Theorem tfr1onlembxssdm 6338

Description: Lemma for tfr1on 6345. The union of B is defined on all elements of X. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfr1onlembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlembxssdm	|- ( ph -> D C_ dom U. B )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, z   D, f, g, x   f, G, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, z   y, g, z   B, g, h, z   w, B, g, z   D, h, z   h, G, z   w, G, f, x, y   g, X, z

Allowed substitution hints:   ph( y, w)   A( y, w)   B( x, y, f)   D( y, w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembxssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1onlembacc.5	. . 3 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
2		simp1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ph )
3		simp2 998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. D )
4		tfr1onlembacc.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. X )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> D e. X )
6		tfr1on.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord X )
7		ordtr1 4385	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
9	8	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. D /\ D e. X ) ) -> z e. X )
10	2, 3, 5, 9	syl12anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. X )
11		simp3l 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> g Fn z )
12		fneq2 5301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
14	13	albidv 1824	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
15		tfr1on.ex	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
16	15	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
17	16	alrimiv 1874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
18	17	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
21	14, 19, 20	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
22		fneq1 5300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
23		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
24	23	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
25	22, 24	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
26	25	spv 1860	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
27	21, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
29	2, 10, 11, 28	syl21anc 1237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
30		vex 2740	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
31		opexg 4225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
32	30, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
33		snidg 3620	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } )
34		elun2 3303	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. { <. z , ( G ` g ) >. } -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
35	32, 33, 34	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
36		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) )
37		rspe 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
38	10, 11, 36, 37	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
39		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- g e. _V
40		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
41	40	tfr1onlem3ag 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. _V -> ( g e. A <-> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) )
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. A <-> E. z e. X ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
43	38, 42	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> g e. A )
44	3, 11, 43	3jca 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) )
45		snexg 4181	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
46		unexg 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
47	39, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
48	32, 45, 47	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
49		isset 2743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V <-> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
51		simpr3 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
52		19.8a 1590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
53		rspe 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
54		tfr1onlembacc.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
55	54	abeq2i 2288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. B <-> E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) )
56	53, 55	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. D /\ E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
57	52, 56	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. B )
58	51, 57	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. D /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
59	58	3exp2 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. D -> ( g Fn z -> ( g e. A -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) ) ) )
60	59	3imp 1193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
61	60	exlimdv 1819	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. D /\ g Fn z /\ g e. A ) -> ( E. h h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) )
62	44, 50, 61	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B )
63		elunii 3812	. . . . . . . 8 |- ( ( <. z , ( G ` g ) >. e. ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) /\ ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. B ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
64	35, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B )
65		opeq2 3777	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( G ` g ) -> <. z , w >. = <. z , ( G ` g ) >. )
66	65	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( G ` g ) -> ( <. z , w >. e. U. B <-> <. z , ( G ` g ) >. e. U. B ) )
67	66	spcegv 2825	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` g ) e. _V -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> E. w <. z , w >. e. U. B ) )
68	30	eldm2 4821	. . . . . . . 8 |- ( z e. dom U. B <-> E. w <. z , w >. e. U. B )
69	67, 68	syl6ibr 162	. . . . . . 7 |- ( ( G ` g ) e. _V -> ( <. z , ( G ` g ) >. e. U. B -> z e. dom U. B ) )
70	29, 64, 69	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. D /\ ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) ) -> z e. dom U. B )
71	70	3expia 1205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
72	71	exlimdv 1819	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> z e. dom U. B ) )
73	72	ralimdva 2544	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) -> A. z e. D z e. dom U. B ) )
74	1, 73	mpd 13	. 2 |- ( ph -> A. z e. D z e. dom U. B )
75		dfss3 3145	. 2 |- ( D C_ dom U. B <-> A. z e. D z e. dom U. B )
76	74, 75	sylibr 134	1 |- ( ph -> D C_ dom U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   u. cun 3127   C_ wss 3129   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   Ord word 4359   suc csuc 4362   dom cdm 4623   |` cres 4625   Fun wfun 5206   Fn wfn 5207   ` cfv 5212  recscrecs 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-iord 4363  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  tfr1onlembfn  6339