4sqlemsdc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlemsdc 12923

Description: Lemma for 4sq 12933. The property of being the sum of four squares is decidable.

The proof involves showing that (for a particular ) there are only a finite number of possible ways that it could be the sum of four squares, so checking each of those possibilities in turn decides whether the number is the sum of four squares. If this proof is hard to follow, especially because of its length, the simplified versions at 4sqexercise1 12921 and 4sqexercise2 12922 may help clarify, as they are using very much the same techniques on simplified versions of this lemma. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4sqlem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlemsdc	DECID

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem 4sqlemsdc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9480	. . . 4
2		nn0z 9466	. . . 4
3	1	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
4	2	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
5	3	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
8	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 17	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		elfzelz 10221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		zsqcl2 10839	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	22, 26	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		zdceq 9522	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
31	9, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
32	7, 8, 31	exfzdc 10446	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
33	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	34	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36	renegcld 8526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35	znegcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	35	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		sqneg 10820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	19	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56, 50	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		nn0addge2 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	39, 48, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nn0addge2 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	39, 51, 58, 60, 62	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 64	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 39, 37, 46, 65	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	36, 37, 66	lenegcon1d 8674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	36, 39, 37, 69, 65	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	33, 34, 35, 67, 70	elfzd 10212	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72, 23	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	pm5.32rd 451	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	rexbidv2 2533	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	dcbid 843	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID DECID
78	32, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
79	5, 6, 78	exfzdc 10446	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID
80	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	81	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83	renegcld 8526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82	znegcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	82	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		sqneg 10820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	90, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 95	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	14	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 96	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		nn0addge1 9415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	86, 95, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	97, 102, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	86, 97, 104, 106, 107	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	85, 86, 84, 93, 110	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 84, 111	lenegcon1d 8674	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83, 86, 84, 114, 110	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	80, 81, 82, 112, 115	elfzd 10212	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117, 19	impbid1 142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	rexlimdva2 2651	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	pm5.32rd 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	rexbidv2 2533	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	dcbid 843	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID DECID
123	79, 122	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
124	3, 4, 123	exfzdc 10446	. . . . 5 $/\$ DECID
125	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126	zred 9569	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	128	renegcld 8526	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	127	znegcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	127	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		sqneg 10820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	10	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 146	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		nn0addge2 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
150	131, 140, 149	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		nn0addge1 9415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	143, 146, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 143, 148, 150, 152	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	130, 131, 129, 138, 155	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	128, 129, 156	lenegcon1d 8674	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	128, 131, 129, 159, 155	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125, 126, 127, 157, 160	elfzd 10212	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162, 14	impbid1 142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	r19.29an 2673	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	rexlimdva2 2651	. . . . . . . 8 $/\$
166	165	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexbidv2 2533	. . . . . 6 $/\$
168	167	dcbid 843	. . . . 5 $/\$ DECID DECID
169	124, 168	mpbird 167	. . . 4 $/\$ DECID
170	1, 2, 169	exfzdc 10446	. . 3 DECID
171	1	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	2	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	zred 9569	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	172	zred 9569	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174	renegcld 8526	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	174	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	173	znegcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	173	zcnd 9570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182		sqneg 10820	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 183	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	16	ad5antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	185, 186	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	21	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	25	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	187, 191	nn0addcld 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0red 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194		nn0addge1 9415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	177, 186, 194	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	188, 191, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	177, 188, 193, 195, 196	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 198	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	176, 177, 175, 184, 199	letrd 8270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	174, 175, 200	lenegcon1d 8674	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		zzlesq 10930	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	174, 177, 175, 203, 199	letrd 8270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	171, 172, 173, 201, 204	elfzd 10212	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206, 10	impbid1 142	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	r19.29an 2673	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	r19.29an 2673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
210	209	rexlimdva2 2651	. . . . . 6
211	210	pm5.32rd 451	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	211	rexbidv2 2533	. . . 4
213	212	dcbid 843	. . 3 DECID DECID
214	170, 213	mpbird 167	. 2 DECID
215		eqeq1 2236	. . . . . 6
216	215	2rexbidv 2555	. . . . 5
217	216	2rexbidv 2555	. . . 4
218		4sqlem11.1	. . . 4
219	217, 218	elab2g 2950	. . 3
220	219	dcbid 843	. 2 DECID DECID
221	214, 220	mpbird 167	1 DECID

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200

cab 2215

wrex 2509 class class class wbr 4083 (class class class)co 6001

cc 7997

cr 7998

caddc 8002

cle 8182

cneg 8318

c2 9161

cn0 9369

cz 9446

cfz 10204

cexp 10760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-seqfrec 10670 df-exp 10761

This theorem is referenced by: 4sqlem13m 12926 4sqlem14 12927 4sqlem17 12930 4sqlem18 12931

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