4sqlemsdc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlemsdc 12538

Description: Lemma for 4sq 12548. The property of being the sum of four squares is decidable.

The proof involves showing that (for a particular ) there are only a finite number of possible ways that it could be the sum of four squares, so checking each of those possibilities in turn decides whether the number is the sum of four squares. If this proof is hard to follow, especially because of its length, the simplified versions at 4sqexercise1 12536 and 4sqexercise2 12537 may help clarify, as they are using very much the same techniques on simplified versions of this lemma. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4sqlem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlemsdc	DECID

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem 4sqlemsdc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9351	. . . 4
2		nn0z 9337	. . . 4
3	1	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
4	2	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
5	3	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
8	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		zsqcl2 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		zsqcl2 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 17	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		zsqcl2 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		zsqcl2 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	22, 26	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		zdceq 9392	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
31	9, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
32	7, 8, 31	exfzdc 10307	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
33	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	34	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36	renegcld 8399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36	resqcld 10770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35	znegcld 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	35	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		sqneg 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	19	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56, 50	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		nn0addge2 9287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	39, 48, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nn0addge2 9287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	39, 51, 58, 60, 62	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 64	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 39, 37, 46, 65	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	36, 37, 66	lenegcon1d 8546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	36, 39, 37, 69, 65	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	33, 34, 35, 67, 70	elfzd 10082	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72, 23	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	pm5.32rd 451	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	rexbidv2 2497	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	dcbid 839	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID DECID
78	32, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
79	5, 6, 78	exfzdc 10307	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID
80	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	81	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83	renegcld 8399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83	resqcld 10770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82	znegcld 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	82	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		sqneg 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	90, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 95	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 96	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		nn0addge1 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	86, 95, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	97, 102, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	86, 97, 104, 106, 107	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	85, 86, 84, 93, 110	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 84, 111	lenegcon1d 8546	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83, 86, 84, 114, 110	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	80, 81, 82, 112, 115	elfzd 10082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117, 19	impbid1 142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	rexlimdva2 2614	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	pm5.32rd 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	rexbidv2 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	dcbid 839	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID DECID
123	79, 122	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
124	3, 4, 123	exfzdc 10307	. . . . 5 $/\$ DECID
125	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	128	renegcld 8399	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128	resqcld 10770	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	127	znegcld 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	127	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		sqneg 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 146	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		nn0addge2 9287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
150	131, 140, 149	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		nn0addge1 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	143, 146, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 143, 148, 150, 152	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	130, 131, 129, 138, 155	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	128, 129, 156	lenegcon1d 8546	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	128, 131, 129, 159, 155	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125, 126, 127, 157, 160	elfzd 10082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162, 14	impbid1 142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	r19.29an 2636	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	rexlimdva2 2614	. . . . . . . 8 $/\$
166	165	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexbidv2 2497	. . . . . 6 $/\$
168	167	dcbid 839	. . . . 5 $/\$ DECID DECID
169	124, 168	mpbird 167	. . . 4 $/\$ DECID
170	1, 2, 169	exfzdc 10307	. . 3 DECID
171	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	172	zred 9439	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174	renegcld 8399	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	174	resqcld 10770	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	173	znegcld 9441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	173	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182		sqneg 10669	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 183	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	16	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	185, 186	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	187, 191	nn0addcld 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194		nn0addge1 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	177, 186, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	188, 191, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	177, 188, 193, 195, 196	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 198	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	176, 177, 175, 184, 199	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	174, 175, 200	lenegcon1d 8546	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		zzlesq 10779	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	174, 177, 175, 203, 199	letrd 8143	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	171, 172, 173, 201, 204	elfzd 10082	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206, 10	impbid1 142	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	r19.29an 2636	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	r19.29an 2636	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
210	209	rexlimdva2 2614	. . . . . 6
211	210	pm5.32rd 451	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	211	rexbidv2 2497	. . . 4
213	212	dcbid 839	. . 3 DECID DECID
214	170, 213	mpbird 167	. 2 DECID
215		eqeq1 2200	. . . . . 6
216	215	2rexbidv 2519	. . . . 5
217	216	2rexbidv 2519	. . . 4
218		4sqlem11.1	. . . 4
219	217, 218	elab2g 2907	. . 3
220	219	dcbid 839	. 2 DECID DECID
221	214, 220	mpbird 167	1 DECID

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2164

cab 2179

wrex 2473 class class class wbr 4029 (class class class)co 5918

cc 7870

cr 7871

caddc 7875

cle 8055

cneg 8191

c2 9033

cn0 9240

cz 9317

cfz 10074

cexp 10609

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-seqfrec 10519 df-exp 10610

This theorem is referenced by: 4sqlem13m 12541 4sqlem14 12542 4sqlem17 12545 4sqlem18 12546

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