Theorem 4sqexercise2 12434

Description: Exercise which may help in understanding the proof of 4sqlemsdc 12435. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sqexercise2.s	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqexercise2	|- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, n)

Proof of Theorem 4sqexercise2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9318	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> -u A e. ZZ )
2		nn0z 9304	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
3	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> -u A e. ZZ )
4	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
6		elfzelz 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u A ... A ) -> x e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> x e. ZZ )
8		zsqcl 10625	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
10		elfzelz 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( -u A ... A ) -> y e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> y e. ZZ )
12		zsqcl 10625	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	zaddcld 9410	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ )
15		zdceq 9359	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
17	3, 4, 16	exfzdc 10272	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A e. ZZ )
19	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. ZZ )
20		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21	20	zred 9406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
22	19	zred 9406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. RR )
23	21	renegcld 8368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y e. RR )
24		zsqcl2 10632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 9261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
27		znegcl 9315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
28		zzlesq 10723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
30		zcn 9289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
31		sqneg 10613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
33	29, 32	breqtrd 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
34	20, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
35	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
36		zsqcl2 10632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
38		nn0addge2 9254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	26, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
40		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
41	39, 40	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ A )
42	23, 26, 22, 34, 41	letrd 8112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ A )
43	21, 22, 42	lenegcon1d 8515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A <_ y )
44		zzlesq 10723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> y <_ ( y ^ 2 ) )
45	20, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ ( y ^ 2 ) )
46	21, 26, 22, 45, 41	letrd 8112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ A )
47	18, 19, 20, 43, 46	elfzd 10048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ( -u A ... A ) )
48	47, 40	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
50	10	anim1i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
51	49, 50	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
52	51	rexbidv2 2493	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
53	52	dcbid 839	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> (DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
54	17, 53	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
55	1, 2, 54	exfzdc 10272	. . 3 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
56	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A e. ZZ )
57	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. ZZ )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
59	58	zred 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
60	57	zred 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. RR )
61	59	renegcld 8368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. RR )
62	59	resqcld 10714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
63	58	znegcld 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
64		zzlesq 10723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ZZ -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
66	58	zcnd 9407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
67		sqneg 10613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
69	65, 68	breqtrd 4044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( x ^ 2 ) )
70	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
71		nn0addge1 9253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
72	62, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
73		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
74	72, 73	breqtrrd 4046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ A )
75	61, 62, 60, 69, 74	letrd 8112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ A )
76	59, 60, 75	lenegcon1d 8515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A <_ x )
77		zzlesq 10723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x <_ ( x ^ 2 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
79	59, 62, 60, 78, 74	letrd 8112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ A )
80	56, 57, 58, 76, 79	elfzd 10048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ( -u A ... A ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ -> x e. ( -u A ... A ) ) )
82	81, 6	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) )
83	82	rexlimdva2 2610	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) ) )
84	83	pm5.32rd 451	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( ( x e. ZZ /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( x e. ( -u A ... A ) /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
85	84	rexbidv2 2493	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
86	85	dcbid 839	. . 3 |- ( A e. NN0 -> (DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
87	55, 86	mpbird 167	. 2 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
88		eqeq1 2196	. . . . 5 |- ( n = A -> ( n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
89	88	2rexbidv 2515	. . . 4 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
90		4sqexercise2.s	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }
91	89, 90	elab2g 2899	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
92	91	dcbid 839	. 2 |- ( A e. NN0 -> (DECID A e. S <-> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
93	87, 92	mpbird 167	1 |- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   + caddc 7845   <_ cle 8024   -ucneg 8160   2c2 9001   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ...cfz 10040   ^cexp 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554

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