ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz5 Unicode version

Theorem elfz5 9822
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9354 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 9350 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 304 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 9820 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1181 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 281 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 9357 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 303 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 274 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 190 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3932   ` cfv 5126  (class class class)co 5777    <_ cle 7820   ZZcz 9073   ZZ>=cuz 9345   ...cfz 9814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-neg 7955  df-z 9074  df-uz 9346  df-fz 9815
This theorem is referenced by:  fzsplit2  9854  fznn0sub2  9929  iseqf1olemjpcl  10292  iseqf1olemqpcl  10293  seq3f1oleml  10300  bcval5  10533  seq3coll  10609  fsum0diaglem  11233  mertenslemi1  11328
  Copyright terms: Public domain W3C validator