Theorem elfi 7037

Description: Specific properties of an element of ( fi ` B ). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfi	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V   x, W

Proof of Theorem elfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fival 7036	. . 3 |- ( B e. W -> ( fi ` B ) = { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } )
2	1	eleq2d 2266	. 2 |- ( B e. W -> ( A e. ( fi ` B ) <-> A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } ) )
3		eqeq1 2203	. . . 4 |- ( y = A -> ( y = |^| x <-> A = |^| x ) )
4	3	rexbidv 2498	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
5	4	elabg 2910	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. { y | E. x e. ( ~P B i^i Fin ) y = |^| x } <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
6	2, 5	sylan9bbr 463	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   i^i cin 3156   ~Pcpw 3605   |^|cint 3874   ` cfv 5258   Fincfn 6799   ficfi 7034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-fi 7035

This theorem is referenced by:  elfi2  7038  elfir  7039  fiss  7043