Theorem eldm2 4877

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 4875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 105  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  ⟨cop 3636  dom cdm 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-dm 4686

This theorem is referenced by:  dmss  4878  opeldm  4882  dmin  4887  dmiun  4888  dmuni  4889  dm0  4893  reldm0  4897  dmrnssfld  4942  dmcoss  4949  dmcosseq  4951  dmres  4981  iss  5006  dmxpss  5114  dmsnopg  5155  relssdmrn  5204  funssres  5314  fun11iun  5545  tfrlemibxssdm  6415  tfr1onlembxssdm  6431  tfrcllembxssdm  6444  fnpr2ob  13205