Theorem fzoun 10320

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9668	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ )
3		eluzelz 9672	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
4		nn0z 9407	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
5		zaddcl 9427	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ )
7	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ )
8		eluzle 9675	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B )
10		nn0ge0 9335	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> 0 <_ C )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
12		eluzelre 9673	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
13		nn0re 9319	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> C e. RR )
14		addge01 8560	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) )
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 10153	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) )
18		fzosplit 10316	. 2 |- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   u. cun 3168   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   RRcr 7939   0cc0 7940   + caddc 7943   <_ cle 8123   NN0cn0 9310   ZZcz 9387   ZZ>=cuz 9663   ...cfz 10145  ..^cfzo 10279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280

This theorem is referenced by: (None)