Theorem 4sqexercise2 13178

Description: Exercise which may help in understanding the proof of 4sqlemsdc 13179. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sqexercise2.s	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqexercise2	|- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, n)

Proof of Theorem 4sqexercise2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9678	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> -u A e. ZZ )
2		nn0z 9664	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
3	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> -u A e. ZZ )
4	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
6		elfzelz 10428	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u A ... A ) -> x e. ZZ )
7	6	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> x e. ZZ )
8		zsqcl 11047	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
10		elfzelz 10428	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( -u A ... A ) -> y e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> y e. ZZ )
12		zsqcl 11047	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	zaddcld 9772	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ )
15		zdceq 9720	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
17	3, 4, 16	exfzdc 10659	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A e. ZZ )
19	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. ZZ )
20		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21	20	zred 9768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
22	19	zred 9768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. RR )
23	21	renegcld 8707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y e. RR )
24		zsqcl2 11054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
27		znegcl 9675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
28		zzlesq 11146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
30		zcn 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
31		sqneg 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
33	29, 32	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
34	20, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
35	6	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
36		zsqcl2 11054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
38		nn0addge2 9610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	26, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
40		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
41	39, 40	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ A )
42	23, 26, 22, 34, 41	letrd 8450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ A )
43	21, 22, 42	lenegcon1d 8855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A <_ y )
44		zzlesq 11146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> y <_ ( y ^ 2 ) )
45	20, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ ( y ^ 2 ) )
46	21, 26, 22, 45, 41	letrd 8450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ A )
47	18, 19, 20, 43, 46	elfzd 10419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ( -u A ... A ) )
48	47, 40	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
50	10	anim1i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
51	49, 50	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
52	51	rexbidv2 2553	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
53	52	dcbid 850	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> (DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
54	17, 53	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
55	1, 2, 54	exfzdc 10659	. . 3 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
56	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A e. ZZ )
57	2	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. ZZ )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
59	58	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
60	57	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. RR )
61	59	renegcld 8707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. RR )
62	59	resqcld 11137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
63	58	znegcld 9770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
64		zzlesq 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ZZ -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
66	58	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
67		sqneg 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
69	65, 68	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( x ^ 2 ) )
70	24	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
71		nn0addge1 9609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
72	62, 70, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
73		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
74	72, 73	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ A )
75	61, 62, 60, 69, 74	letrd 8450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ A )
76	59, 60, 75	lenegcon1d 8855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A <_ x )
77		zzlesq 11146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x <_ ( x ^ 2 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
79	59, 62, 60, 78, 74	letrd 8450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ A )
80	56, 57, 58, 76, 79	elfzd 10419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ( -u A ... A ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ -> x e. ( -u A ... A ) ) )
82	81, 6	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) )
83	82	rexlimdva2 2671	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) ) )
84	83	pm5.32rd 455	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( ( x e. ZZ /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( x e. ( -u A ... A ) /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
85	84	rexbidv2 2553	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
86	85	dcbid 850	. . 3 |- ( A e. NN0 -> (DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
87	55, 86	mpbird 167	. 2 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
88		eqeq1 2245	. . . . 5 |- ( n = A -> ( n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
89	88	2rexbidv 2575	. . . 4 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
90		4sqexercise2.s	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }
91	89, 90	elab2g 2973	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
92	91	dcbid 850	. 2 |- ( A e. NN0 -> (DECID A e. S <-> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
93	87, 92	mpbird 167	1 |- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   + caddc 8182   <_ cle 8361   -ucneg 8498   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

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