Theorem 4sqexercise2 12977

Description: Exercise which may help in understanding the proof of 4sqlemsdc 12978. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sqexercise2.s	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqexercise2	|- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, n)

Proof of Theorem 4sqexercise2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9513	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> -u A e. ZZ )
2		nn0z 9499	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
3	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> -u A e. ZZ )
4	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
6		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u A ... A ) -> x e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> x e. ZZ )
8		zsqcl 10873	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
10		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( -u A ... A ) -> y e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> y e. ZZ )
12		zsqcl 10873	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	zaddcld 9606	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ )
15		zdceq 9555	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
17	3, 4, 16	exfzdc 10487	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A e. ZZ )
19	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. ZZ )
20		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21	20	zred 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
22	19	zred 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. RR )
23	21	renegcld 8559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y e. RR )
24		zsqcl2 10880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
27		znegcl 9510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
28		zzlesq 10971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
30		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
31		sqneg 10861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
33	29, 32	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
34	20, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
35	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
36		zsqcl2 10880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
38		nn0addge2 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	26, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
40		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
41	39, 40	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ A )
42	23, 26, 22, 34, 41	letrd 8303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ A )
43	21, 22, 42	lenegcon1d 8707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A <_ y )
44		zzlesq 10971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> y <_ ( y ^ 2 ) )
45	20, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ ( y ^ 2 ) )
46	21, 26, 22, 45, 41	letrd 8303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ A )
47	18, 19, 20, 43, 46	elfzd 10251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ( -u A ... A ) )
48	47, 40	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
50	10	anim1i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
51	49, 50	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
52	51	rexbidv2 2535	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
53	52	dcbid 845	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> (DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
54	17, 53	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
55	1, 2, 54	exfzdc 10487	. . 3 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
56	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A e. ZZ )
57	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. ZZ )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
59	58	zred 9602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
60	57	zred 9602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. RR )
61	59	renegcld 8559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. RR )
62	59	resqcld 10962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
63	58	znegcld 9604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
64		zzlesq 10971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ZZ -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
66	58	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
67		sqneg 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
69	65, 68	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( x ^ 2 ) )
70	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
71		nn0addge1 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
72	62, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
73		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
74	72, 73	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ A )
75	61, 62, 60, 69, 74	letrd 8303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ A )
76	59, 60, 75	lenegcon1d 8707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A <_ x )
77		zzlesq 10971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x <_ ( x ^ 2 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
79	59, 62, 60, 78, 74	letrd 8303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ A )
80	56, 57, 58, 76, 79	elfzd 10251	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ( -u A ... A ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ -> x e. ( -u A ... A ) ) )
82	81, 6	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) )
83	82	rexlimdva2 2653	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) ) )
84	83	pm5.32rd 451	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( ( x e. ZZ /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( x e. ( -u A ... A ) /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
85	84	rexbidv2 2535	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
86	85	dcbid 845	. . 3 |- ( A e. NN0 -> (DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
87	55, 86	mpbird 167	. 2 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
88		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( n = A -> ( n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
89	88	2rexbidv 2557	. . . 4 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
90		4sqexercise2.s	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }
91	89, 90	elab2g 2953	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
92	91	dcbid 845	. 2 |- ( A e. NN0 -> (DECID A e. S <-> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
93	87, 92	mpbird 167	1 |- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   + caddc 8035   <_ cle 8215   -ucneg 8351   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ...cfz 10243   ^cexp 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802

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