Theorem elfz5 10314

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	|- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9826	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
2		eluzel2 9821	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		elfz 10311	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		eluzle 9829	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
8	7	biantrurd 305	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K <_ N <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> K <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  fzsplit2  10347  fznn0sub2  10425  iseqf1olemjpcl  10833  iseqf1olemqpcl  10834  seq3f1oleml  10841  bcval5  11088  seq3coll  11169  pfxwrdsymbg  11337  fsum0diaglem  12081  mertenslemi1  12176  fprodmul  12232  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  pcfac  13003  1arith  13020  lgsne0  15857  lgsquadlem2  15897  eupth2lemsfi  16419