Theorem elfz2 9972

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 399	. 2 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
2		df-3an 975	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 455	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4		df-fz 9966	. . . 4 |- ... = ( x e. ZZ , y e. ZZ |-> { z e. ZZ | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
5	4	elmpocl 6047	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpl 108	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
7		elfz1 9970	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		3anass 977	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		ibar 299	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
11	7, 10	bitrd 187	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
12	5, 6, 11	pm5.21nii 699	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
13	1, 3, 12	3bitr4ri 212	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-neg 8093  df-z 9213  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  elfz4  9974  elfzuzb  9975  uzsubsubfz  10003  fzmmmeqm  10014  fzpreddisj  10027  elfz1b  10046  fzp1nel  10060  elfz0ubfz0  10081  elfz0fzfz0  10082  fz0fzelfz0  10083  fz0fzdiffz0  10086  elfzmlbp  10088  fzind2  10195  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemab  10445  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  summodclem2a  11344  fsum3  11350  fsum3cvg3  11359  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  fsummulc2  11411  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodntrivap  11547  fprodeq0  11580  isprm5  12096