4sqlemsdc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlemsdc 12541

Description: Lemma for 4sq 12551. The property of being the sum of four squares is decidable.

The proof involves showing that (for a particular ) there are only a finite number of possible ways that it could be the sum of four squares, so checking each of those possibilities in turn decides whether the number is the sum of four squares. If this proof is hard to follow, especially because of its length, the simplified versions at 4sqexercise1 12539 and 4sqexercise2 12540 may help clarify, as they are using very much the same techniques on simplified versions of this lemma. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4sqlem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlemsdc	DECID

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem 4sqlemsdc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9354	. . . 4
2		nn0z 9340	. . . 4
3	1	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
4	2	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
5	3	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
8	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		zsqcl2 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		zsqcl2 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 17	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		zsqcl2 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		zsqcl2 10691	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	22, 26	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		zdceq 9395	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
31	9, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
32	7, 8, 31	exfzdc 10310	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
33	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	34	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36	renegcld 8401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35	znegcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	35	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		sqneg 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	19	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56, 50	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		nn0addge2 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	39, 48, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nn0addge2 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	39, 51, 58, 60, 62	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 64	breqtrrd 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 39, 37, 46, 65	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	36, 37, 66	lenegcon1d 8548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	36, 39, 37, 69, 65	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	33, 34, 35, 67, 70	elfzd 10085	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72, 23	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	pm5.32rd 451	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	rexbidv2 2497	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	dcbid 839	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID DECID
78	32, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
79	5, 6, 78	exfzdc 10310	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID
80	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	81	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83	renegcld 8401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82	znegcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	82	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		sqneg 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	90, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 95	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 96	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		nn0addge1 9289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	86, 95, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	97, 102, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	86, 97, 104, 106, 107	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	breqtrrd 4058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	85, 86, 84, 93, 110	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 84, 111	lenegcon1d 8548	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83, 86, 84, 114, 110	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	80, 81, 82, 112, 115	elfzd 10085	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117, 19	impbid1 142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	rexlimdva2 2614	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	pm5.32rd 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	rexbidv2 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	dcbid 839	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID DECID
123	79, 122	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
124	3, 4, 123	exfzdc 10310	. . . . 5 $/\$ DECID
125	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	128	renegcld 8401	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	127	znegcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	127	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		sqneg 10672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 146	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		nn0addge2 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
150	131, 140, 149	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		nn0addge1 9289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	143, 146, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 143, 148, 150, 152	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	breqtrrd 4058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	130, 131, 129, 138, 155	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	128, 129, 156	lenegcon1d 8548	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	128, 131, 129, 159, 155	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125, 126, 127, 157, 160	elfzd 10085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162, 14	impbid1 142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	r19.29an 2636	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	rexlimdva2 2614	. . . . . . . 8 $/\$
166	165	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexbidv2 2497	. . . . . 6 $/\$
168	167	dcbid 839	. . . . 5 $/\$ DECID DECID
169	124, 168	mpbird 167	. . . 4 $/\$ DECID
170	1, 2, 169	exfzdc 10310	. . 3 DECID
171	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	zred 9442	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	172	zred 9442	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174	renegcld 8401	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	174	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	173	znegcld 9444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	173	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182		sqneg 10672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 183	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	16	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	185, 186	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	187, 191	nn0addcld 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194		nn0addge1 9289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	177, 186, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	188, 191, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	177, 188, 193, 195, 196	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 198	breqtrrd 4058	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	176, 177, 175, 184, 199	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	174, 175, 200	lenegcon1d 8548	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		zzlesq 10782	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	174, 177, 175, 203, 199	letrd 8145	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	171, 172, 173, 201, 204	elfzd 10085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206, 10	impbid1 142	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	r19.29an 2636	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	r19.29an 2636	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
210	209	rexlimdva2 2614	. . . . . 6
211	210	pm5.32rd 451	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	211	rexbidv2 2497	. . . 4
213	212	dcbid 839	. . 3 DECID DECID
214	170, 213	mpbird 167	. 2 DECID
215		eqeq1 2200	. . . . . 6
216	215	2rexbidv 2519	. . . . 5
217	216	2rexbidv 2519	. . . 4
218		4sqlem11.1	. . . 4
219	217, 218	elab2g 2908	. . 3
220	219	dcbid 839	. 2 DECID DECID
221	214, 220	mpbird 167	1 DECID

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 835

wceq 1364

wcel 2164

cab 2179

wrex 2473 class class class wbr 4030 (class class class)co 5919

cc 7872

cr 7873

caddc 7877

cle 8057

cneg 8193

c2 9035

cn0 9243

cz 9320

cfz 10077

cexp 10612

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-seqfrec 10522 df-exp 10613

This theorem is referenced by: 4sqlem13m 12544 4sqlem14 12545 4sqlem17 12548 4sqlem18 12549

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