Theorem fzoun 10568

Description: A half-open integer range as union of two half-open integer ranges. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzoun	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Proof of Theorem fzoun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9905	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A e. ZZ )
3		eluzelz 9910	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
4		nn0z 9643	. . . 4 |- ( C e. NN0 -> C e. ZZ )
5		zaddcl 9663	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B + C ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( B + C ) e. ZZ )
7	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ZZ )
8		eluzle 9913	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> A <_ B )
10		nn0ge0 9567	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> 0 <_ C )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
12		eluzelre 9911	. . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
13		nn0re 9551	. . . . 5 |- ( C e. NN0 -> C e. RR )
14		addge01 8790	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( 0 <_ C <-> B <_ ( B + C ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B <_ ( B + C ) )
17	2, 6, 7, 9, 16	elfzd 10398	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> B e. ( A ... ( B + C ) ) )
18		fzosplit 10564	. 2 |- ( B e. ( A ... ( B + C ) ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. NN0 ) -> ( A..^ ( B + C ) ) = ( ( A..^ B ) u. ( B..^ ( B + C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  16555