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Theorem seqf1oglem1 10580
Description: Lemma for seqf1og 10582. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1og.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  V )
seqf1olem.5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
seqf1olem.6  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
seqf1olem.7  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
seqf1olem.8  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
Assertion
Ref Expression
seqf1oglem1  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    x, J, y, z    k, N, x, y, z    k, K, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    J( k)    V( x, y, z, k)

Proof of Theorem seqf1oglem1
StepHypRef Expression
1 seqf1olem.7 . 2  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
2 seqf1olem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
3 f1of 5492 . . . . 5  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
54adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
6 fzelp1 10130 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
76adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
8 fzp1elp1 10131 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
98adantl 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
10 elfzelz 10081 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ZZ )
11 seqf1olem.8 . . . . . . 7  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
12 f1ocnv 5505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
132, 12syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
14 f1of1 5491 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
16 f1f 5451 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
18 seqf1o.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
19 peano2uz 9638 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
21 eluzfz2 10088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
2317, 22ffvelcdmd 5686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( N  +  1
) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
2411, 23eqeltrid 2280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
2524elfzelzd 10082 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
26 zdclt 9384 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  k  <  K )
2710, 25, 26syl2anr 290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  k  <  K )
287, 9, 27ifcldcd 3593 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
295, 28ffvelcdmd 5686 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3017adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) --> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
31 fzelp1 10130 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3231adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3330, 32ffvelcdmd 5686 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
3433elfzelzd 10082 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  ZZ )
35 peano2zm 9345 . . . 4  |-  ( ( `' F `  x )  e.  ZZ  ->  (
( `' F `  x )  -  1 )  e.  ZZ )
3634, 35syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( `' F `  x )  -  1 )  e.  ZZ )
3725adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
38 zdclt 9384 . . . 4  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID 
( `' F `  x )  <  K
)
3934, 37, 38syl2anc 411 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ( `' F `  x )  <  K
)
4034, 36, 39ifcldcd 3593 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  e.  ZZ )
41 iftrue 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( k  <  K  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  k )
4241fveq2d 5550 . . . . . . . 8  |-  ( k  <  K  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 k ) )
4342eqeq2d 2205 . . . . . . 7  |-  ( k  <  K  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
x  =  ( F `
 k ) ) )
4443adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
x  =  ( F `
 k ) ) )
45 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  x  =  ( F `  k ) )
465, 7ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
4746elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
48 eluzel2 9587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
4918, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
51 uzssz 9602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5251, 18sselid 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5352adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
54 fzdcel 10096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  k
)  e.  ( M ... N ) )
5547, 50, 53, 54syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ( F `  k
)  e.  ( M ... N ) )
5655adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  -> DECID 
( F `  k
)  e.  ( M ... N ) )
5710zred 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  RR )
5857ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  RR )
59 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  <  K
)
6058, 59gtned 8122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  K  =/=  k
)
614ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
62 fzssp1 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
63 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
6462, 63sselid 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6561, 64ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
66 elfzp1 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
6718, 66syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
6867ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
6965, 68mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) )
7069ord 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  ( F `  k )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  k )  =  ( N  +  1 ) ) )
712ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
72 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  k )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k ) )
7371, 64, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k ) )
7411eqeq1i 2201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =  k  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k )
7573, 74imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  k ) )
7670, 75syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  ( F `  k )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  k ) )
7776a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  (DECID  ( F `  k
)  e.  ( M ... N )  -> 
( -.  ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  k ) ) )
7877necon1addc 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  (DECID  ( F `  k
)  e.  ( M ... N )  -> 
( K  =/=  k  ->  ( F `  k
)  e.  ( M ... N ) ) ) )
7956, 60, 78mp2d 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
8045, 79eqeltrd 2270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
8145eqcomd 2199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  =  x )
82 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  k )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  k ) )
8371, 64, 82syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  k ) )
8481, 83mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( `' F `  x )  =  k )
8584, 59eqbrtrd 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( `' F `  x )  <  K
)
86 iftrue 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( `' F `  x ) )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( `' F `  x ) )
8887, 84eqtr2d 2227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
8980, 88jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) )
9089expr 375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 k )  -> 
( x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
9144, 90sylbid 150 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
92 iffalse 3565 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  <  K  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
9392fveq2d 5550 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  <  K  -> 
( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9493eqeq2d 2205 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  <  K  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  <->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
9594adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  <->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
96 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
975, 9ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
9897elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
99 fzdcel 10096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
10098, 50, 53, 99syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
101100adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  -> DECID 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
10225zred 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  e.  RR )
10457ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  RR )
105 peano2re 8145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
106104, 105syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
107 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -.  k  <  K )
108103, 104, 107nltled 8130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  <_  k
)
109104ltp1d 8939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  <  (
k  +  1 ) )
110103, 104, 106, 108, 109lelttrd 8134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  <  (
k  +  1 ) )
111103, 110ltned 8123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  =/=  (
k  +  1 ) )
1124ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
1138ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
114112, 113ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
115 elfzp1 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  <->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) ) ) )
11618, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
117116ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
118114, 117mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) )
119118ord 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) ) )
1202ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
121 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) ) )
122120, 113, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) ) )
12311eqeq1i 2201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =  ( k  +  1 )  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
124122, 123imbitrrdi 162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  ( k  +  1 ) ) )
125119, 124syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  K  =  ( k  +  1 ) ) )
126125a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  -> 
( -.  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  ( k  +  1 ) ) ) )
127126necon1addc 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  -> 
( K  =/=  (
k  +  1 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) ) )
128101, 111, 127mp2d 47 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
12996, 128eqeltrd 2270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
13096eqcomd 2199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  x )
131 f1ocnvfv 5814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) ) )
132120, 113, 131syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) ) )
133130, 132mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) )
134133breq1d 4039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  <  K  <->  ( k  +  1 )  < 
K ) )
135 lttr 8083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( ( k  < 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  < 
K )  ->  k  <  K ) )
136104, 106, 103, 135syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  <  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <  K )  -> 
k  <  K )
)
137109, 136mpand 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  < 
K  ->  k  <  K ) )
138134, 137sylbid 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  k  <  K ) )
139107, 138mtod 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -.  ( `' F `  x )  <  K )
140 iffalse 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
141139, 140syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
142133oveq1d 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
143104recnd 8038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  CC )
144 ax-1cn 7955 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
145 pncan 8215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
146143, 144, 145sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
147141, 142, 1463eqtrrd 2231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
148129, 147jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) )
149148expr 375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
15095, 149sylbid 150 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
151 exmiddc 837 . . . . . 6  |-  (DECID  k  < 
K  ->  ( k  <  K  \/  -.  k  <  K ) )
15227, 151syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  <  K  \/  -.  k  <  K ) )
15391, 150, 152mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( x  =  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
154153expimpd 363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
15586eqeq2d 2205 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  (
k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( `' F `  x ) ) )
156155adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( `' F `  x ) ) )
15749ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
158 eluzelz 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
15918, 158syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
160159ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
161 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  =  ( `' F `  x ) )
16217ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) --> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
163 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
16462, 163sselid 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
165162, 164ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
166161, 165eqeltrd 2270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
167166elfzelzd 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
168 elfzle1 10083 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  M  <_  k )
169166, 168syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  M  <_  k )
170167zred 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  RR )
171102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  K  e.  RR )
172159peano2zd 9432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
173172zred 9429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
174173ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
175 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( `' F `  x )  <  K )
176161, 175eqbrtrd 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <  K )
177 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
17824, 177syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
179178ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
180170, 171, 174, 176, 179ltletrd 8432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
181 zleltp1 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
182167, 160, 181syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
183180, 182mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <_  N )
184157, 160, 167, 169, 183elfzd 10072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
185176, 42syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 k ) )
186161fveq2d 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
1872ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
188 f1ocnvfv2 5813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
189187, 164, 188syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
190185, 186, 1893eqtrrd 2231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  =  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
191184, 190jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) )
192191expr 375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  ( `' F `  x )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
193156, 192sylbid 150 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
194140eqeq2d 2205 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  ->  ( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
195194adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
19649ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
197159ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
198 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
19917ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
200 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
20162, 200sselid 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
202199, 201ffvelcdmd 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
203202elfzelzd 10082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  ZZ )
204203, 35syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  -  1 )  e.  ZZ )
205198, 204eqeltrd 2270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
20649zred 9429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
207206ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
208102ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
209205zred 9429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  RR )
210 elfzle1 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  M  <_  K )
21124, 210syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
212211ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  K )
213 elfzelz 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
214213adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  ZZ )
215214zred 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
216159zred 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
217216adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  RR )
218173adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
219 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
220219adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  N )
221217ltp1d 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
222215, 217, 218, 220, 221lelttrd 8134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  +  1 ) )
223215, 222gtned 8122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  x )
224223adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( N  +  1 )  =/=  x )
22515ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
22622ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
227 f1fveq 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =  x ) )
228225, 226, 201, 227syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =  x ) )
229228necon3bid 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =/=  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =/=  x ) )
230224, 229mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  ( N  +  1
) )  =/=  ( `' F `  x ) )
23111neeq1i 2379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  =/=  ( `' F `  x )  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =/=  ( `' F `  x ) )
232230, 231sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  =/=  ( `' F `  x ) )
233232necomd 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  =/=  K
)
23425ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
235 zapne 9381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( `' F `  x ) #  K  <->  ( `' F `  x )  =/=  K
) )
236203, 234, 235syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  x ) #  K  <->  ( `' F `  x )  =/=  K ) )
237233, 236mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x ) #  K )
238203zred 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  RR )
239 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( `' F `  x )  <  K
)
240208, 238, 239nltled 8130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( `' F `  x ) )
241208, 238, 240leltapd 8648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
( `' F `  x ) #  K )
)
242237, 241mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <  ( `' F `  x ) )
243 zltlem1 9364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' F `  x )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
244234, 203, 243syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
245242, 244mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
246245, 198breqtrrd 4057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  k )
247207, 208, 209, 212, 246letrd 8133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
248 elfzle2 10084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( N  + 
1 ) )
249202, 248syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) )
250216ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
251 1re 8008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
252 lesubadd 8443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
253251, 252mp3an2 1336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
254238, 250, 253syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
255249, 254mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N )
256198, 255eqbrtrd 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  <_  N )
257196, 197, 205, 247, 256elfzd 10072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  ( M ... N ) )
258208, 209, 246lensymd 8131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  -.  k  <  K )
259258, 93syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
260198oveq1d 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  +  1 )  =  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 ) )
261203zcnd 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  CC )
262 npcan 8218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
263261, 144, 262sylancl 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
264260, 263eqtrd 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
265264fveq2d 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( F `
 ( `' F `  x ) ) )
2662ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
267266, 201, 188syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
268259, 265, 2673eqtrrd 2231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
269257, 268jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) )
270269expr 375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
271195, 270sylbid 150 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
272 exmiddc 837 . . . . . 6  |-  (DECID  ( `' F `  x )  <  K  ->  (
( `' F `  x )  <  K  \/  -.  ( `' F `  x )  <  K
) )
27339, 272syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( `' F `  x )  <  K  \/  -.  ( `' F `  x )  <  K ) )
274193, 271, 273mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
275274expimpd 363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
276154, 275impbid 129 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
2771, 29, 40, 276f1od 6113 1  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164    =/= wne 2364    C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029    |-> cmpt 4090   `'ccnv 4654   -->wf 5242   -1-1->wf1 5243   -1-1-onto->wf1o 5245   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   CCcc 7860   RRcr 7861   1c1 7863    + caddc 7865    < clt 8044    <_ cle 8045    - cmin 8180   # cap 8590   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065
This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10581
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