Theorem elfz2 10428

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 405	. 2 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
2		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 462	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4		df-fz 10422	. . . 4 |- ... = ( x e. ZZ , y e. ZZ |-> { z e. ZZ | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
5	4	elmpocl 6284	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
7		elfz1 10426	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8		3anass 1013	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9		ibar 301	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
10	8, 9	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) ) )
12	5, 6, 11	pm5.21nii 716	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) ) )
13	1, 3, 12	3bitr4ri 213	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZcz 9648   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfzd  10429  elfz4  10431  elfzuzb  10432  uzsubsubfz  10462  fzmmmeqm  10474  fzpreddisj  10488  elfz1b  10507  fzp1nel  10521  elfz0ubfz0  10542  elfz0fzfz0  10543  fz0fzelfz0  10544  fz0fzdiffz0  10547  elfzmlbp  10549  fzind2  10668  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  swrdswrdlem  11490  swrdswrd  11491  pfxccatin12lem2a  11513  pfxccatin12lem1  11514  swrdccatin2  11515  pfxccatin12lem2  11517  pfxccat3  11520  summodclem2a  12164  fsum3  12170  fsum3cvg3  12179  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  fsummulc2  12231  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  fprodntrivap  12367  fprodeq0  12400  isprm5  12937  ballotfilemonn  13270  gausslemma2dlem3  16280  2lgslem1a1  16303