Theorem elfzd 10435

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
elfzd.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
elfzd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
elfzd.4	|- ( ph -> M <_ K )
elfzd.5	|- ( ph -> K <_ N )

Assertion

Ref	Expression
elfzd	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		elfzd.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		elfzd.3	. . . 4 |- ( ph -> K e. ZZ )
4	1, 2, 3	3jca 1208	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
5		elfzd.4	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
6		elfzd.5	. . 3 |- ( ph -> K <_ N )
7	4, 5, 6	jca32 310	. 2 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		elfz2 10434	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   <_ cle 8367   ZZcz 9653   ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9654  df-fz 10428

This theorem is used by:  fzoun  10606  seqf1oglem1  10976  seqfeq4g  10988  nn0sqdc  11167  pfxccat3  11527  pwbdvds  12969  hashdvds  13027  4sqexercise1  13205  4sqexercise2  13206  4sqlemsdc  13207  ballotfilemsdom  13312  ballotfilemsel1i  13313  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfrcn0  13330  gzsumshift  14238  psrbaglefifi  15175  bcmono  16321  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem1  16418