Theorem elfz5 10083

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9601	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
2		eluzel2 9597	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		elfz 10080	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		eluzle 9604	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
8	7	biantrurd 305	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  fzsplit2  10116  fznn0sub2  10194  iseqf1olemjpcl  10579  iseqf1olemqpcl  10580  seq3f1oleml  10587  bcval5  10834  seq3coll  10913  fsum0diaglem  11583  mertenslemi1  11678  fprodmul  11734  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  pcfac  12488  1arith  12505  lgsne0  15154