Theorem elfz2 9828

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 399	. 2 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
2		df-3an 965	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 454	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4		df-fz 9822	. . . 4 |- ... = ( x e. ZZ , y e. ZZ |-> { z e. ZZ | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
5	4	elmpocl 5976	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpl 108	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
7		elfz1 9826	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		3anass 967	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		ibar 299	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
11	7, 10	bitrd 187	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
12	5, 6, 11	pm5.21nii 694	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
13	1, 3, 12	3bitr4ri 212	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   {crab 2421   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-neg 7960  df-z 9079  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  elfz4  9830  elfzuzb  9831  uzsubsubfz  9858  fzmmmeqm  9869  fzpreddisj  9882  elfz1b  9901  fzp1nel  9915  elfz0ubfz0  9933  elfz0fzfz0  9934  fz0fzelfz0  9935  fz0fzdiffz0  9938  elfzmlbp  9940  fzind2  10047  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemab  10293  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsumk  10303  summodclem2a  11182  fsum3  11188  fsum3cvg3  11197  fsumcl2lem  11199  fsumadd  11207  fsummulc2  11249  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377