Theorem 4sqexercise2 12962

Description: Exercise which may help in understanding the proof of 4sqlemsdc 12963. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sqexercise2.s	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqexercise2	|- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Distinct variable group:   A, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, n)

Proof of Theorem 4sqexercise2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0negz 9503	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> -u A e. ZZ )
2		nn0z 9489	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
3	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> -u A e. ZZ )
4	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> A e. ZZ )
6		elfzelz 10250	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u A ... A ) -> x e. ZZ )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> x e. ZZ )
8		zsqcl 10862	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
10		elfzelz 10250	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( -u A ... A ) -> y e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> y e. ZZ )
12		zsqcl 10862	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( y ^ 2 ) e. ZZ )
14	9, 13	zaddcld 9596	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ )
15		zdceq 9545	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ y e. ( -u A ... A ) ) -> DECID A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
17	3, 4, 16	exfzdc 10476	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A e. ZZ )
19	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. ZZ )
20		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
21	20	zred 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
22	19	zred 9592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A e. RR )
23	21	renegcld 8549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y e. RR )
24		zsqcl2 10869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
26	25	nn0red 9446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
27		znegcl 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
28		zzlesq 10960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( -u y ^ 2 ) )
30		zcn 9474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
31		sqneg 10850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. CC -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> ( -u y ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
33	29, 32	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
34	20, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ ( y ^ 2 ) )
35	6	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
36		zsqcl2 10869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
38		nn0addge2 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	26, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
40		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
41	39, 40	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y ^ 2 ) <_ A )
42	23, 26, 22, 34, 41	letrd 8293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u y <_ A )
43	21, 22, 42	lenegcon1d 8697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> -u A <_ y )
44		zzlesq 10960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> y <_ ( y ^ 2 ) )
45	20, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ ( y ^ 2 ) )
46	21, 26, 22, 45, 41	letrd 8293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y <_ A )
47	18, 19, 20, 43, 46	elfzd 10241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> y e. ( -u A ... A ) )
48	47, 40	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) /\ ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
50	10	anim1i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
51	49, 50	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( ( y e. ZZ /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( y e. ( -u A ... A ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
52	51	rexbidv2 2533	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
53	52	dcbid 843	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> (DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. y e. ( -u A ... A ) A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
54	17, 53	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ x e. ( -u A ... A ) ) -> DECID E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
55	1, 2, 54	exfzdc 10476	. . 3 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
56	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A e. ZZ )
57	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. ZZ )
58		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
59	58	zred 9592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
60	57	zred 9592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A e. RR )
61	59	renegcld 8549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. RR )
62	59	resqcld 10951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
63	58	znegcld 9594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
64		zzlesq 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u x e. ZZ -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( -u x ^ 2 ) )
66	58	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
67		sqneg 10850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( -u x ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
69	65, 68	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ ( x ^ 2 ) )
70	24	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
71		nn0addge1 9438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
72	62, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
73		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
74	72, 73	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) <_ A )
75	61, 62, 60, 69, 74	letrd 8293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u x <_ A )
76	59, 60, 75	lenegcon1d 8697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> -u A <_ x )
77		zzlesq 10960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x <_ ( x ^ 2 ) )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ ( x ^ 2 ) )
79	59, 62, 60, 78, 74	letrd 8293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x <_ A )
80	56, 57, 58, 76, 79	elfzd 10241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. ( -u A ... A ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ -> x e. ( -u A ... A ) ) )
82	81, 6	impbid1 142	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN0 /\ y e. ZZ ) /\ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) )
83	82	rexlimdva2 2651	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> ( E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( x e. ZZ <-> x e. ( -u A ... A ) ) ) )
84	83	pm5.32rd 451	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> ( ( x e. ZZ /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( x e. ( -u A ... A ) /\ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) )
85	84	rexbidv2 2533	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
86	85	dcbid 843	. . 3 |- ( A e. NN0 -> (DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> DECID E. x e. ( -u A ... A ) E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
87	55, 86	mpbird 167	. 2 |- ( A e. NN0 -> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
88		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( n = A -> ( n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
89	88	2rexbidv 2555	. . . 4 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
90		4sqexercise2.s	. . . 4 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ n = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) }
91	89, 90	elab2g 2951	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
92	91	dcbid 843	. 2 |- ( A e. NN0 -> (DECID A e. S <-> DECID E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
93	87, 92	mpbird 167	1 |- ( A e. NN0 -> DECID A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   + caddc 8025   <_ cle 8205   -ucneg 8341   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ...cfz 10233   ^cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

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