Theorem elfi 7075

Description: Specific properties of an element of ( fi ` B ). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfi	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V   x, W

Proof of Theorem elfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fival 7074	. . 3 |- ( B e. W -> ( fi ` B ) = { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } )
2	1	eleq2d 2275	. 2 |- ( B e. W -> ( A e. ( fi ` B ) <-> A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } ) )
3		eqeq1 2212	. . . 4 |- ( y = A -> ( y = |^| x <-> A = |^| x ) )
4	3	rexbidv 2507	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
5	4	elabg 2919	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
6	2, 5	sylan9bbr 463	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   E.wrex 2485   i^i cin 3165   ~Pcpw 3616   |^|cint 3885   ` cfv 5272   Fincfn 6829   ficfi 7072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-er 6622  df-en 6830  df-fin 6832  df-fi 7073

This theorem is referenced by:  elfi2  7076  elfir  7077  fiss  7081