Theorem tfr1onlembxssdm 6240

Description: Lemma for tfr1on 6247. The union of B is defined on all elements of X. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfr1onlembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlembxssdm	|- ( ph -> D C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, z   D, f, g, x   f, G, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, z   y, g, z   B, g, h, z   w, B, g, z   D, h, z   h, G, z   w, G, f, x, y   g, X, z

Allowed substitution hints:   ph( y, w)   A( y, w)   B( x, y, f)   D( y, w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1onlembacc.5	. . 3 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
2		simp1 981	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ph )
3		simp2 982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. D )
4		tfr1onlembacc.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. X )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> D e. X )
6		tfr1on.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord X )
7		ordtr1 4310	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
9	8	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. D /\ D e. X ) ) -> z e. X )
10	2, 3, 5, 9	syl12anc 1214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. X )
11		simp3l 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> g Fn z )
12		fneq2 5212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
14	13	albidv 1796	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
15		tfr1on.ex	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
16	15	3expia 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
17	16	alrimiv 1846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
18	17	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
20		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
21	14, 19, 20	rspcdva 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
22		fneq1 5211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
23		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
24	23	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
25	22, 24	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
26	25	spv 1832	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
27	21, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
28	27	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
29	2, 10, 11, 28	syl21anc 1215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
30		vex 2689	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
31		opexg 4150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
32	30, 29, 31	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
33		snidg 3554	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
34		elun2 3244	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
36		simp3r 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) )
37		rspe 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
38	10, 11, 36, 37	syl12anc 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
39		vex 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- g e. _V
40		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
41	40	tfr1onlem3ag 6234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) )
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. A <-> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
43	38, 42	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
44	3, 11, 43	3jca 1161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) )
45		snexg 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
46		unexg 4364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
47	39, 46	mpan 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
48	32, 45, 47	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
49		isset 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
50	48, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
51		simpr3 989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
52		19.8a 1569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
53		rspe 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
54		tfr1onlembacc.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
55	54	abeq2i 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. B <-> E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
56	53, 55	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
57	52, 56	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
58	51, 57	eqeltrrd 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
59	58	3exp2 1203	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. D -> ( g Fn z -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
60	59	3imp 1175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
61	60	exlimdv 1791	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
62	44, 50, 61	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
63		elunii 3741	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
64	35, 62, 63	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
65		opeq2 3706	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( G ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( G ` g ) >. )
66	65	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( G ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B ) )
67	66	spcegv 2774	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` g ) e. _V -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
68	30	eldm2 4737	. . . . . . . 8 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
69	67, 68	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( ( G ` g ) e. _V -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
70	29, 64, 69	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
71	70	3expia 1183	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
72	71	exlimdv 1791	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
73	72	ralimdva 2499	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. D z e. dom U. B ) )
74	1, 73	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. D z e. dom U. B )
75		dfss3 3087	. 2 |- ( D C_ dom U. B <-> A. z e. D z e. dom U. B )
76	74, 75	sylibr 133	1 |- ( ph -> D C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527   <.cop 3530   U.cuni 3736   Ord word 4284   suc csuc 4287   dom cdm 4539   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ` cfv 5123  recscrecs 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-iord 4288  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  tfr1onlembfn  6241