Theorem elfz5 10399

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9910	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
2		eluzel2 9905	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		elfz 10396	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3expa 1234	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		eluzle 9913	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
8	7	biantrurd 305	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzsplit2  10433  fzsplit3  10436  fznn0sub2  10513  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  seq3f1oleml  10931  bcval5  11179  hashf1  11265  seq3coll  11272  pfxwrdsymbg  11440  fsum0diaglem  12185  mertenslemi1  12280  fprodmul  12336  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  pcfac  13107  1arith  13124  lgsne0  16071  lgsquadlem2  16111  eupth2lemsfi  16633