Theorem elfi 6948

Description: Specific properties of an element of ( fi ` B ). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfi	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V   x, W

Proof of Theorem elfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fival 6947	. . 3 |- ( B e. W -> ( fi ` B ) = { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } )
2	1	eleq2d 2240	. 2 |- ( B e. W -> ( A e. ( fi ` B ) <-> A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } ) )
3		eqeq1 2177	. . . 4 |- ( y = A -> ( y = |^| x <-> A = |^| x ) )
4	3	rexbidv 2471	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
5	4	elabg 2876	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
6	2, 5	sylan9bbr 460	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   i^i cin 3120   ~Pcpw 3566   |^|cint 3831   ` cfv 5198   Fincfn 6718   ficfi 6945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-fi 6946

This theorem is referenced by:  elfi2  6949  elfir  6950  fiss  6954