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
45	13, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B )
46		opeq2 3900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( F ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( F ` g ) >. )
47	46	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( F ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( F ` g ) >. e. U. B ) )
48	47	spcegv 2913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
49	7	eldm2 4974	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
50	48, 49	imbitrrdi 162	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` g ) e. _V -> ( <. z , ( F ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
51	6, 45, 50	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
52	51	3expia 1236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
53	52	exlimdv 1872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. On /\ z e. x ) ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
54	53	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. On ) /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
55	54	ralimdva 2617	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. On ) -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
56	2, 55	mpdan 425	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. x z e. dom U. B ) )
57	1, 56	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. x z e. dom U. B )
58		dfss3 3236	. 2 |- ( x C_ dom U. B <-> A. z e. x z e. dom U. B )
59	57, 58	sylibr 134	1 |- ( ph -> x C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   <.cop 3708   U.cuni 3930   Oncon0 4503   dom cdm 4769   |` cres 4771   Fun wfun 5366   Fn wfn 5367   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  tfrlemibfn  6589