Theorem elfzd 10212

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
elfzd.2	|- ( ph -> N e. ZZ )
elfzd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
elfzd.4	|- ( ph -> M <_ K )
elfzd.5	|- ( ph -> K <_ N )

Assertion

Ref	Expression
elfzd	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		elfzd.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3		elfzd.3	. . . 4 |- ( ph -> K e. ZZ )
4	1, 2, 3	3jca 1201	. . 3 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
5		elfzd.4	. . 3 |- ( ph -> M <_ K )
6		elfzd.5	. . 3 |- ( ph -> K <_ N )
7	4, 5, 6	jca32 310	. 2 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		elfz2 10211	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-neg 8320  df-z 9447  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  fzoun  10379  seqf1oglem1  10741  seqfeq4g  10753  pfxccat3  11266  4sqexercise1  12921  4sqexercise2  12922  4sqlemsdc  12923  gsumfzfsumlemm  14551  lgseisenlem1  15749  lgsquadlem1  15756