Theorem elfz2 10107

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 401	. 2 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
2		df-3an 982	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 458	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4		df-fz 10101	. . . 4 |- ... = ( x e. ZZ , y e. ZZ |-> { z e. ZZ | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
5	4	elmpocl 6122	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
7		elfz1 10105	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		ibar 301	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
10	8, 9	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
12	5, 6, 11	pm5.21nii 705	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
13	1, 3, 12	3bitr4ri 213	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8217  df-z 9344  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  elfzd  10108  elfz4  10110  elfzuzb  10111  uzsubsubfz  10139  fzmmmeqm  10150  fzpreddisj  10163  elfz1b  10182  fzp1nel  10196  elfz0ubfz0  10217  elfz0fzfz0  10218  fz0fzelfz0  10219  fz0fzdiffz0  10222  elfzmlbp  10224  fzind2  10332  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  summodclem2a  11563  fsum3  11569  fsum3cvg3  11578  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  fsummulc2  11630  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodntrivap  11766  fprodeq0  11799  isprm5  12335  gausslemma2dlem3  15388  2lgslem1a1  15411