Theorem fzoun 10607

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9942	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ )
3		eluzelz 9947	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
4		nn0z 9675	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
5		zaddcl 9695	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ )
7	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ )
8		eluzle 9950	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B )
10		nn0ge0 9599	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> 0 <_ C )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
12		eluzelre 9948	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
13		nn0re 9583	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> C e. RR )
14		addge01 8807	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) )
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 10436	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) )
18		fzosplit 10603	. 2 |- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   <_ cle 8367   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  clwwlkccatlem  16846