Theorem seqfeq4g 10602

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq4.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqfeq4.f	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqfeq4g.f	|- ( ph -> F e. V )
seqfeq4g.p	|- ( ph -> .+ e. W )
seqfeq4g.q	|- ( ph -> Q e. X )
seqfeq4.cl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqfeq4.id	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x Q y ) )

Assertion

Ref	Expression
seqfeq4g	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, Q, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem seqfeq4g

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfeq4.m	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10098	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
5		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` M ) )
6	4, 5	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq M ( Q , F ) ` M ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq M ( Q , F ) ` M ) ) ) )
8		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = k -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` k ) )
9		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = k -> ( seq M ( Q , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) )
10	8, 9	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) ) )
12		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) )
13		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( seq M ( Q , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
17		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )
18	16, 17	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) <-> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` w ) = ( seq M ( Q , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) ) ) )
20		eluzel2 9597	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
21	1, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
22		seqfeq4g.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. V )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. V )
24		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
25		fvexg 5573	. . . . . . 7 |- ( ( F e. V /\ x e. _V ) -> ( F ` x ) e. _V )
26	23, 24, 25	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
27		seqfeq4g.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ e. W )
28		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
29		ovexg 5952	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ .+ e. W /\ y e. _V ) -> ( x .+ y ) e. _V )
30	24, 27, 28, 29	mp3an2ani 1355	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
31	21, 26, 30	seq3-1 10533	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
32		seqfeq4g.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. X )
33		ovexg 5952	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ Q e. X /\ y e. _V ) -> ( x Q y ) e. _V )
34	24, 32, 28, 33	mp3an2ani 1355	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x Q y ) e. _V )
35	21, 26, 34	seq3-1 10533	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
36	31, 35	eqtr4d 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq M ( Q , F ) ` M ) )
37	36	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( seq M ( Q , F ) ` M ) ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) )
39	38	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
40		oveq2 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
41		oveq2 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
42	40, 41	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) <-> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
43		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) )
44		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) )
45	43, 44	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( ( x .+ y ) = ( x Q y ) <-> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) ) )
46	45	ralbidv 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) = ( x Q y ) <-> A. y e. S ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) ) )
47		seqfeq4.id	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x Q y ) )
48	47	ralrimivva 2576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) = ( x Q y ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) = ( x Q y ) )
50		elfzouz 10217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
52	26	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
53		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> ph )
54	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> M e. ZZ )
55	3	elfzelzd 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. ZZ )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> N e. ZZ )
57		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... k ) -> x e. ZZ )
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> x e. ZZ )
59		elfzle1 10093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... k ) -> M <_ x )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> M <_ x )
61	58	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> x e. RR )
62		elfzoelz 10213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> k e. ZZ )
64	63	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> k e. RR )
65	56	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> N e. RR )
66		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M ... k ) -> x <_ k )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> x <_ k )
68		elfzofz 10229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ( M ... N ) )
69		elfzle2 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k <_ N )
71	70	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> k <_ N )
72	61, 64, 65, 67, 71	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> x <_ N )
73	54, 56, 58, 60, 72	elfzd 10082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> x e. ( M ... N ) )
74		seqfeq4.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
75	53, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( M ... k ) ) -> ( F ` x ) e. S )
76		seqfeq4.cl	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
77	47, 76	eqeltrrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
78	77	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
79		ssv 3201	. . . . . . . . . . . . 13 |- S C_ _V
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> S C_ _V )
81	34	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x Q y ) e. _V )
82	51, 52, 75, 78, 80, 81	seq3clss 10542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( Q , F ) ` k ) e. S )
83	46, 49, 82	rspcdva 2869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. y e. S ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ y ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q y ) )
84		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
85	84	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S ) )
86	74	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
88		fzofzp1 10294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
90	85, 87, 89	rspcdva 2869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. S )
91	42, 83, 90	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
93	39, 92	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
94	50	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
95	26	ad4ant14 514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
96	30	ad4ant14 514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x .+ y ) e. _V )
97	94, 95, 96	seq3p1 10536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) .+ ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
98	34	ad4ant14 514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x Q y ) e. _V )
99	94, 95, 98	seq3p1 10536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , F ) ` k ) Q ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
100	93, 97, 99	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) )
101	100	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` k ) = ( seq M ( Q , F ) ` k ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( Q , F ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
104	7, 11, 15, 19, 37, 103	fzind2 10306	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) ) )
105	3, 104	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( Q , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  gsumpropd2  12976