Theorem 4sqexercise2 12937

Description: Exercise which may help in understanding the proof of 4sqlemsdc 12938. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sqexercise2.s	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqexercise2	|- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, n)

Proof of Theorem 4sqexercise2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9491	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> -u A e. ZZ )
2		nn0z 9477	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
3	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> -u A e. ZZ )
4	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
6		elfzelz 10233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u A ... A ) -> x e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> x e. ZZ )
8		zsqcl 10844	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
10		elfzelz 10233	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( -u A ... A ) -> y e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> y e. ZZ )
12		zsqcl 10844	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	zaddcld 9584	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ )
15		zdceq 9533	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
17	3, 4, 16	exfzdc 10458	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A e. ZZ )
19	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. ZZ )
20		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21	20	zred 9580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
22	19	zred 9580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. RR )
23	21	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y e. RR )
24		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
27		znegcl 9488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
28		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
30		zcn 9462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
31		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
33	29, 32	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
34	20, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
35	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
36		zsqcl2 10851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
38		nn0addge2 9427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	26, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
40		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
41	39, 40	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ A )
42	23, 26, 22, 34, 41	letrd 8281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ A )
43	21, 22, 42	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A <_ y )
44		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> y <_ ( y ^ 2 ) )
45	20, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ ( y ^ 2 ) )
46	21, 26, 22, 45, 41	letrd 8281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ A )
47	18, 19, 20, 43, 46	elfzd 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ( -u A ... A ) )
48	47, 40	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
50	10	anim1i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
51	49, 50	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
52	51	rexbidv2 2533	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
53	52	dcbid 843	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> (DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
54	17, 53	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
55	1, 2, 54	exfzdc 10458	. . 3 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
56	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A e. ZZ )
57	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. ZZ )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
59	58	zred 9580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
60	57	zred 9580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. RR )
61	59	renegcld 8537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. RR )
62	59	resqcld 10933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
63	58	znegcld 9582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
64		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ZZ -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
66	58	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
67		sqneg 10832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
69	65, 68	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( x ^ 2 ) )
70	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
71		nn0addge1 9426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
72	62, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
73		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
74	72, 73	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ A )
75	61, 62, 60, 69, 74	letrd 8281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ A )
76	59, 60, 75	lenegcon1d 8685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A <_ x )
77		zzlesq 10942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x <_ ( x ^ 2 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
79	59, 62, 60, 78, 74	letrd 8281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ A )
80	56, 57, 58, 76, 79	elfzd 10224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ( -u A ... A ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ -> x e. ( -u A ... A ) ) )
82	81, 6	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) )
83	82	rexlimdva2 2651	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) ) )
84	83	pm5.32rd 451	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( ( x e. ZZ /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( x e. ( -u A ... A ) /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
85	84	rexbidv2 2533	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
86	85	dcbid 843	. . 3 |- ( A e. NN0 -> (DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
87	55, 86	mpbird 167	. 2 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
88		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( n = A -> ( n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
89	88	2rexbidv 2555	. . . 4 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
90		4sqexercise2.s	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }
91	89, 90	elab2g 2950	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
92	91	dcbid 843	. 2 |- ( A e. NN0 -> (DECID A e. S <-> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
93	87, 92	mpbird 167	1 |- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   + caddc 8013   <_ cle 8193   -ucneg 8329   2c2 9172   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ...cfz 10216   ^cexp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773

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