4sqlemsdc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlemsdc 13208

Description: Lemma for 4sq 13218. The property of being the sum of four squares is decidable.

The proof involves showing that (for a particular ) there are only a finite number of possible ways that it could be the sum of four squares, so checking each of those possibilities in turn decides whether the number is the sum of four squares. If this proof is hard to follow, especially because of its length, the simplified versions at 4sqexercise1 13206 and 4sqexercise2 13207 may help clarify, as they are using very much the same techniques on simplified versions of this lemma. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
4sqlem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlemsdc	DECID

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem 4sqlemsdc**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9689	. . . 4
2		nn0z 9675	. . . 4
3	1	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
4	2	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
5	3	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
8	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	10	ad4antlr 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		zsqcl2 11075	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		zsqcl2 11075	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 17	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		zsqcl2 11075	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		zsqcl2 11075	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	22, 26	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		zdceq 9731	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
31	9, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ DECID
32	7, 8, 31	exfzdc 10676	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
33	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	34	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	36	renegcld 8714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35	znegcld 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	35	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		sqneg 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	19	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	10	ad5antlr 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	14	ad4antlr 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	53, 55	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56, 50	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		nn0addge2 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
60	39, 48, 59	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nn0addge2 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
62	51, 56, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	39, 51, 58, 60, 62	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 64	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 39, 37, 46, 65	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	36, 37, 66	lenegcon1d 8862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	36, 39, 37, 69, 65	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	33, 34, 35, 67, 70	elfzd 10436	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72, 23	impbid1 142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	pm5.32rd 455	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	rexbidv2 2553	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	dcbid 850	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ DECID DECID
78	32, 77	mpbird 167	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
79	5, 6, 78	exfzdc 10676	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID
80	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	2	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	82	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	81	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	83	renegcld 8714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	83	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	82	znegcld 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	82	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		sqneg 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	90, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	89, 92	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	25	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	94, 95	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	10	ad5antlr 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	14	ad4antlr 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	99, 101	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 96	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		nn0addge1 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106	86, 95, 105	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	97, 102, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	86, 97, 104, 106, 107	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	108, 109	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	85, 86, 84, 93, 110	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 84, 111	lenegcon1d 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83, 86, 84, 114, 110	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	80, 81, 82, 112, 115	elfzd 10436	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117, 19	impbid1 142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	rexlimdva2 2671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	119	pm5.32rd 455	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	120	rexbidv2 2553	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
122	121	dcbid 850	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ DECID DECID
123	79, 122	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$ DECID
124	3, 4, 123	exfzdc 10676	. . . . 5 $/\$ DECID
125	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	2	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	126	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	128	renegcld 8714	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	127	znegcld 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	132, 133	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	127	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		sqneg 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137	135, 136	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	134, 137	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	10	ad5antlr 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	140, 141	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	21	ad4antlr 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	25	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	142, 146	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149		nn0addge2 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
150	131, 140, 149	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		nn0addge1 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	143, 146, 151	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	131, 143, 148, 150, 152	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	130, 131, 129, 138, 155	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	128, 129, 156	lenegcon1d 8862	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	128, 131, 129, 159, 155	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125, 126, 127, 157, 160	elfzd 10436	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162, 14	impbid1 142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	163	r19.29an 2693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	rexlimdva2 2671	. . . . . . . 8 $/\$
166	165	pm5.32rd 455	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
167	166	rexbidv2 2553	. . . . . 6 $/\$
168	167	dcbid 850	. . . . 5 $/\$ DECID DECID
169	124, 168	mpbird 167	. . . 4 $/\$ DECID
170	1, 2, 169	exfzdc 10676	. . 3 DECID
171	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	2	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	zred 9779	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	172	zred 9779	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174	renegcld 8714	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	174	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	173	znegcld 9781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	173	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182		sqneg 11056	. . . . . . . . . . . . . . . 16
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 183	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	16	ad5antlr 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	185, 186	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	21	ad4antlr 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	25	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	189, 190	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	187, 191	nn0addcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194		nn0addge1 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
195	177, 186, 194	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	188, 191, 151	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197	177, 188, 193, 195, 196	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
198		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	197, 198	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	176, 177, 175, 184, 199	letrd 8457	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	174, 175, 200	lenegcon1d 8862	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		zzlesq 11167	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	174, 177, 175, 203, 199	letrd 8457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	171, 172, 173, 201, 204	elfzd 10436	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
207	206, 10	impbid1 142	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	207	r19.29an 2693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	r19.29an 2693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
210	209	rexlimdva2 2671	. . . . . 6
211	210	pm5.32rd 455	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	211	rexbidv2 2553	. . . 4
213	212	dcbid 850	. . 3 DECID DECID
214	170, 213	mpbird 167	. 2 DECID
215		eqeq1 2245	. . . . . 6
216	215	2rexbidv 2575	. . . . 5
217	216	2rexbidv 2575	. . . 4
218		4sqlem11.1	. . . 4
219	217, 218	elab2g 2973	. . 3
220	219	dcbid 850	. 2 DECID DECID
221	214, 220	mpbird 167	1 DECID

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

cab 2224

wrex 2529 class class class wbr 4131 (class class class)co 6088

cc 8183

cr 8184

caddc 8188

cle 8367

cneg 8505

c2 9364

cn0 9574

cz 9655

cfz 10428

cexp 10996

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-fz 10429 df-fzo 10567 df-seqfrec 10906 df-exp 10997

This theorem is used by: 4sqlem13m 13211 4sqlem14 13212 4sqlem17 13215 4sqlem18 13216

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