Theorem elfz5 9943

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9466	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
2		eluzel2 9462	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 304	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		elfz 9941	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3expa 1192	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	3, 5	sylan 281	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		eluzle 9469	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
8	7	biantrurd 303	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	8	adantr 274	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10	6, 9	bitr4d 190	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   <_ cle 7925   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457   ...cfz 9935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-neg 8063  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936

This theorem is referenced by:  fzsplit2  9975  fznn0sub2  10053  iseqf1olemjpcl  10420  iseqf1olemqpcl  10421  seq3f1oleml  10428  bcval5  10665  seq3coll  10741  fsum0diaglem  11367  mertenslemi1  11462  fprodmul  11518  eulerthlemrprm  12138  eulerthlema  12139  pcfac  12257