Theorem fzoun 10463

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9804	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ )
3		eluzelz 9809	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
4		nn0z 9543	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
5		zaddcl 9563	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ )
7	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ )
8		eluzle 9812	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B )
10		nn0ge0 9469	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> 0 <_ C )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
12		eluzelre 9810	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
13		nn0re 9453	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> C e. RR )
14		addge01 8694	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) )
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 10296	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) )
18		fzosplit 10459	. 2 |- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   u. cun 3199   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   + caddc 8078   <_ cle 8257   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   ...cfz 10288  ..^cfzo 10422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  16324