4sqlemsdc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlemsdc 12938

Description: Lemma for 4sq 12948. The property of being the sum of four squares is decidable.

The proof involves showing that (for a particular ) there are only a finite number of possible ways that it could be the sum of four squares, so checking each of those possibilities in turn decides whether the number is the sum of four squares. If this proof is hard to follow, especially because of its length, the simplified versions at 4sqexercise1 12936 and 4sqexercise2 12937 may help clarify, as they are using very much the same techniques on simplified versions of this lemma. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4sqlem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlemsdc	DECID

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem 4sqlemsdc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9491	. . . 4
2		nn0z 9477	. . . 4
3	1	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
4	2	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
5	3	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
8	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		elfzelz 10233	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		elfzelz 10233	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 17	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10233	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		elfzelz 10233	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	22, 26	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0zd 9578	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		zdceq 9533	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
31	9, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
32	7, 8, 31	exfzdc 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
33	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	34	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35	znegcld 9582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	35	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	19	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56, 50	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		nn0addge2 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	39, 48, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nn0addge2 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	39, 51, 58, 60, 62	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 64	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 39, 37, 46, 65	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	36, 37, 66	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	36, 39, 37, 69, 65	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	33, 34, 35, 67, 70	elfzd 10224	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72, 23	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	pm5.32rd 451	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	rexbidv2 2533	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	dcbid 843	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID DECID
78	32, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
79	5, 6, 78	exfzdc 10458	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID
80	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	81	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82	znegcld 9582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	82	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	90, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 95	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 96	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		nn0addge1 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	86, 95, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	97, 102, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	86, 97, 104, 106, 107	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	85, 86, 84, 93, 110	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 84, 111	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83, 86, 84, 114, 110	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	80, 81, 82, 112, 115	elfzd 10224	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117, 19	impbid1 142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	rexlimdva2 2651	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	pm5.32rd 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	rexbidv2 2533	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	dcbid 843	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID DECID
123	79, 122	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
124	3, 4, 123	exfzdc 10458	. . . . 5 $/\$ DECID
125	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	128	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	127	znegcld 9582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	127	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 146	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		nn0addge2 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
150	131, 140, 149	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		nn0addge1 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	143, 146, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 143, 148, 150, 152	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	130, 131, 129, 138, 155	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	128, 129, 156	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	128, 131, 129, 159, 155	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125, 126, 127, 157, 160	elfzd 10224	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162, 14	impbid1 142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	r19.29an 2673	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	rexlimdva2 2651	. . . . . . . 8 $/\$
166	165	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexbidv2 2533	. . . . . 6 $/\$
168	167	dcbid 843	. . . . 5 $/\$ DECID DECID
169	124, 168	mpbird 167	. . . 4 $/\$ DECID
170	1, 2, 169	exfzdc 10458	. . 3 DECID
171	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	zred 9580	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	172	zred 9580	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	174	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	173	znegcld 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	173	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 183	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	16	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	185, 186	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	187, 191	nn0addcld 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194		nn0addge1 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	177, 186, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	188, 191, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	177, 188, 193, 195, 196	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 198	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	176, 177, 175, 184, 199	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	174, 175, 200	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	174, 177, 175, 203, 199	letrd 8281	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	171, 172, 173, 201, 204	elfzd 10224	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206, 10	impbid1 142	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	r19.29an 2673	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	r19.29an 2673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
210	209	rexlimdva2 2651	. . . . . 6
211	210	pm5.32rd 451	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	211	rexbidv2 2533	. . . 4
213	212	dcbid 843	. . 3 DECID DECID
214	170, 213	mpbird 167	. 2 DECID
215		eqeq1 2236	. . . . . 6
216	215	2rexbidv 2555	. . . . 5
217	216	2rexbidv 2555	. . . 4
218		4sqlem11.1	. . . 4
219	217, 218	elab2g 2950	. . 3
220	219	dcbid 843	. 2 DECID DECID
221	214, 220	mpbird 167	1 DECID

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200

cab 2215

wrex 2509 class class class wbr 4083 (class class class)co 6007

cc 8008

cr 8009

caddc 8013

cle 8193

cneg 8329

c2 9172

cn0 9380

cz 9457

cfz 10216

cexp 10772

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-seqfrec 10682 df-exp 10773

This theorem is referenced by: 4sqlem13m 12941 4sqlem14 12942 4sqlem17 12945 4sqlem18 12946

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