Theorem elfzd 10082

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
elfzd.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
elfzd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
elfzd.4	|- ( ph -> M <_ K )
elfzd.5	|- ( ph -> K <_ N )

Assertion

Ref	Expression
elfzd	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		elfzd.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		elfzd.3	. . . 4 |- ( ph -> K e. ZZ )
4	1, 2, 3	3jca 1179	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
5		elfzd.4	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
6		elfzd.5	. . 3 |- ( ph -> K <_ N )
7	4, 5, 6	jca32 310	. 2 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		elfz2 10081	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-neg 8193  df-z 9318  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  seqf1oglem1  10590  seqfeq4g  10602  4sqexercise1  12536  4sqexercise2  12537  4sqlemsdc  12538  gsumfzfsumlemm  14075  lgseisenlem1  15186  lgsquadlem1  15191