ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfi GIF version

Theorem elfi 6969
Description: Specific properties of an element of (fi‘𝐵). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfi ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem elfi
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fival 6968 . . 3 (𝐵𝑊 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
21eleq2d 2247 . 2 (𝐵𝑊 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥}))
3 eqeq1 2184 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 = 𝑥𝐴 = 𝑥))
43rexbidv 2478 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
54elabg 2883 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
62, 5sylan9bbr 463 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wrex 2456  cin 3128  𝒫 cpw 3575   cint 3844  cfv 5216  Fincfn 6739  ficfi 6966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-fi 6967
This theorem is referenced by:  elfi2  6970  elfir  6971  fiss  6975
  Copyright terms: Public domain W3C validator