Theorem seqf1oglem1 10590

Description: Lemma for seqf1og 10592. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1og.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqf1olem.5	|- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
seqf1olem.6	|- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
seqf1olem.7	|- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
seqf1olem.8	|- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1oglem1	|- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, F   k, G, x, y, z   k, M, x, y, z   .+ , k, x, y, z   x, J, y, z   k, N, x, y, z   k, K, x, y, z   ph, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   J( k)   V( x, y, z, k)

Proof of Theorem seqf1oglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1olem.7	. 2 |- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
2		seqf1olem.5	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
3		f1of 5500	. . . . 5 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
6		fzelp1 10140	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
7	6	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
8		fzp1elp1 10141	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
10		elfzelz 10091	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
11		seqf1olem.8	. . . . . . 7 |- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )
12		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
13	2, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
14		f1of1 5499	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
16		f1f 5459	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
18		seqf1o.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
19		peano2uz 9648	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
21		eluzfz2 10098	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
23	17, 22	ffvelcdmd 5694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
24	11, 23	eqeltrid 2280	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
25	24	elfzelzd 10092	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
26		zdclt 9394	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID k < K )
27	10, 25, 26	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> DECID k < K )
28	7, 9, 27	ifcldcd 3593	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
29	5, 28	ffvelcdmd 5694	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
30	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
31		fzelp1 10140	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
32	31	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
33	30, 32	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( `' F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
34	33	elfzelzd 10092	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( `' F ` x ) e. ZZ )
35		peano2zm 9355	. . . 4 |- ( ( `' F ` x ) e. ZZ -> ( ( `' F ` x ) - 1 ) e. ZZ )
36	34, 35	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( `' F ` x ) - 1 ) e. ZZ )
37	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
38		zdclt 9394	. . . 4 |- ( ( ( `' F ` x ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID ( `' F ` x ) < K )
39	34, 37, 38	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> DECID ( `' F ` x ) < K )
40	34, 36, 39	ifcldcd 3593	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) e. ZZ )
41		iftrue 3562	. . . . . . . . 9 |- ( k < K -> if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) = k )
42	41	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( k < K -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
43	42	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( k < K -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) <-> x = ( F ` k ) ) )
44	43	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ k < K ) -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) <-> x = ( F ` k ) ) )
45		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> x = ( F ` k ) )
46	5, 7	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
47	46	elfzelzd 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
48		eluzel2 9597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
49	18, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
51		uzssz 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
52	51, 18	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
54		fzdcel 10106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` k ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
55	47, 50, 53, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> DECID ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> DECID ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
57	10	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. RR )
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> k e. RR )
59		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> k < K )
60	58, 59	gtned 8132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> K =/= k )
61	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
62		fzssp1 10133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) )
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
64	62, 63	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
65	61, 64	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
66		elfzp1 10138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F ` k ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` k ) = ( N + 1 ) ) ) )
67	18, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( F ` k ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` k ) = ( N + 1 ) ) ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` k ) = ( N + 1 ) ) ) )
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` k ) = ( N + 1 ) ) )
70	69	ord 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( F ` k ) = ( N + 1 ) ) )
71	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
72		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = k ) )
73	71, 64, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = k ) )
74	11	eqeq1i 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K = k <-> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = k )
75	73, 74	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) = ( N + 1 ) -> K = k ) )
76	70, 75	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> K = k ) )
77	76	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> (DECID ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( -. ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> K = k ) ) )
78	77	necon1addc 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> (DECID ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( K =/= k -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) ) ) )
79	56, 60, 78	mp2d 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
80	45, 79	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
81	45	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( F ` k ) = x )
82		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ k e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) = x -> ( `' F ` x ) = k ) )
83	71, 64, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) = x -> ( `' F ` x ) = k ) )
84	81, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( `' F ` x ) = k )
85	84, 59	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( `' F ` x ) < K )
86		iftrue 3562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F ` x ) < K -> if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) = ( `' F ` x ) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) = ( `' F ` x ) )
88	87, 84	eqtr2d 2227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
89	80, 88	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( k < K /\ x = ( F ` k ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) )
90	89	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ k < K ) -> ( x = ( F ` k ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
91	44, 90	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ k < K ) -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
92		iffalse 3565	. . . . . . . . 9 |- ( -. k < K -> if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
93	92	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 |- ( -. k < K -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
94	93	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( -. k < K -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) <-> x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
95	94	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ -. k < K ) -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) <-> x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
96		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> x = ( F ` ( k + 1 ) ) )
97	5, 9	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
98	97	elfzelzd 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
99		fzdcel 10106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) )
100	98, 50, 53, 99	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) )
101	100	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> DECID ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) )
102	25	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. RR )
103	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> K e. RR )
104	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. RR )
105		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
107		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -. k < K )
108	103, 104, 107	nltled 8140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> K <_ k )
109	104	ltp1d 8949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k < ( k + 1 ) )
110	103, 104, 106, 108, 109	lelttrd 8144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> K < ( k + 1 ) )
111	103, 110	ltned 8133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> K =/= ( k + 1 ) )
112	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
113	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
114	112, 113	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
115		elfzp1 10138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) ) ) )
116	18, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) ) ) )
117	116	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) ) ) )
118	114, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) ) )
119	118	ord 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( -. ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) ) )
120	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
121		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( k + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( k + 1 ) ) )
122	120, 113, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( k + 1 ) ) )
123	11	eqeq1i 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K = ( k + 1 ) <-> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
124	122, 123	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = ( N + 1 ) -> K = ( k + 1 ) ) )
125	119, 124	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( -. ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) -> K = ( k + 1 ) ) )
126	125	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) -> ( -. ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) -> K = ( k + 1 ) ) ) )
127	126	necon1addc 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> (DECID ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) -> ( K =/= ( k + 1 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) ) ) )
128	101, 111, 127	mp2d 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. ( M ... N ) )
129	96, 128	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
130	96	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = x )
131		f1ocnvfv 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( k + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = x -> ( `' F ` x ) = ( k + 1 ) ) )
132	120, 113, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) = x -> ( `' F ` x ) = ( k + 1 ) ) )
133	130, 132	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( `' F ` x ) = ( k + 1 ) )
134	133	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) < K <-> ( k + 1 ) < K ) )
135		lttr 8093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( k < ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) < K ) -> k < K ) )
136	104, 106, 103, 135	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( k < ( k + 1 ) /\ ( k + 1 ) < K ) -> k < K ) )
137	109, 136	mpand 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( k + 1 ) < K -> k < K ) )
138	134, 137	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) < K -> k < K ) )
139	107, 138	mtod 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -. ( `' F ` x ) < K )
140		iffalse 3565	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( `' F ` x ) < K -> if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) = ( ( `' F ` x ) - 1 ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) = ( ( `' F ` x ) - 1 ) )
142	133	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
143	104	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. CC )
144		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
145		pncan 8225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
146	143, 144, 145	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
147	141, 142, 146	3eqtrrd 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
148	129, 147	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ ( -. k < K /\ x = ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) )
149	148	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ -. k < K ) -> ( x = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
150	95, 149	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) /\ -. k < K ) -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
151		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID k < K -> ( k < K \/ -. k < K ) )
152	27, 151	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k < K \/ -. k < K ) )
153	91, 150, 152	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
154	153	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) -> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
155	86	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( ( `' F ` x ) < K -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) <-> k = ( `' F ` x ) ) )
156	155	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) <-> k = ( `' F ` x ) ) )
157	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> M e. ZZ )
158		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
159	18, 158	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
160	159	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> N e. ZZ )
161		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k = ( `' F ` x ) )
162	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
163		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
164	62, 163	sselid 3177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
165	162, 164	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
166	161, 165	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
167	166	elfzelzd 10092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k e. ZZ )
168		elfzle1 10093	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> M <_ k )
169	166, 168	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> M <_ k )
170	167	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k e. RR )
171	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> K e. RR )
172	159	peano2zd 9442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
173	172	zred 9439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. RR )
174	173	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
175		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( `' F ` x ) < K )
176	161, 175	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k < K )
177		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> K <_ ( N + 1 ) )
178	24, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ ( N + 1 ) )
179	178	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> K <_ ( N + 1 ) )
180	170, 171, 174, 176, 179	ltletrd 8442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k < ( N + 1 ) )
181		zleltp1 9372	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
182	167, 160, 181	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
183	180, 182	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k <_ N )
184	157, 160, 167, 169, 183	elfzd 10082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
185	176, 42	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` k ) )
186	161	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( `' F ` x ) ) )
187	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
188		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
189	187, 164, 188	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
190	185, 186, 189	3eqtrrd 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
191	184, 190	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( ( `' F ` x ) < K /\ k = ( `' F ` x ) ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) )
192	191	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = ( `' F ` x ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
193	156, 192	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
194	140	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( -. ( `' F ` x ) < K -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) <-> k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
195	194	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ -. ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) <-> k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
196	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
197	159	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
198		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) )
199	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
200		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
201	62, 200	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
202	199, 201	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
203	202	elfzelzd 10092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. ZZ )
204	203, 35	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) - 1 ) e. ZZ )
205	198, 204	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
206	49	zred 9439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
207	206	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> M e. RR )
208	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K e. RR )
209	205	zred 9439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> k e. RR )
210		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> M <_ K )
211	24, 210	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ K )
212	211	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> M <_ K )
213		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
214	213	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. ZZ )
215	214	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
216	159	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> N e. RR )
217	216	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
218	173	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
219		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( M ... N ) -> x <_ N )
220	219	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ N )
221	217	ltp1d 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N < ( N + 1 ) )
222	215, 217, 218, 220, 221	lelttrd 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < ( N + 1 ) )
223	215, 222	gtned 8132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) =/= x )
224	223	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) =/= x )
225	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
226	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
227		f1fveq 5815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( `' F ` x ) <-> ( N + 1 ) = x ) )
228	225, 226, 201, 227	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( `' F ` x ) <-> ( N + 1 ) = x ) )
229	228	necon3bid 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' F ` ( N + 1 ) ) =/= ( `' F ` x ) <-> ( N + 1 ) =/= x ) )
230	224, 229	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) =/= ( `' F ` x ) )
231	11	neeq1i 2379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K =/= ( `' F ` x ) <-> ( `' F ` ( N + 1 ) ) =/= ( `' F ` x ) )
232	230, 231	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K =/= ( `' F ` x ) )
233	232	necomd 2450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) =/= K )
234	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
235		zapne 9391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` x ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( `' F ` x ) # K <-> ( `' F ` x ) =/= K ) )
236	203, 234, 235	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) # K <-> ( `' F ` x ) =/= K ) )
237	233, 236	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) # K )
238	203	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. RR )
239		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> -. ( `' F ` x ) < K )
240	208, 238, 239	nltled 8140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K <_ ( `' F ` x ) )
241	208, 238, 240	leltapd 8658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( K < ( `' F ` x ) <-> ( `' F ` x ) # K ) )
242	237, 241	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K < ( `' F ` x ) )
243		zltlem1 9374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ ( `' F ` x ) e. ZZ ) -> ( K < ( `' F ` x ) <-> K <_ ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
244	234, 203, 243	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( K < ( `' F ` x ) <-> K <_ ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) )
245	242, 244	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K <_ ( ( `' F ` x ) - 1 ) )
246	245, 198	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> K <_ k )
247	207, 208, 209, 212, 246	letrd 8143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> M <_ k )
248		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( `' F ` x ) <_ ( N + 1 ) )
249	202, 248	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) <_ ( N + 1 ) )
250	216	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> N e. RR )
251		1re 8018	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
252		lesubadd 8453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) <_ N <-> ( `' F ` x ) <_ ( N + 1 ) ) )
253	251, 252	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F ` x ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) <_ N <-> ( `' F ` x ) <_ ( N + 1 ) ) )
254	238, 250, 253	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) <_ N <-> ( `' F ` x ) <_ ( N + 1 ) ) )
255	249, 254	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) - 1 ) <_ N )
256	198, 255	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> k <_ N )
257	196, 197, 205, 247, 256	elfzd 10082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
258	208, 209, 246	lensymd 8141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> -. k < K )
259	258, 93	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
260	198	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) = ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) + 1 ) )
261	203	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( `' F ` x ) e. CC )
262		npcan 8228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F ` x ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) + 1 ) = ( `' F ` x ) )
263	261, 144, 262	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( `' F ` x ) - 1 ) + 1 ) = ( `' F ` x ) )
264	260, 263	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) = ( `' F ` x ) )
265	264	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( `' F ` x ) ) )
266	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
267	266, 201, 188	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
268	259, 265, 267	3eqtrrd 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
269	257, 268	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ ( -. ( `' F ` x ) < K /\ k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) )
270	269	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ -. ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = ( ( `' F ` x ) - 1 ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
271	195, 270	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) /\ -. ( `' F ` x ) < K ) -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
272		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID ( `' F ` x ) < K -> ( ( `' F ` x ) < K \/ -. ( `' F ` x ) < K ) )
273	39, 272	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( `' F ` x ) < K \/ -. ( `' F ` x ) < K ) )
274	193, 271, 273	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
275	274	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) -> ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) ) )
276	154, 275	impbid 129	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ x = ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) ) <-> ( x e. ( M ... N ) /\ k = if ( ( `' F ` x ) < K , ( `' F ` x ) , ( ( `' F ` x ) - 1 ) ) ) ) )
277	1, 29, 40, 276	f1od 6121	1 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   `'ccnv 4658   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   # cap 8600   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10591