Theorem elfzd 10369

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
elfzd.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
elfzd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
elfzd.4	|- ( ph -> M <_ K )
elfzd.5	|- ( ph -> K <_ N )

Assertion

Ref	Expression
elfzd	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		elfzd.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		elfzd.3	. . . 4 |- ( ph -> K e. ZZ )
4	1, 2, 3	3jca 1204	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
5		elfzd.4	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
6		elfzd.5	. . 3 |- ( ph -> K <_ N )
7	4, 5, 6	jca32 310	. 2 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		elfz2 10368	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-neg 8463  df-z 9595  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  fzoun  10539  seqf1oglem1  10905  seqfeq4g  10917  pfxccat3  11451  hashdvds  12943  4sqexercise1  13121  4sqexercise2  13122  4sqlemsdc  13123  ballotfilemsdom  13199  ballotfilemsel1i  13200  ballotfilemsima  13203  ballotfilemfrcn0  13217  gsumshift  14105  gsumfzfsumlemm  14861  lgseisenlem1  16069  lgsquadlem1  16076